40 câu Toán Học Lớp 9 – Chương IX. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp

Giải thích: Vì AC là đường kính của đường tròn (O), nên tam giác ABC nội tiếp đường tròn và có cạnh AC là đường kính, suy ra tam giác ABC vuông tại B.
Ta có AC = 2R.
Theo đề bài, AB = R√3.
Trong tam giác vuông ABC, ta có cos(∠BAC) = AB/AC = (R√3)/(2R) = √3/2.
Vậy ∠BAC = 30°.

Giải thích: Trong tam giác vuông, tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền. Bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng một nửa độ dài cạnh huyền.
Vậy bán kính R = BC/2 = 10/2 = 5 cm.

Giải thích: Góc nội tiếp AMB chắn cung nhỏ AB.
Theo định lí về góc nội tiếp, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn.
Vậy sđ∠AMB = ¹/₂ sđ cung nhỏ AB = ¹/₂ × 100° = 50°.

Giải thích: Trong tam giác đều, tâm đường tròn nội tiếp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp, đồng thời là trọng tâm của tam giác.
Gọi G là tâm đường tròn nội tiếp (cũng là trọng tâm) của tam giác đều ABC.
Đường cao AH của tam giác đều cạnh a là h = a√3/2.
Với a = 6 cm, ta có AH = 6√3/2 = 3√3 cm.
Khoảng cách từ tâm đường tròn nội tiếp (trọng tâm G) đến mỗi đỉnh (ví dụ AG) chính là bán kính đường tròn ngoại tiếp R.
R = AG = ²/₃ AH = ²/₃ × 3√3 = 2√3 cm.
Giá trị xấp xỉ của 2√3 là 2 × 1.732 ≈ 3.464 cm.
Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, ta được 3.5 cm.

Giải thích: Ta kiểm tra xem tam giác ABC có phải là tam giác vuông hay không bằng cách sử dụng định lí Pythagore đảo.
Ta có AB² + BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
CA² = 10² = 100.
Vì AB² + BC² = CA², theo định lí Pythagore đảo, tam giác ABC vuông tại B.
Trong tam giác vuông, tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền, và bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng một nửa độ dài cạnh huyền.
Cạnh huyền là CA = 10 cm.
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp R = CA / 2 = 10 / 2 = 5 cm.

Giải thích: Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. Góc BAC và góc BDC cùng chắn cung BC. Do đó, góc BDC = góc BAC = 40°.

Giải thích: Tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm.
Áp dụng định lý Pythagoras, độ dài cạnh huyền BC là: BC = √(AB² + AC²) = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 cm.
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác vuông được tính bằng công thức r = (AB + AC - BC) / 2.
Vậy, r = (6 + 8 - 10) / 2 = 4 / 2 = 2 cm.

Giải thích: Trong một tứ giác nội tiếp đường tròn, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°.
Góc ADC và góc ABC là hai góc đối diện.
Do đó, góc ABC + góc ADC = 180°.
Góc ABC = 180° - 110° = 70°.

Giải thích: Đối với tam giác đều có cạnh là 'a', bán kính đường tròn ngoại tiếp R được tính bằng công thức R = a/√3.
Thay a = 3√3 cm vào công thức, ta có:
R = (3√3) / √3 = 3 cm.

Giải thích: Góc ở tâm chắn cung AB là góc AOB. Góc nội tiếp chắn cung AB là góc ACB.
Theo định lý, số đo góc ở tâm bằng hai lần số đo góc nội tiếp cùng chắn một cung.
Vậy, góc AOB = 2 × góc ACB = 2 × 55° = 110°.

Giải thích: Tâm đường tròn ngoại tiếp một tam giác là điểm cách đều ba đỉnh của tam giác đó. Điểm này chính là giao điểm của ba đường trung trực của các cạnh tam giác.

Giải thích: Một tứ giác nội tiếp đường tròn khi và chỉ khi tổng hai góc đối của nó bằng 180°. Ở đây, góc DAB + góc BCD = 80° + 100° = 180°. Vậy tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn.

