40 câu Toán Học Lớp 9 – Chương V. Đường tròn

Giải thích: Theo định nghĩa, điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R) khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm O đến M lớn hơn bán kính R. Trong trường hợp này, R = 5cm, nên OM > 5cm.

Giải thích: Vì AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, nên OB ⊥ AB tại B. Tam giác OBA vuông tại B. Theo định lý Pitago, ta có OA² = OB² + AB². Thay số: 10² = R² + 8². Suy ra 100 = R² + 64. Do đó R² = 100 - 64 = 36. Vậy R = √36 = 6cm.

Giải thích: Trong một đường tròn, hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. Dây nào gần tâm hơn thì lớn hơn. Ở đây, khoảng cách từ tâm đến dây AB (3cm) nhỏ hơn khoảng cách từ tâm đến dây CD (4cm). Do đó, dây AB gần tâm hơn dây CD, suy ra AB > CD.

Giải thích: Vì H là trung điểm của AB, theo tính chất đường kính vuông góc với dây, ta có OH ⊥ AB. Tam giác OHA là tam giác vuông tại H. Ta có OA là bán kính R = 10cm và AH = AB/2 = 16/2 = 8cm. Áp dụng định lý Pitago trong ΔOHA, ta có OA² = OH² + AH². Thay số: 10² = OH² + 8². Suy ra 100 = OH² + 64. Do đó OH² = 100 - 64 = 36. Vậy OH = √36 = 6cm.

Giải thích: Theo định lý về đường kính và dây cung: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. Vì CD là đường kính và CD ⊥ AB tại H, nên H phải là trung điểm của dây AB.

Giải thích: Theo định nghĩa, một điểm P nằm trong đường tròn (O; R) khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm O đến điểm P nhỏ hơn bán kính R. Ở đây, R = 7cm, nên OP < 7cm.

Giải thích: Trong một đường tròn, dây lớn nhất chính là đường kính của đường tròn đó. Độ dài đường kính bằng hai lần bán kính. Vì bán kính R = 6cm, nên độ dài lớn nhất của dây là 2 × 6 = 12cm.

Giải thích: Trong một đường tròn, hai dây bằng nhau thì căng hai cung bằng nhau. Ngược lại, hai cung bằng nhau thì căng hai dây bằng nhau. Vì dây AB = dây CD, nên cung nhỏ AB bằng cung nhỏ CD.

Giải thích: Gọi H là trung điểm của dây MN. Khi đó OH ⊥ MN. Theo tính chất đường kính vuông góc với dây, H là trung điểm của MN. Do đó, MH = HN = MN/2 = 24/2 = 12cm. Tam giác OHM là tam giác vuông tại H. Áp dụng định lí Pythagore, ta có: OM² = OH² + MH². Vì OM là bán kính R của đường tròn, OH là khoảng cách từ tâm đến dây (5cm), MH = 12cm, nên R² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169. Suy ra R = √169 = 13cm.

Giải thích: Theo định lí về đường kính và dây: Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy và chia đôi cung bị căng bởi dây ấy. Trong trường hợp này, đường kính AB vuông góc với dây CD tại H, nên AB chia đôi cung CD. Điều này có nghĩa là điểm A là điểm chính giữa của cung CD. Do đó, cung AC bằng cung AD.

Giải thích: Trong một đường tròn, hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau. Dây lớn hơn căng cung lớn hơn, và ngược lại. Vì AB > CD, nên cung nhỏ AB cũng lớn hơn cung nhỏ CD.

Giải thích: Công thức tính độ dài cung tròn là L = (n/360) × 2πR, trong đó n là số đo cung (theo độ) và R là bán kính đường tròn. Với R = 6cm và n = 60°: L = (60/360) × 2 × 3.14 × 6 L = (1/6) × 12 × 3.14 L = 2 × 3.14 L = 6.28 cm.

Giải thích: Xét tam giác OMN có OM = ON = R (bán kính) và MN = R√3. Kẻ OH ⊥ MN tại H. Khi đó H là trung điểm của MN và OH cũng là đường phân giác của góc MON. MH = MN/2 = (R√3)/2. Trong tam giác vuông OHM, ta có sin(∠MOH) = MH/OM = ((R√3)/2) / R = √3/2. Suy ra ∠MOH = 60°. Góc ở tâm MON = 2 × ∠MOH = 2 × 60° = 120°.

Giải thích: Công thức tính diện tích hình quạt tròn là S = (n/360) × πR², trong đó n là số đo cung (theo độ) và R là bán kính đường tròn. Với R = 8cm và n = 45°: S = (45/360) × 3.14 × 8² S = (1/8) × 3.14 × 64 S = 8 × 3.14 S = 25.12 cm².

Giải thích: Diện tích hình vành khuyên được tính bằng công thức S = π(R₁² - R₂²), trong đó R₁ là bán kính đường tròn lớn và R₂ là bán kính đường tròn nhỏ. Với R₁ = 10cm và R₂ = 6cm: S = 3.14 × (10² - 6²) S = 3.14 × (100 - 36) S = 3.14 × 64 S = 200.96 cm².

