40 câu Toán Học Lớp 9 – Chương VI. Hàm số y = ax² (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn

Giải thích: Với hàm số y = ax² có a = -3 < 0:
- Đồ thị là một parabol hướng xuống dưới, nhận gốc tọa độ làm đỉnh. (A sai)
- Hàm số đồng biến khi x 0. (B đúng)
- Hàm số đạt giá trị lớn nhất là 0 tại x = 0. (C sai)
- Thay x = 1 vào hàm số: y = -3(1)² = -3. Điểm (1, -3) thuộc đồ thị, không phải (1, 3). (D sai)

Giải thích: Ta có phương trình x² - 7x + 10 = 0.
Các hệ số: a = 1, b = -7, c = 10.
Tính biệt thức Δ = b² - 4ac = (-7)² - 4(1)(10) = 49 - 40 = 9.
Vì Δ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
x₁ = (-b - √Δ) / (2a) = (7 - √9) / (2 × 1) = (7 - 3) / 2 = 4 / 2 = 2.
x₂ = (-b + √Δ) / (2a) = (7 + √9) / (2 × 1) = (7 + 3) / 2 = 10 / 2 = 5.
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2 và x = 5.

Giải thích: Với hàm số y = 2x² có a = 2 > 0:
- A sai: Hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0.
- B đúng: Vì x² ≥ 0 với mọi x, nên 2x² ≥ 0. Dấu bằng xảy ra khi x = 0. Vậy với mọi x ≠ 0, 2x² > 0.
- C sai: Thay x = -1 vào hàm số ta được y = 2(-1)² = 2. Điểm (-1, 2) thuộc đồ thị, không phải (-1, -2).
- D sai: Khi x tăng từ -2 đến 0 (tức là x < 0), hàm số y = 2x² nghịch biến, nên giá trị hàm số giảm (từ 8 xuống 0).

Giải thích: Phương trình 3x² - 5x + m = 0 có các hệ số a = 3, b = -5, c = m.
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, biệt thức Δ phải lớn hơn 0.
Δ = b² - 4ac = (-5)² - 4(3)(m) = 25 - 12m.
Ta cần Δ > 0, tức là 25 - 12m > 0.
25 > 12m
m < 25/12.
Vậy đáp án đúng là A.

Giải thích: Vì đồ thị hàm số y = ax² đi qua điểm M(-2, 12), ta thay tọa độ điểm M vào công thức hàm số:
12 = a × (-2)²
12 = a × 4
Để tìm a, ta chia cả hai vế cho 4:
a = 12 / 4
a = 3.
Vậy giá trị của hệ số a là 3.

Giải thích: Với hàm số y = ¹/₂x² (a = ¹/₂ > 0): - Khi x = -2, y = ¹/₂(-2)² = ¹/₂ × 4 = 2. - Khi x = 0, y = ¹/₂(0)² = 0. - Khi x = 4, y = ¹/₂(4)² = ¹/₂ × 16 = 8. Khi x tăng từ -2 đến 0, giá trị y giảm từ 2 xuống 0. Khi x tăng từ 0 đến 4, giá trị y tăng từ 0 lên 8. Vậy, giá trị của y giảm rồi tăng.

Giải thích: Ta có phương trình: 3x² = 27. Chia cả hai vế cho 3: x² = 9. Lấy căn bậc hai hai vế: x = ±√9. Vậy, x = 3 hoặc x = -3. Theo thứ tự tăng dần, các giá trị là -3;3.

Giải thích: Để phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có nghiệm kép, biệt thức delta (Δ) phải bằng 0. Trong phương trình x² + (m - 2)x + 9 = 0, ta có a = 1, b = m - 2, c = 9. Δ = b² - 4ac = (m - 2)² - 4 × 1 × 9 = (m - 2)² - 36. Để có nghiệm kép, Δ = 0: (m - 2)² - 36 = 0 (m - 2)² = 36 Lấy căn bậc hai hai vế: m - 2 = 6 hoặc m - 2 = -6 Với m - 2 = 6 => m = 8. Với m - 2 = -6 => m = -4. Vậy, m = 8 hoặc m = -4 thì phương trình có nghiệm kép.

Giải thích: Đầu tiên, ta biến đổi phương trình về dạng tổng quát ax² + bx + c = 0: 2x(x - 3) = 8 2x² - 6x = 8 2x² - 6x - 8 = 0 Chia cả hai vế cho 2 để đơn giản phương trình: x² - 3x - 4 = 0 Ta có thể giải bằng cách dùng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử. Sử dụng công thức nghiệm: a = 1, b = -3, c = -4. Δ = b² - 4ac = (-3)² - 4 × 1 × (-4) = 9 + 16 = 25. √Δ = √25 = 5. x₁ = (-b + √Δ) / (2a) = (3 + 5) / (2 × 1) = 8 / 2 = 4. x₂ = (-b - √Δ) / (2a) = (3 - 5) / (2 × 1) = -2 / 2 = -1. Hoặc phân tích thành nhân tử: x² - 3x - 4 = 0 (x - 4)(x + 1) = 0. Vậy x - 4 = 0 => x = 4 hoặc x + 1 = 0 => x = -1. Theo thứ tự tăng dần, các nghiệm là -1;4.

Giải thích: Theo định lý Vieta, với phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm x₁, x₂: Tổng hai nghiệm: x₁ + x₂ = -b/a. Tích hai nghiệm: x₁x₂ = c/a. Trong phương trình 2x² - 5x + 1 = 0, ta có a = 2, b = -5, c = 1. Tổng hai nghiệm: x₁ + x₂ = -(-5)/2 = ⁵/₂. Tích hai nghiệm: x₁x₂ = 1/2. Giá trị của biểu thức x₁ + x₂ - x₁x₂ là: ⁵/₂ - ¹/₂ = ^{(5 - 1)}/₂ = ⁴/₂ = 2.