Giải thích: Đối với tam giác đều cạnh 'a', bán kính đường tròn nội tiếp r được tính bằng công thức r = a / (2√3). Thay a = 6 cm vào công thức, ta có r = 6 / (2√3) = 3 / √3 = (3√3) / 3 = √3 cm.

Giải thích: Một trong các dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp là: nếu một tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn. Trong trường hợp này, góc ngoài tại đỉnh D (góc ADx) bằng 70°, và góc đối trong tại đỉnh B (góc ABC) cũng bằng 70°. Do đó, tứ giác ABCD nội tiếp được đường tròn.

Giải thích: Theo định lý sin, trong một tam giác, tỉ số giữa độ dài một cạnh và sin của góc đối diện bằng hai lần bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó (2R). Ta có: BC / sin(A) = 2R 8 / sin(60°) = 2R 8 / (√3/2) = 2R 16 / √3 = 2R R = 8 / √3 = (8√3) / 3 ≈ (8 × 1.732) / 3 ≈ 13.856 / 3 ≈ 4.618 cm. Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, ta được R ≈ 4.6 cm.

Giải thích: Tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác. Đối với tam giác nhọn, tâm nằm bên trong tam giác. Đối với tam giác vuông, tâm nằm trên trung điểm của cạnh huyền. Đối với tam giác tù, tâm nằm bên ngoài tam giác.

Giải thích: Trong một tứ giác nội tiếp đường tròn, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°. Do đó, góc BCD + góc DAB = 180°. Thay số đo góc DAB = 100° vào, ta có góc BCD + 100° = 180°, suy ra góc BCD = 180° - 100° = 80°.

Giải thích: Để tính bán kính đường tròn nội tiếp r, ta sử dụng công thức r = S/p, trong đó S là diện tích tam giác và p là nửa chu vi tam giác. 1. Tính nửa chu vi p: p = (AB + AC + BC)/2 = (10 + 10 + 12)/2 = 32/2 = 16 cm. 2. Tính chiều cao h của tam giác từ đỉnh A xuống cạnh BC. Gọi H là trung điểm của BC, thì AH ⊥ BC. BH = BC/2 = 12/2 = 6 cm. Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông ABH: AH² = AB² - BH² = 10² - 6² = 100 - 36 = 64. Vậy AH = √64 = 8 cm. 3. Tính diện tích S của tam giác: S = (1/2) × BC × AH = (1/2) × 12 × 8 = 48 cm². 4. Tính bán kính r: r = S/p = 48/16 = 3 cm.

Giải thích: Các điều kiện để một tứ giác nội tiếp đường tròn là: A. Tổng hai góc đối bằng 180° (ví dụ: góc A + góc C = 180°). B. Góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện (ví dụ: góc ngoài tại D bằng góc B). C. Bốn đỉnh A, B, C, D cùng cách đều một điểm O (điểm O chính là tâm đường tròn ngoại tiếp). D. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là tính chất của hình bình hành. Một hình bình hành chỉ nội tiếp được đường tròn khi nó là hình chữ nhật hoặc hình vuông, không phải mọi hình bình hành đều nội tiếp được đường tròn. Do đó, điều kiện này KHÔNG ĐẢM BẢO tứ giác nội tiếp.

Giải thích: Để tính bán kính đường tròn ngoại tiếp R, ta sử dụng định lý sin: a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R. 1. Tính góc A: Tổng ba góc trong tam giác là 180°, nên góc A = 180° - (góc B + góc C) = 180° - (45° + 60°) = 180° - 105° = 75°. 2. Áp dụng định lý sin: Ta có cạnh a (cạnh đối diện với góc A) là BC = 10 cm. 2R = BC / sinA = 10 / sin75°. 3. Tính sin75°: sin75° = sin(45° + 30°) = sin45°cos30° + cos45°sin30° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4. 4. Tính R: 2R = 10 / ((√6 + √2)/4) = 40 / (√6 + √2). R = 20 / (√6 + √2). Để khử căn ở mẫu, nhân cả tử và mẫu với (√6 - √2): R = 20(√6 - √2) / ((√6 + √2)(√6 - √2)) = 20(√6 - √2) / (6 - 2) = 20(√6 - √2) / 4 = 5(√6 - √2). 5. Tính giá trị xấp xỉ: √6 ≈ 2.449, √2 ≈ 1.414. R ≈ 5 × (2.449 - 1.414) = 5 × 1.035 = 5.175. 6. Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất: R ≈ 5.2 cm.