Giải thích: Với đường tròn (O; R) và đường thẳng Δ có khoảng cách d từ tâm O đến Δ:

• Nếu d > R: Đường thẳng không cắt đường tròn.
• Nếu d = R: Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.
• Nếu d < R: Đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt.

Trong trường hợp này, R = 7cm và d = 5cm. Vì d < R (5cm < 7cm), nên đường thẳng Δ cắt đường tròn (O) tại hai điểm phân biệt.

Giải thích: Công thức tính độ dài cung tròn là l = (πRα) / 180, trong đó l là độ dài cung, R là bán kính đường tròn và α là số đo góc ở tâm chắn cung (tính bằng độ). Theo đề bài: l = 12π cm, α = 135°. Thay vào công thức ta có: 12π = (πR * 135) / 180. Chia cả hai vế cho π: 12 = (R * 135) / 180. Để tìm R, ta có: R = (12 * 180) / 135. R = 2160 / 135. R = 16 cm. Vậy bán kính của đường tròn là 16cm.

Giải thích: Theo tính chất của tiếp tuyến, tiếp tuyến PT vuông góc với bán kính OT tại tiếp điểm T. Do đó, tam giác OTP là tam giác vuông tại T. Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông OTP: OP² = OT² + PT² Trong đó: OP là khoảng cách từ tâm O đến điểm P (cạnh huyền) = 10cm. OT là bán kính của đường tròn = 6cm. PT là độ dài đoạn tiếp tuyến cần tìm. Thay số vào công thức: 10² = 6² + PT² 100 = 36 + PT² PT² = 100 - 36 PT² = 64 PT = √64 = 8cm. Vậy độ dài đoạn PT là 8cm.

Giải thích: Công thức tính diện tích hình quạt tròn là S = (πR²α) / 360, trong đó S là diện tích hình quạt, R là bán kính và α là số đo góc ở tâm (tính bằng độ). Theo đề bài: R = 10cm, S = 30π cm². Thay vào công thức ta có: 30π = (π * 10² * α) / 360. 30π = (π * 100 * α) / 360. Chia cả hai vế cho π: 30 = (100 * α) / 360. Để tìm α, ta có: α = (30 * 360) / 100. α = 10800 / 100. α = 108°. Vậy số đo góc ở tâm của hình quạt đó là 108°.

Giải thích: Gọi R₁ là bán kính của đường tròn lớn (OA) và R₂ là bán kính của đường tròn nhỏ (OC). Diện tích hình vành khuyên được tính bằng công thức S = π(R₁² - R₂²). Dây AB của đường tròn lớn tiếp xúc với đường tròn nhỏ tại C, điều này có nghĩa là OC vuông góc với AB tại C. Khi đó, C là trung điểm của dây AB. Độ dài đoạn AC = AB / 2 = 24 / 2 = 12cm. Xét tam giác OAC vuông tại C (vì OC ⊥ AB): Theo định lý Pythagoras: OA² = OC² + AC² R₁² = R₂² + 12² R₁² - R₂² = 12² R₁² - R₂² = 144. Thay giá trị này vào công thức diện tích hình vành khuyên: S = π(R₁² - R₂²) = π * 144. Với π ≈ 3.14: S = 3.14 * 144 = 452.16 cm². Vậy diện tích hình vành khuyên là 452.16 cm².

Giải thích: Đường thẳng và đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm đến đường thẳng nhỏ hơn bán kính của đường tròn (d < R).

Giải thích: Khi hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau, khoảng cách giữa hai tâm bằng tổng các bán kính của chúng.
Vậy OO' = R₁ + R₂ = 6cm + 4cm = 10cm.

Giải thích: Bán kính của đường tròn là R = 9cm. Khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng Δ là d = 12cm.
Vì d > R (12cm > 9cm), nên đường thẳng Δ không cắt đường tròn (O). Do đó, số điểm chung là 0.

Giải thích: Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r) với R = 8cm, r = 3cm và OO' = 10cm.
Tính tổng hai bán kính: R + r = 8 + 3 = 11cm.
Tính hiệu hai bán kính: |R - r| = |8 - 3| = 5cm.
Vì |R - r| < OO' < R + r (tức là 5cm < 10cm < 11cm), nên hai đường tròn này cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Giải thích: Khi hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau, khoảng cách giữa hai tâm bằng tổng các bán kính của chúng.
Ta có: OO' = R + r.
Thay số vào, ta được: 12cm = R + 7cm.
Suy ra R = 12 - 7 = 5cm.

Giải thích: Khi khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính (d = R), đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn. Trong trường hợp này, đường thẳng và đường tròn có một điểm chung duy nhất, đó là điểm tiếp xúc.

Giải thích: Khi hai đường tròn tiếp xúc trong, khoảng cách giữa hai tâm bằng hiệu các bán kính của chúng. Công thức là OO' = R - r.
Áp dụng vào bài toán: OO' = 10cm - 4cm = 6cm.