Giải thích: a) Thay x = 3 vào phương trình, ta có:
3² - (m+1)⋅3 + m = 0
9 - 3m - 3 + m = 0
6 - 2m = 0
2m = 6
m = 3
b) Với m = 3, phương trình trở thành:
x² - (3+1)x + 3 = 0
x² - 4x + 3 = 0
Ta có a + b + c = 1 + (-4) + 3 = 0, nên phương trình có hai nghiệm là x₁ = 1 và x₂ = c/a = 3.
Vậy nghiệm còn lại của phương trình là x = 1.

Giải thích: Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x (giờ). Điều kiện: x > 0.
Vì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 10 giờ, nên thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là x + 10 (giờ).
Mỗi giờ, vòi thứ nhất chảy được ¹/_x phần bể.
Mỗi giờ, vòi thứ hai chảy được ¹/_(x+10) phần bể.
Hai vòi cùng chảy thì đầy bể trong 12 giờ, nên mỗi giờ hai vòi chảy được ¹/₁₂ phần bể.
Ta có phương trình:
¹/_x + ¹/_(x+10) = ¹/₁₂
Quy đồng mẫu số:
^{(x+10) + x}/_x(x+10) = ¹/₁₂
^2x+10/_x²+10x = ¹/₁₂
Nhân chéo:
12(2x+10) = x²+10x
24x + 120 = x² + 10x
Chuyển vế, ta được phương trình bậc hai:
x² - 14x - 120 = 0
Tính delta phẩy (Δ'):
Δ' = (-7)² - 1⋅(-120) = 49 + 120 = 169
√Δ' = √169 = 13
Nghiệm của phương trình là:
x₁ = (7 + 13) / 1 = 20 (thỏa mãn điều kiện x > 0)
x₂ = (7 - 13) / 1 = -6 (không thỏa mãn điều kiện x > 0)
Vậy, vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể trong 20 giờ.

Giải thích: Để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂, điều kiện là Δ ≥ 0.
Δ = b² - 4ac = (-5)² - 4⋅1⋅(m-3) = 25 - 4m + 12 = 37 - 4m.
Δ ≥ 0 ⇒ 37 - 4m ≥ 0 ⇒ 4m ≤ 37 ⇒ m ≤ ³⁷/₄ = 9.25.
Theo định lí Viète, ta có:
x₁ + x₂ = -b/a = -(-5)/1 = 5
x₁x₂ = c/a = (m-3)/1 = m-3
Theo đề bài, ta có x₁² + x₂² = 13.
Ta biến đổi biểu thức: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂.
Thay các giá trị từ Viète vào:
5² - 2(m-3) = 13
25 - 2m + 6 = 13
31 - 2m = 13
2m = 31 - 13
2m = 18
m = 9.
Giá trị m = 9 thỏa mãn điều kiện m ≤ 9.25.
Vậy, m = 9 là giá trị cần tìm.

Giải thích: Đối với phương trình x² - 7x + 12 = 0, theo định lí Viète, ta có:
Tổng các nghiệm: S = x₁ + x₂ = -(-7)/1 = 7
Tích các nghiệm: P = x₁x₂ = 12/1 = 12
Ta cần lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là y₁ = x₁ + 1 và y₂ = x₂ + 1.
Tính tổng và tích của hai nghiệm mới:
Tổng S' = y₁ + y₂ = (x₁ + 1) + (x₂ + 1) = x₁ + x₂ + 2
Thay S vào: S' = 7 + 2 = 9
Tích P' = y₁y₂ = (x₁ + 1)(x₂ + 1) = x₁x₂ + x₁ + x₂ + 1
Thay S và P vào: P' = 12 + 7 + 1 = 20
Phương trình bậc hai cần lập có dạng: x² - S'x + P' = 0
Thay S' và P' vào: x² - 9x + 20 = 0.

Giải thích: Để phương trình có hai nghiệm trái dấu, cần thỏa mãn hai điều kiện:
1. Phương trình có hai nghiệm phân biệt (Δ > 0).
2. Tích hai nghiệm nhỏ hơn 0 (P < 0).

Kiểm tra điều kiện Δ > 0:
Δ = b² - 4ac = (-(2m-1))² - 4⋅1⋅(m² - m - 6)
Δ = (2m-1)² - 4(m² - m - 6)
Δ = (4m² - 4m + 1) - (4m² - 4m - 24)
Δ = 4m² - 4m + 1 - 4m² + 4m + 24
Δ = 25.
Vì Δ = 25 > 0 với mọi giá trị của m, nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Kiểm tra điều kiện P < 0:
Theo định lí Viète, tích hai nghiệm là P = x₁x₂ = c/a = (m² - m - 6)/1 = m² - m - 6.
Để hai nghiệm trái dấu, ta cần P < 0.
m² - m - 6 < 0
Tìm nghiệm của phương trình m² - m - 6 = 0:
Sử dụng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử:
(m - 3)(m + 2) = 0
Vậy m = 3 hoặc m = -2.
Vì đây là bất phương trình bậc hai có hệ số của m² là 1 (dương), nên m² - m - 6 < 0 khi m nằm giữa hai nghiệm.
Do đó, -2 < m < 3.