Giải thích: Vì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn, tổng hai góc đối bằng 180°.
Do đó, góc DAB + góc BCD = 180°.
Góc DAB = 180° - góc BCD = 180° - 100° = 80°.
Vì AC là đường phân giác của góc DAB, nên góc DAC = góc CAB = góc DAB / 2.
Góc DAC = 80° / 2 = 40°.

Giải thích: Công thức tính số đo mỗi góc nội của một đa giác đều n cạnh là: (n - 2) × 180° / n.
Với n = 9, số đo mỗi góc nội là: (9 - 2) × 180° / 9 = 7 × 180° / 9 = 7 × 20° = 140°.

Giải thích: Xét tứ giác AEHF:
Góc AEH = 90° (vì BE là đường cao).
Góc AFH = 90° (vì CF là đường cao).
Tổng hai góc đối: góc AEH + góc AFH = 90° + 90° = 180°. Do đó, tứ giác AEHF nội tiếp được đường tròn.

Xét tứ giác BFEC:
Góc BFC = 90° (vì CF là đường cao).
Góc BEC = 90° (vì BE là đường cao).
Hai đỉnh F và E cùng nhìn cạnh BC dưới một góc 90°. Do đó, tứ giác BFEC nội tiếp được đường tròn (đường kính BC).

Vậy, cả hai tứ giác AEHF và BFEC đều nội tiếp được đường tròn.

Giải thích: Trong một hình lục giác đều nội tiếp đường tròn, độ dài mỗi cạnh của hình lục giác đều bằng bán kính của đường tròn ngoại tiếp.
Vì bán kính đường tròn là 8 cm, nên độ dài cạnh của hình lục giác đều cũng là 8 cm.

Giải thích: Tổng số đo các góc ngoài của một đa giác lồi n cạnh luôn bằng 360°.
Đối với một đa giác đều, tất cả các góc ngoài đều bằng nhau.
Vậy, số đo mỗi góc ngoài của đa giác đều n cạnh là 360° / n.
Theo đề bài, mỗi góc ngoài bằng 40°, nên ta có phương trình: 360° / n = 40°.
Từ đó, n = 360° / 40° = 9.
Vậy, đa giác đó có 9 cạnh.

Giải thích: Công thức tính độ dài cạnh a của một đa giác đều n cạnh nội tiếp đường tròn bán kính R là a = 2R × sin(180°/n).
Với ngũ giác đều, n = 5 và R = 10 cm.
a = 2 × 10 × sin(180°/5) = 20 × sin(36°).
Sử dụng máy tính, sin(36°) ≈ 0.587785.
a ≈ 20 × 0.587785 ≈ 11.7557 cm.
Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, ta được a ≈ 11.8 cm.

Giải thích: Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp và R là bán kính của đường tròn đó.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Vì ABCD là hình thang cân nên O nằm trên đường thẳng MN.
Kẻ đường cao DH của hình thang (H thuộc AB).
Khi đó, AH = (AB - CD)/2 = (10 - 2)/2 = 4 cm.
Trong tam giác vuông ADH, DH = 6 cm, AH = 4 cm.
Gọi x là khoảng cách từ O đến đáy AB (OM). Vì hình thang cân nội tiếp đường tròn, tâm O cách đều các đỉnh.
R² = AM² + OM² = (AB/2)² + x² = 5² + x² = 25 + x².
Khoảng cách từ O đến đáy CD là ON = |DH - OM| = |6 - x|.
R² = CN² + ON² = (CD/2)² + (6 - x)² = 1² + (6 - x)² = 1 + 36 - 12x + x² = 37 - 12x + x².
Đồng nhất hai biểu thức của R²:
25 + x² = 37 - 12x + x²
25 = 37 - 12x
12x = 37 - 25
12x = 12 => x = 1 cm.
Thay x = 1 vào biểu thức R² = 25 + x²:
R² = 25 + 1² = 25 + 1 = 26.
Vậy, R = √26 cm.