Giải thích: Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên đường thẳng Δ. Khi đó OH là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng Δ, nên OH = 3cm. H cũng là trung điểm của dây AB.
Xét tam giác OHA vuông tại H. Theo định lí Pythagore, ta có: OA² = OH² + HA².
Thay số: 5² = 3² + HA².
25 = 9 + HA².
HA² = 25 - 9 = 16.
HA = √16 = 4cm.
Vì H là trung điểm của AB, nên AB = 2 × HA = 2 × 4 = 8cm.

Giải thích: Khi đường tròn (O') nằm hoàn toàn bên trong đường tròn (O) và không có điểm chung, khoảng cách giữa hai tâm OO' phải nhỏ hơn hiệu hai bán kính (R - r). Nếu OO' = R - r thì hai đường tròn tiếp xúc trong.

Giải thích: Khi hai đường tròn ở ngoài nhau và không tiếp xúc, khoảng cách giữa hai tâm OO' phải lớn hơn tổng hai bán kính (R + r). Nếu OO' = R + r thì hai đường tròn tiếp xúc ngoài.

Giải thích: Khi hai đường tròn tiếp xúc trong, chúng chỉ có một điểm chung duy nhất. Tại điểm chung đó, có thể kẻ được một tiếp tuyến chung duy nhất cho cả hai đường tròn.

Giải thích: Gọi H là giao điểm của AB và OO'. Vì AB là dây chung, OO' là đường trung trực của AB, nên H là trung điểm của AB và OH ⊥ AB, O'H ⊥ AB.
Độ dài AH = AB/2 = 24/2 = 12cm.
Trong tam giác vuông OHA, ta có: OH² = OA² - AH² = 13² - 12² = 169 - 144 = 25. Vậy OH = 5cm.
Trong tam giác vuông O'HA, ta có: O'H² = O'A² - AH² = 15² - 12² = 225 - 144 = 81. Vậy O'H = 9cm.
Vì hai đường tròn cắt nhau, H nằm giữa O và O'. Do đó, khoảng cách giữa hai tâm OO' = OH + O'H = 5 + 9 = 14cm.

Giải thích: Theo tính chất của tiếp tuyến, ta có OA ⊥ MA và OB ⊥ MB. Do đó, ∠OAM = 90° và ∠OBM = 90°.
Xét tứ giác MAOB, tổng các góc trong một tứ giác là 360°.
∠AMB + ∠OAM + ∠AOB + ∠OBM = 360°
70° + 90° + ∠AOB + 90° = 360°
250° + ∠AOB = 360°
∠AOB = 360° - 250° = 110°.

Giải thích: Hai đường tròn cắt nhau khi và chỉ khi khoảng cách giữa hai tâm lớn hơn hiệu hai bán kính và nhỏ hơn tổng hai bán kính.
Tức là: |R - r| < d < R + r.
Thay số: |9 - 4| < d < 9 + 4.
5cm < d < 13cm.

Giải thích: Trong tam giác vuông ABC, cạnh huyền BC là đường kính của đường tròn ngoại tiếp.
Áp dụng định lý Pythagoras, ta có:
BC² = AB² + AC²
BC² = 6² + 8²
BC² = 36 + 64
BC² = 100
BC = √100 = 10cm.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp R = BC/2 = 10/2 = 5cm.

Giải thích: Góc tạo bởi hai dây cắt nhau bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn.
Góc AEC = (số đo cung AC + số đo cung BD) / 2
Góc AEC = (60° + 100°) / 2 = 160° / 2 = 80°.

Giải thích: Gọi R = 7cm và r = 3cm.
Tổng hai bán kính: R + r = 7 + 3 = 10cm.
Hiệu hai bán kính: R - r = 7 - 3 = 4cm.
Khoảng cách giữa hai tâm là OO' = 12cm.
Vì OO' > R + r (12cm > 10cm), nên hai đường tròn ở ngoài nhau và không có điểm chung.
Trong trường hợp này, hai đường tròn có 4 tiếp tuyến chung (2 tiếp tuyến chung ngoài và 2 tiếp tuyến chung trong).

Giải thích: Theo định lí về phương tích của một điểm đối với đường tròn (hay hệ thức tiếp tuyến và cát tuyến), ta có:
MT² = MA × MB
Thay số vào: 12² = 8 × MB
144 = 8 × MB
MB = 144 / 8 = 18cm.

Giải thích: Khi hai đường tròn tiếp xúc trong, khoảng cách giữa hai tâm bằng hiệu hai bán kính của chúng.
Giả sử R = 15cm là bán kính của đường tròn (O) và r là bán kính của đường tròn (O').
Ta có công thức: OO' = R - r
Thay số vào: 6 = 15 - r
r = 15 - 6 = 9cm.

Giải thích: Trong hình chữ nhật nội tiếp đường tròn, đường chéo của hình chữ nhật chính là đường kính của đường tròn ngoại tiếp.
Xét tam giác vuông ABC (vuông tại B), ta có:
AC² = AB² + BC² (Định lí Pythagore)
AC² = 8² + 6²
AC² = 64 + 36
AC² = 100
AC = √100 = 10cm.
Vì AC là đường kính của đường tròn, nên bán kính R của đường tròn là:
R = AC / 2 = 10 / 2 = 5cm.