Kết hợp cả hai điều kiện, ta thấy điều kiện Δ > 0 luôn được thỏa mãn, nên chỉ cần điều kiện -2 < m < 3.
Vậy, giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu là -2 < m < 3.

Giải thích: Xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Phương trình trở thành phương trình bậc nhất khi m+1 = 0 ⇔ m = -1. Thay m = -1 vào phương trình, ta được: 0x² - 2(-1)x + (-1) - 3 = 0 2x - 4 = 0 2x = 4 x = 2 Phương trình có nghiệm x = 2. Do đó, m = -1 không làm phương trình vô nghiệm. Trường hợp 2: Phương trình là phương trình bậc hai khi m+1 ≠ 0 ⇔ m ≠ -1. Để phương trình bậc hai vô nghiệm, ta cần Δ' < 0. Ta có: a = m+1, b' = -m, c = m-3. Δ' = (b')² - ac = (-m)² - (m+1)(m-3) Δ' = m² - (m² - 3m + m - 3) Δ' = m² - (m² - 2m - 3) Δ' = m² - m² + 2m + 3 Δ' = 2m + 3 Để phương trình vô nghiệm, ta có Δ' < 0: 2m + 3 < 0 2m < -3 m < -³/₂ Kết hợp điều kiện m ≠ -1 và m < -³/₂, ta được m < -³/₂ (vì -³/₂ = -1.5, nên m < -1.5 đã bao gồm m ≠ -1). Vậy, để phương trình vô nghiệm, m phải thỏa mãn m < -³/₂.

Giải thích: Để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂, ta cần Δ ≥ 0. Δ = (-(2m-1))² - 4(1)(m²-4) Δ = (2m-1)² - 4m² + 16 Δ = 4m² - 4m + 1 - 4m² + 16 Δ = -4m + 17 Để phương trình có nghiệm, Δ ≥ 0 ⇔ -4m + 17 ≥ 0 ⇔ 4m ≤ 17 ⇔ m ≤ ¹⁷/₄ = 4.25. Theo định lí Viète, ta có: x₁ + x₂ = 2m - 1 (1) x₁x₂ = m² - 4 (2) Theo đề bài, ta có hệ thức x₁ = 2x₂ (3). Thay (3) vào (1), ta được: 2x₂ + x₂ = 2m - 1 3x₂ = 2m - 1 x₂ = ^{(2m - 1)}/₃ Từ đó, x₁ = 2x₂ = ^{2(2m - 1)}/₃ Thay x₁ và x₂ vào (2), ta được: ^{2(2m - 1)}/₃ ⋅ ^{(2m - 1)}/₃ = m² - 4 ^{2(2m - 1)2}/₉ = m² - 4 2(4m² - 4m + 1) = 9(m² - 4) 8m² - 8m + 2 = 9m² - 36 9m² - 8m² + 8m - 2 - 36 = 0 m² + 8m - 38 = 0 Giải phương trình bậc hai theo m: Δ_m' = (⁸/₂)² - 1(-38) = 4² + 38 = 16 + 38 = 54 m = ^{-4 ± √54}/₁ = -4 ± 3√6 Kiểm tra điều kiện m ≤ 4.25: m₁ = -4 - 3√6 ≈ -4 - 3(2.449) = -4 - 7.347 = -11.347 (Thỏa mãn) m₂ = -4 + 3√6 ≈ -4 + 3(2.449) = -4 + 7.347 = 3.347 (Thỏa mãn) Vậy, các giá trị của m là -4 - 3√6 và -4 + 3√6.

Giải thích: Gọi chiều rộng ban đầu của mảnh vườn là x (m). Điều kiện: x > 0. Khi đó, chiều dài ban đầu của mảnh vườn là x + 5 (m). Diện tích ban đầu của mảnh vườn là S_{ban đầu} = x(x + 5) = x² + 5x (m²). Nếu tăng chiều rộng thêm 3m thì chiều rộng mới là x + 3 (m). Nếu giảm chiều dài đi 2m thì chiều dài mới là (x + 5) - 2 = x + 3 (m). Diện tích mới của mảnh vườn là S_mới = (x + 3)(x + 3) = (x + 3)² = x² + 6x + 9 (m²). Theo đề bài, diện tích mảnh vườn tăng thêm 11m², tức là S_mới - S_{ban đầu} = 11. (x² + 6x + 9) - (x² + 5x) = 11 x + 9 = 11 x = 11 - 9 x = 2 Giá trị x = 2 thỏa mãn điều kiện x > 0. Vậy, chiều rộng ban đầu của mảnh vườn là 2m.

Giải thích: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dương, cần thỏa mãn các điều kiện sau: 1. Δ' > 0 (Hai nghiệm phân biệt) 2. S > 0 (Tổng hai nghiệm dương) 3. P > 0 (Tích hai nghiệm dương) Ta có các hệ số: a = 1, b' = -(m-1), c = m² - 3m + 4. Điều kiện 1: Δ' > 0 Δ' = (b')² - ac = (-(m-1))² - 1(m² - 3m + 4) Δ' = (m-1)² - m² + 3m - 4 Δ' = m² - 2m + 1 - m² + 3m - 4 Δ' = m - 3 Để Δ' > 0 ⇔ m - 3 > 0 ⇔ m > 3. (I) Điều kiện 2: S > 0 S = x₁ + x₂ = -^b/_a = -^-2(m-1)/₁ = 2(m-1) Để S > 0 ⇔ 2(m-1) > 0 ⇔ m - 1 > 0 ⇔ m > 1. (II) Điều kiện 3: P > 0 P = x₁x₂ = ^c/_a = ^{m2 - 3m + 4}/₁ = m² - 3m + 4 Để P > 0, ta xét tam thức bậc hai g(m) = m² - 3m + 4. Tính delta của g(m): Δ_g = (-3)² - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7. Vì Δ_g < 0 và hệ số của m² là 1 > 0, nên g(m) = m² - 3m + 4 luôn dương với mọi giá trị của m. (III) Kết hợp cả ba điều kiện (I), (II), (III): m > 3 m > 1 m ∈ ℝ (luôn đúng) Điều kiện chung là m > 3. Vậy, để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dương thì m > 3.