Giải thích: Vì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn, tổng hai góc đối diện bằng 180°.
Do đó, góc ADC + góc ABC = 180°.
Với góc ABC = 100°, ta có:
góc ADC = 180° - góc ABC = 180° - 100° = 80°.
Thông tin về góc BEC = 30° là để kiểm tra sự hiểu biết của học sinh về các tính chất góc trong đường tròn và tam giác, nhưng không cần thiết để tính góc ADC.

Giải thích: Đối với một đa giác đều n cạnh, ta có thể xét tam giác vuông tạo bởi tâm O, một đỉnh A và trung điểm M của một cạnh AB. Trong tam giác vuông OMA, OA là bán kính đường tròn ngoại tiếp R, OM là bán kính đường tròn nội tiếp r, và góc MOA = 180°/n.
Ta có cos(góc MOA) = OM/OA = r/R.
Theo đề bài, R/r = 2/√3, suy ra r/R = √3/2.
Vậy, cos(180°/n) = √3/2.
Chúng ta biết rằng cos(30°) = √3/2.
Do đó, 180°/n = 30°.
n = 180° / 30° = 6.
Vậy, đa giác đều đó có 6 cạnh (là một lục giác đều).

Giải thích: Vì MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A và B, ta có OA ⊥ MA và OB ⊥ MB.
Do đó, tam giác OAM và tam giác OBM là hai tam giác vuông tại A và B.
Trong tam giác vuông OAM:
Cạnh huyền OM = 2R.
Cạnh góc vuông OA = R (bán kính đường tròn).
Áp dụng định lý Pythagoras, ta tính được độ dài cạnh MA:
MA² = OM² - OA² = (2R)² - R² = 4R² - R² = 3R².
MA = √(3R²) = R√3.
Diện tích tứ giác MAOB là tổng diện tích của hai tam giác vuông OAM và OBM.
Vì OA = OB = R và OM là cạnh chung, hai tam giác vuông OAM và OBM bằng nhau.
Diện tích tam giác OAM = 1/2 × OA × MA = 1/2 × R × R√3 = (R²√3)/2.
Diện tích tứ giác MAOB = 2 × Diện tích tam giác OAM = 2 × (R²√3)/2 = R²√3.

Giải thích: Với hình lục giác đều nội tiếp đường tròn bán kính R, độ dài cạnh của lục giác đều chính bằng bán kính R. Vậy cạnh a = 6 cm.
Diện tích của một hình lục giác đều có cạnh a được tính bằng công thức: S = ^3√3/₂ × a².
Thay a = 6 cm vào công thức, ta có:
S = ^3√3/₂ × 6² = ^3√3/₂ × 36 = 3√3 × 18 = 54√3 cm².
Vậy, diện tích của hình lục giác đều là 54√3 cm².

Giải thích: Đối với một đa giác đều n cạnh có độ dài cạnh a, bán kính đường tròn nội tiếp r được tính bằng công thức: r = ^a/_{(2 × tan(^π/n))}.
Trong trường hợp này, n = 8 (bát giác đều) và a = 4 cm.
r = ⁴/_{(2 × tan(^π/8))} = ²/_tan(22.5°).
Giá trị của tan(22.5°) ≈ 0.4142.
r ≈ ²/_0.4142 ≈ 4.828.
Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, ta được r ≈ 4.8 cm.