Giải thích: Đầu tiên, ta khai triển vế trái của phương trình: (x - 2)(x + 3) = x² + 3x - 2x - 6 = x² + x - 6 Thay vào phương trình ban đầu, ta được: x² + x - 6 = 2x² - 4x + 1 Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế để đưa về dạng phương trình bậc hai chuẩn ax² + bx + c = 0: 0 = 2x² - x² - 4x - x + 1 + 6 0 = x² - 5x + 7 Bây giờ ta giải phương trình bậc hai x² - 5x + 7 = 0. Tính biệt thức Δ: Δ = b² - 4ac = (-5)² - 4(1)(7) Δ = 25 - 28 Δ = -3 Vì Δ < 0, phương trình đã cho không có nghiệm thực. Vậy, phương trình vô nghiệm.

Giải thích: Theo định lí Viète, đối với phương trình x² - 3x + 1 = 0, ta có: Tổng hai nghiệm: x₁ + x₂ = -(-3)/1 = 3 Tích hai nghiệm: x₁x₂ = 1/1 = 1 Ta cần tính giá trị của biểu thức x₁³ + x₂³. Ta sử dụng hằng đẳng thức: a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b) Áp dụng vào biểu thức cần tính: x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ - 3x₁x₂(x₁ + x₂) Thay các giá trị từ định lí Viète vào: x₁³ + x₂³ = (3)³ - 3(1)(3) x₁³ + x₂³ = 27 - 9 x₁³ + x₂³ = 18 Vậy giá trị của biểu thức là 18.

Giải thích: Gọi vận tốc dự định của người đi xe máy là v (km/h). Điều kiện: v > 0. Thời gian dự định để đi hết quãng đường AB là t_{dự định} = 120/v (giờ). Quãng đường 1/3 là 120/3 = 40 km. Thời gian đi 1/3 quãng đường là t₁ = 40/v (giờ). Quãng đường còn lại là 120 - 40 = 80 km. Trên quãng đường còn lại, người đó tăng vận tốc thêm 10 km/h, nên vận tốc mới là v + 10 (km/h). Thời gian đi quãng đường còn lại là t₂ = 80/(v + 10) (giờ). Tổng thời gian thực tế người đó đi là t_{thực tế} = t₁ + t₂ = 40/v + 80/(v + 10) (giờ). Người đó đến B sớm hơn dự định 24 phút. Đổi 24 phút = 24/60 = 2/5 giờ. Ta có phương trình: t_{dự định} - t_{thực tế} = 2/5 120/v - (40/v + 80/(v + 10)) = 2/5 80/v - 80/(v + 10) = 2/5 Quy đồng mẫu số: (80(v + 10) - 80v) / (v(v + 10)) = 2/5 (80v + 800 - 80v) / (v² + 10v) = 2/5 800 / (v² + 10v) = 2/5 Nhân chéo: 2(v² + 10v) = 800 × 5 2v² + 20v = 4000 Chia cả hai vế cho 2: v² + 10v - 2000 = 0 Giải phương trình bậc hai: Δ = b² - 4ac = 10² - 4 × 1 × (-2000) = 100 + 8000 = 8100 √Δ = √8100 = 90 Các nghiệm của phương trình là: v₁ = (-10 + 90) / (2 × 1) = 80 / 2 = 40 v₂ = (-10 - 90) / (2 × 1) = -100 / 2 = -50 (loại vì vận tốc phải dương) Vậy vận tốc dự định của người đó là 40 km/h.

Giải thích: Để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂, ta cần có Δ ≥ 0. Δ = (-(2m+1))² - 4(1)(m² + 2) Δ = (2m+1)² - 4m² - 8 Δ = 4m² + 4m + 1 - 4m² - 8 Δ = 4m - 7 Để phương trình có nghiệm, 4m - 7 ≥ 0 ⇒ m ≥ 7/4. Theo định lí Viète, ta có: x₁ + x₂ = 2m + 1 (1) x₁x₂ = m² + 2 (2) Theo đề bài, ta có thêm điều kiện: 3x₁ - x₂ = 7 (3) Từ (1) và (3), ta có hệ phương trình: { x₁ + x₂ = 2m + 1 { 3x₁ - x₂ = 7 Cộng hai phương trình lại, ta được: (x₁ + x₂) + (3x₁ - x₂) = (2m + 1) + 7 4x₁ = 2m + 8 x₁ = (2m + 8) / 4 = (m + 4) / 2 Thay x₁ vào phương trình (1): x₂ = (2m + 1) - x₁ = (2m + 1) - (m + 4) / 2 x₂ = (4m + 2 - m - 4) / 2 = (3m - 2) / 2 Bây giờ, thay x₁ và x₂ vào phương trình (2) của định lí Viète: ((m + 4) / 2) × ((3m - 2) / 2) = m² + 2 (m + 4)(3m - 2) = 4(m² + 2) 3m² - 2m + 12m - 8 = 4m² + 8 3m² + 10m - 8 = 4m² + 8 Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế: 4m² - 3m² - 10m + 8 + 8 = 0 m² - 10m + 16 = 0 Giải phương trình bậc hai này: Δ' = (-5)² - 1 × 16 = 25 - 16 = 9 √Δ' = 3 Các nghiệm của m là: m₁ = (5 + 3) / 1 = 8 m₂ = (5 - 3) / 1 = 2 Cả hai giá trị m = 2 và m = 8 đều thỏa mãn điều kiện m ≥ 7/4 (vì 2 ≥ 1.75 và 8 ≥ 1.75). Vậy các giá trị của m cần tìm là m = 2 hoặc m = 8.

Giải thích: Gọi số sản phẩm mà xưởng phải làm mỗi giờ theo kế hoạch là x (sản phẩm/giờ). Điều kiện: x > 0. Thời gian dự định để hoàn thành 300 sản phẩm là t_{dự định} = 300/x (giờ). Do cải tiến kỹ thuật, mỗi giờ xưởng làm thêm được 5 sản phẩm, nên số sản phẩm thực tế làm được mỗi giờ là x + 5 (sản phẩm/giờ). Thời gian thực tế để hoàn thành 300 sản phẩm là t_{thực tế} = 300/(x + 5) (giờ). Xưởng hoàn thành sớm hơn 2 giờ so với kế hoạch, nên ta có phương trình: t_{dự định} - t_{thực tế} = 2 300/x - 300/(x + 5) = 2 Quy đồng mẫu số: (300(x + 5) - 300x) / (x(x + 5)) = 2 (300x + 1500 - 300x) / (x² + 5x) = 2 1500 / (x² + 5x) = 2 Nhân chéo: 2(x² + 5x) = 1500 Chia cả hai vế cho 2: x² + 5x = 750 Chuyển vế: x² + 5x - 750 = 0 Giải phương trình bậc hai: Δ = b² - 4ac = 5² - 4 × 1 × (-750) = 25 + 3000 = 3025 √Δ = √3025 = 55 Các nghiệm của phương trình là: x₁ = (-5 + 55) / (2 × 1) = 50 / 2 = 25 x₂ = (-5 - 55) / (2 × 1) = -60 / 2 = -30 (loại vì số sản phẩm mỗi giờ không thể âm) Vậy theo kế hoạch, mỗi giờ xưởng phải làm 25 sản phẩm.

Giải thích: Để phương trình x² - (m-2)x + m - 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂, ta cần điều kiện Δ > 0. Δ = [-(m-2)]² - 4(1)(m-5) Δ = (m-2)² - 4m + 20 Δ = m² - 4m + 4 - 4m + 20 Δ = m² - 8m + 24 Để kiểm tra dấu của Δ, ta xét tam thức bậc hai g(m) = m² - 8m + 24. Có Δ_m = (-8)² - 4(1)(24) = 64 - 96 = -32. Vì Δ_m < 0 và hệ số của m² là 1 > 0, nên tam thức g(m) = m² - 8m + 24 luôn dương với mọi giá trị của m. Do đó, Δ > 0 luôn đúng với mọi m. Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Theo định lí Viète, ta có: x₁ + x₂ = -(-(m-2))/1 = m - 2 x₁x₂ = (m - 5)/1 = m - 5 Điều kiện đề bài là: x₁(1 - x₂) + x₂(1 - x₁) < 1 Mở rộng biểu thức: x₁ - x₁x₂ + x₂ - x₁x₂ < 1 (x₁ + x₂) - 2x₁x₂ < 1 Thay các giá trị từ định lí Viète vào bất đẳng thức: (m - 2) - 2(m - 5) < 1 m - 2 - 2m + 10 < 1 -m + 8 < 1 Chuyển 8 sang vế phải: -m < 1 - 8 -m 7 Vậy, các giá trị của m cần tìm là m > 7.

Giải thích: Gọi số chẵn thứ nhất là 2n (với n là số nguyên).
Số chẵn liên tiếp với nó là 2n + 2.
Theo đề bài, tổng bình phương của hai số này là 580, ta có phương trình:
(2n)² + (2n + 2)² = 580
4n² + (4n² + 8n + 4) = 580
8n² + 8n + 4 = 580
8n² + 8n - 576 = 0
Chia cả hai vế cho 8:
n² + n - 72 = 0
Giải phương trình bậc hai này:
Δ = b² - 4ac = 1² - 4(1)(-72) = 1 + 288 = 289
√Δ = √289 = 17
n₁ = (-1 + 17) / 2 = 16 / 2 = 8
n₂ = (-1 - 17) / 2 = -18 / 2 = -9
Nếu n = 8, hai số chẵn là 2n = 2(8) = 16 và 2n + 2 = 2(8) + 2 = 18. Số chẵn lớn hơn là 18.
Nếu n = -9, hai số chẵn là 2n = 2(-9) = -18 và 2n + 2 = 2(-9) + 2 = -16. Số chẵn lớn hơn là -16.
Trong các đáp án, chỉ có 18 là số chẵn dương lớn hơn.

Giải thích: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Nếu m-1 = 0, tức m = 1.
Khi đó, phương trình trở thành: 0x² - 2(1)x + 1 + 1 = 0 ⇔ -2x + 2 = 0 ⇔ x = 1. Phương trình có nghiệm duy nhất. Vậy m = 1 không thỏa mãn điều kiện có hai nghiệm phân biệt.
Trường hợp 2: Nếu m-1 ≠ 0, tức m ≠ 1.
Phương trình là phương trình bậc hai. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ' > 0.
Ta có Δ' = (-m)² - (m-1)(m+1)
Δ' = m² - (m² - 1)
Δ' = m² - m² + 1
Δ' = 1
Vì Δ' = 1 > 0 với mọi giá trị của m, nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt khi m ≠ 1.
Kết hợp cả hai trường hợp, điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt là m ≠ 1.

Giải thích: Gọi số tiền gửi ban đầu là P = 50.000.000 đồng.
Số tiền nhận được sau 2 năm là A = 55.125.000 đồng.
Lãi suất mỗi năm là x% = x/100.
Công thức tính tiền sau n năm gửi tiết kiệm (lãi kép): A = P(1 + x/100)ⁿ.
Thay số vào công thức, ta có:
55.125.000 = 50.000.000 × (1 + x/100)²
(1 + x/100)² = 55.125.000 / 50.000.000
(1 + x/100)² = 1.1025
Lấy căn bậc hai hai vế (do x > 0 nên 1 + x/100 > 0):
1 + x/100 = √1.1025
1 + x/100 = 1.05
x/100 = 1.05 - 1
x/100 = 0.05
x = 0.05 × 100
x = 5
Vậy, lãi suất mỗi năm là 5%.

Giải thích: Đặt t = x² - 3x.
Khi đó, phương trình trở thành: t² - 2t - 8 = 0.
Giải phương trình bậc hai theo t:
Δ' = (-1)² - 1(-8) = 1 + 8 = 9
√Δ' = 3
t₁ = (1 + 3) / 1 = 4
t₂ = (1 - 3) / 1 = -2

Với t = 4, ta có: x² - 3x = 4
x² - 3x - 4 = 0
(x - 4)(x + 1) = 0
Suy ra x = 4 hoặc x = -1.

Với t = -2, ta có: x² - 3x = -2
x² - 3x + 2 = 0
(x - 1)(x - 2) = 0
Suy ra x = 1 hoặc x = 2.

Vậy, tập nghiệm của phương trình là {-1; 1; 2; 4}. Sắp xếp theo thứ tự tăng dần: -1;1;2;4.

Giải thích: Đồ thị hàm số y = ax² nằm phía dưới trục hoành khi và chỉ khi hệ số a < 0.
Trong trường hợp này, a = m² - 4. Vậy ta cần:
m² - 4 < 0
(m - 2)(m + 2) < 0
Điều này xảy ra khi -2 < m < 2. (1)

Đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; -3), nghĩa là khi x = 1 thì y = -3.
Thay x = 1 và y = -3 vào hàm số:
-3 = (m² - 4)(1)²
-3 = m² - 4
m² = -3 + 4
m² = 1
Suy ra m = 1 hoặc m = -1. (2)

Để thỏa mãn cả hai điều kiện, giá trị của m phải thỏa mãn cả (1) và (2).
Với m = 1: Ta có -2 < 1 < 2, điều kiện (1) được thỏa mãn.
Với m = -1: Ta có -2 < -1 < 2, điều kiện (1) được thỏa mãn.
Vậy, cả m = 1 và m = -1 đều thỏa mãn các điều kiện đề bài.
Kết luận: m = ±1.

Giải thích: Gọi số xe ban đầu của đội là x (xe), với x là số nguyên dương và x > 2 (vì có 2 xe bị hỏng). Theo dự định, mỗi xe phải chở: ¹²⁰/_x (tấn hàng). Khi thực tế, số xe còn lại là: x - 2 (xe). Khi đó, mỗi xe còn lại phải chở: ¹²⁰/_{(x - 2)} (tấn hàng). Theo đề bài, mỗi xe còn lại phải chở thêm 2 tấn so với dự định, nên ta có phương trình: ¹²⁰/_{(x - 2)} - ¹²⁰/_x = 2 Quy đồng mẫu số: 120x - 120(x - 2) = 2x(x - 2) 120x - 120x + 240 = 2x² - 4x 240 = 2x² - 4x Chuyển vế và chia cả hai vế cho 2: 2x² - 4x - 240 = 0 x² - 2x - 120 = 0 Giải phương trình bậc hai: Ta có Δ' = (-1)² - 1 × (-120) = 1 + 120 = 121 = 11². Nghiệm của phương trình là: x₁ = ^{(1 + 11)}/₁ = 12 (thỏa mãn điều kiện x > 2) x₂ = ^{(1 - 11)}/₁ = -10 (loại vì số xe phải là số dương) Vậy, ban đầu đội có 12 xe.

Giải thích: Để phương trình có hai nghiệm đối nhau, các điều kiện sau phải được thỏa mãn: 1. Hệ số a ≠ 0, tức là m - 2 ≠ 0 ⇒ m ≠ 2. 2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt (Δ > 0). 3. Tổng hai nghiệm bằng 0 (x₁ + x₂ = 0). 4. Tích hai nghiệm nhỏ hơn 0 (x₁x₂ < 0) để đảm bảo hai nghiệm không phải là 0 và đối nhau. Áp dụng định lý Viète, ta có: * x₁ + x₂ = -^[-(m-1)]/_(m-2) = ^(m-1)/_(m-2) * x₁x₂ = ^m/_(m-2) Từ điều kiện (3) x₁ + x₂ = 0: ^(m-1)/_(m-2) = 0 ⇒ m - 1 = 0 ⇒ m = 1. Bây giờ, ta kiểm tra giá trị m = 1 với các điều kiện còn lại: 1. m ≠ 2: 1 ≠ 2 (thỏa mãn). 2. Kiểm tra Δ: Δ = (-(m-1))² - 4(m-2)m = (m-1)² - 4m(m-2) Thay m = 1 vào Δ: Δ = (1-1)² - 4(1-2)(1) = 0² - 4(-1)(1) = 0 + 4 = 4. Vì Δ = 4 > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt (thỏa mãn). 3. Kiểm tra x₁x₂ < 0: Thay m = 1 vào x₁x₂: x₁x₂ = ¹/_(1-2) = ¹/_(-1) = -1. Vì x₁x₂ = -1 < 0 (thỏa mãn). Vậy, giá trị m = 1 là giá trị duy nhất thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Giải thích: Gọi chiều dài ban đầu của mảnh vườn là L (m) và chiều rộng ban đầu là W (m). (L > 0, W > 0) Theo đề bài, diện tích ban đầu của mảnh vườn là 240 m², nên ta có phương trình: L × W = 240 (1) Nếu tăng chiều rộng 3m thì chiều rộng mới là W + 3 (m). Nếu giảm chiều dài 4m thì chiều dài mới là L - 4 (m). (Điều kiện L > 4) Diện tích mảnh vườn không đổi, nên diện tích mới vẫn là 240 m²: (L - 4)(W + 3) = 240 (2) Từ (1), ta rút W theo L: W = ²⁴⁰/_L. Thế W = ²⁴⁰/_L vào phương trình (2): (L - 4)(²⁴⁰/_L + 3) = 240 Nhân cả hai vế với L (vì L ≠ 0): (L - 4)(240 + 3L) = 240L Khai triển vế trái: 240L + 3L² - 960 - 12L = 240L Đơn giản hóa phương trình: 3L² - 12L - 960 = 0 Chia cả hai vế cho 3: L² - 4L - 320 = 0 Giải phương trình bậc hai: Ta có Δ' = (-2)² - 1 × (-320) = 4 + 320 = 324 = 18². Nghiệm của phương trình là: L₁ = ^{(2 + 18)}/₁ = 20 (thỏa mãn điều kiện L > 4) L₂ = ^{(2 - 18)}/₁ = -16 (loại vì chiều dài phải là số dương) Vậy, chiều dài ban đầu của mảnh vườn là 20m.

Giải thích: Để đồ thị hàm số y = (m - 1)x² đi qua điểm A(2; 8), ta thay tọa độ của điểm A vào phương trình hàm số. Thay x = 2 và y = 8 vào phương trình: 8 = (m - 1) × (2)² 8 = (m - 1) × 4 Chia cả hai vế cho 4: ⁸/₄ = m - 1 2 = m - 1 Giải để tìm m: m = 2 + 1 m = 3 Với m = 3, hệ số a = m - 1 = 3 - 1 = 2 ≠ 0, nên đây là hàm số y = ax². Vậy, giá trị của m là 3.

Giải thích: Để phương trình x² - 5x + m + 1 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂, ta cần điều kiện Δ ≥ 0. Δ = (-5)² - 4 × 1 × (m + 1) = 25 - 4m - 4 = 21 - 4m. Δ ≥ 0 ⇒ 21 - 4m ≥ 0 ⇒ 4m ≤ 21 ⇒ m ≤ ²¹/₄ = 5.25. Theo định lý Viète, ta có: 1. x₁ + x₂ = -(-5)/1 = 5 2. x₁x₂ = (m + 1)/1 = m + 1 Theo đề bài, ta có thêm điều kiện: 3. 2x₁ + x₂ = 8 Từ phương trình (1) và (3), ta có hệ phương trình: { x₁ + x₂ = 5 (I) { 2x₁ + x₂ = 8 (II) Trừ phương trình (I) cho phương trình (II) (hoặc ngược lại) để tìm x₁: (2x₁ + x₂) - (x₁ + x₂) = 8 - 5 x₁ = 3 Thay x₁ = 3 vào phương trình (I): 3 + x₂ = 5 x₂ = 5 - 3 x₂ = 2 Bây giờ, thay giá trị x₁ = 3 và x₂ = 2 vào phương trình (2): x₁x₂ = m + 1 3 × 2 = m + 1 6 = m + 1 m = 6 - 1 m = 5 Kiểm tra điều kiện m ≤ 5.25: m = 5 thỏa mãn điều kiện này. Vậy, giá trị của m là 5.

Giải thích: Gọi x (ngày) là thời gian đội A làm một mình xong con đường (x > 0). Gọi y (ngày) là thời gian đội B làm một mình xong con đường (y > 0). Theo đề bài, hai đội làm chung trong 12 ngày thì xong con đường, nên mỗi ngày hai đội làm được ¹/₁₂ công việc. Ta có phương trình: ¹/_x + ¹/_y = ¹/₁₂ (1) Nếu đội A làm một mình trong 8 ngày, rồi đội B làm tiếp một mình trong 16 ngày nữa thì xong con đường. Ta có phương trình: ⁸/_x + ¹⁶/_y = 1 (2) Đặt u = ¹/_x và v = ¹/_y (u, v > 0). Hệ phương trình trở thành: { u + v = ¹/₁₂ { 8u + 16v = 1 Từ phương trình thứ nhất, ta có v = ¹/₁₂ - u. Thay vào phương trình thứ hai: 8u + 16(¹/₁₂ - u) = 1 8u + ¹⁶/₁₂ - 16u = 1 8u + ⁴/₃ - 16u = 1 -8u = 1 - ⁴/₃ -8u = -¹/₃ u = ¹/₂₄ Với u = ¹/₂₄, ta có ¹/_x = ¹/₂₄ => x = 24. Thay u = ¹/₂₄ vào v = ¹/₁₂ - u: v = ¹/₁₂ - ¹/₂₄ = ²/₂₄ - ¹/₂₄ = ¹/₂₄. Với v = ¹/₂₄, ta có ¹/_y = ¹/₂₄ => y = 24. Vậy, nếu làm riêng thì đội A hoàn thành con đường trong 24 ngày và đội B cũng hoàn thành trong 24 ngày. Đáp án đúng là B.

Giải thích: Để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂, điều kiện là biệt thức delta (Δ) phải lớn hơn hoặc bằng 0. Δ = (-(m+2))² - 4(1)(2m) = (m+2)² - 8m = m² + 4m + 4 - 8m = m² - 4m + 4 = (m-2)². Vì (m-2)² ≥ 0 với mọi giá trị của m, nên phương trình luôn có hai nghiệm (có thể trùng nhau). Theo hệ thức Viète, ta có: x₁ + x₂ = m+2 x₁x₂ = 2m Theo yêu cầu đề bài, x₁² + x₂² = 5. Ta biến đổi biểu thức x₁² + x₂² theo tổng và tích của hai nghiệm: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ Thay các giá trị từ hệ thức Viète vào: (m+2)² - 2(2m) = 5 m² + 4m + 4 - 4m = 5 m² + 4 = 5 m² = 1 m = 1 hoặc m = -1. Cả hai giá trị m = 1 và m = -1 đều thỏa mãn điều kiện Δ ≥ 0. Vậy, các giá trị của m là -1 và 1.

Giải thích: Gọi thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là x (giờ) (x > 0). Vì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 5 giờ, nên thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x - 5 (giờ). Điều kiện: x - 5 > 0 => x > 5. Trong 1 giờ: - Vòi thứ nhất chảy được ¹/_(x-5) bể. - Vòi thứ hai chảy được ¹/_x bể. Vì cả hai vòi cùng chảy đầy bể trong 6 giờ, nên trong 1 giờ cả hai vòi chảy được ¹/₆ bể. Ta có phương trình: ¹/_(x-5) + ¹/_x = ¹/₆ Quy đồng mẫu số chung là 6x(x-5): 6x + 6(x-5) = x(x-5) 6x + 6x - 30 = x² - 5x 12x - 30 = x² - 5x x² - 5x - 12x + 30 = 0 x² - 17x + 30 = 0 Giải phương trình bậc hai này: Δ = (-17)² - 4(1)(30) = 289 - 120 = 169 √Δ = √169 = 13 x₁ = (17 + 13) / 2 = 30 / 2 = 15 x₂ = (17 - 13) / 2 = 4 / 2 = 2 Kiểm tra điều kiện: x > 5. - Giá trị x = 15 thỏa mãn (15 > 5). - Giá trị x = 2 không thỏa mãn (2 < 5). Vậy, thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là 15 giờ. Thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là 15 - 5 = 10 giờ. Đáp án đúng là B.

Giải thích: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, biệt thức delta (Δ) phải lớn hơn 0. Δ = (-(2m+3))² - 4(1)(m² + 3m + 2) Δ = (2m+3)² - 4(m² + 3m + 2) Δ = (4m² + 12m + 9) - (4m² + 12m + 8) Δ = 4m² + 12m + 9 - 4m² - 12m - 8 Δ = 1. Vì Δ = 1 > 0, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. Theo đề bài, phương trình có một nghiệm bằng 2. Ta thay x = 2 vào phương trình: 2² - (2m+3)(2) + m² + 3m + 2 = 0 4 - (4m + 6) + m² + 3m + 2 = 0 4 - 4m - 6 + m² + 3m + 2 = 0 m² - m = 0 m(m - 1) = 0 Từ đó, ta tìm được các giá trị của m: m = 0 hoặc m = 1. Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện Δ > 0. Khi m = 0, phương trình trở thành x² - 3x + 2 = 0, có hai nghiệm x = 1 và x = 2. Khi m = 1, phương trình trở thành x² - 5x + 6 = 0, có hai nghiệm x = 2 và x = 3. Vậy, các giá trị của m là 0 hoặc 1. Đáp án đúng là C.

Giải thích: Để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂, điều kiện là biệt thức delta (Δ) phải lớn hơn hoặc bằng 0. Δ = (-(m-1))² - 4(1)(m-2) = (m-1)² - 4(m-2) Δ = m² - 2m + 1 - 4m + 8 = m² - 6m + 9 = (m-3)². Vì (m-3)² ≥ 0 với mọi giá trị của m, nên phương trình luôn có hai nghiệm (có thể trùng nhau). Theo hệ thức Viète, ta có: x₁ + x₂ = m-1 x₁x₂ = m-2 Theo yêu cầu đề bài, x₁² + x₂² = 2(x₁ + x₂) + 1. Ta biến đổi biểu thức x₁² + x₂² theo tổng và tích của hai nghiệm: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ Thay các giá trị từ hệ thức Viète vào phương trình điều kiện: ( (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ ) = 2(x₁ + x₂) + 1 (m-1)² - 2(m-2) = 2(m-1) + 1 Khai triển và rút gọn: m² - 2m + 1 - 2m + 4 = 2m - 2 + 1 m² - 4m + 5 = 2m - 1 m² - 4m - 2m + 5 + 1 = 0 m² - 6m + 6 = 0 Giải phương trình bậc hai này cho m: Δ_m = (-6)² - 4(1)(6) = 36 - 24 = 12 √Δ_m = √12 = 2√3 m = (6 ± 2√3) / 2 m₁ = 3 + √3 m₂ = 3 - √3 Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện Δ ≥ 0 cho phương trình ban đầu. Vậy, các giá trị của m là 3 - √3 và 3 + √3.