Giải thích: Vì AB song song với CD, tứ giác ABCD là một hình thang.
Một tính chất quan trọng của tứ giác nội tiếp đường tròn là: nếu một hình thang nội tiếp được đường tròn thì nó phải là hình thang cân.
Do đó, tứ giác ABCD là hình thang cân.

Giải thích: Đầu tiên, ta tính độ dài cạnh huyền BC bằng định lý Pytago:
BC = √(AB² + AC²) = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 cm.
Đối với tam giác vuông, bán kính đường tròn nội tiếp r được tính bằng công thức:
r = ^{(AB + AC - BC)}/₂.
Thay các giá trị vào, ta có:
r = ^{(6 + 8 - 10)}/₂ = ⁴/₂ = 2 cm.
Vậy, bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác là 2 cm.

Giải thích: Theo định lý về phương tích của một điểm đối với đường tròn (cụ thể là định lý tiếp tuyến - cát tuyến), ta có:
MT² = MA × MB.
Thay các giá trị đã cho vào:
6² = 4 × MB
36 = 4 × MB
MB = ³⁶/₄ = 9 cm.
Vì điểm A nằm giữa M và B, ta có MB = MA + AB.
Suy ra, AB = MB - MA = 9 - 4 = 5 cm.
Vậy, độ dài đoạn thẳng AB là 5 cm.

Giải thích: Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều, a là độ dài cạnh của tam giác đều. Ta có công thức a = R√3. Với R = 6 cm, ta có a = 6√3 cm.

Giải thích: Vẽ hình theo mô tả. Vì MA là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A, nên OA ⊥ MA. Do đó, góc OAM = 90°. Trong tam giác OAB, ta có OA = OB (bán kính), nên tam giác OAB cân tại O. Góc OAB = Góc OBA = (180° - Góc AOB) / 2 = (180° - 80°) / 2 = 100° / 2 = 50°. Vì M nằm trên đường thẳng BO, và tiếp tuyến tại A cắt đường thẳng BO, ta xét vị trí tương đối của M. Nếu M nằm trên tia OB (tức là B nằm giữa O và M), thì: Góc BAM = Góc OAM - Góc OAB = 90° - 50° = 40°. Góc ABM = Góc OBA = 50° (do M nằm trên tia đối của BO, hoặc B nằm giữa O và M). Trong tam giác ABM, tổng các góc bằng 180°: Góc AMB = 180° - (Góc BAM + Góc ABM) = 180° - (40° + 50°) = 180° - 90° = 90°. Nếu O nằm giữa M và B, thì Góc AOM = 180° - Góc AOB = 100°. Trong tam giác vuông OAM, Góc AMO = 90° - 100° = -10°, điều này không thể xảy ra. Vậy, Góc AMB = 90°.

Giải thích: Đường tròn nội tiếp hình vuông là đường tròn tiếp xúc với bốn cạnh của hình vuông. Tâm của đường tròn nội tiếp trùng với tâm của hình vuông. Bán kính của đường tròn nội tiếp (r) bằng một nửa độ dài cạnh của hình vuông. Vậy r = cạnh / 2 = 8 / 2 = 4 cm.

Giải thích: Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và CD. Vì AB // CD, khoảng cách giữa hai dây là đoạn thẳng HK = 7 cm và HK đi qua tâm O. Tức là O nằm giữa H và K. OH ⊥ AB và OK ⊥ CD. Trong tam giác vuông OHB: R² = OH² + HB² = OH² + (AB/2)² = OH² + 3² = OH² + 9. Trong tam giác vuông OKC: R² = OK² + KC² = OK² + (CD/2)² = OK² + 4² = OK² + 16. Đặt OH = x. Vì O nằm giữa H và K, nên OK = HK - OH = 7 - x. Ta có: x² + 9 = (7 - x)² + 16 x² + 9 = 49 - 14x + x² + 16 9 = 65 - 14x 14x = 56 x = 4. Vậy OH = 4 cm. Thay x = 4 vào công thức R²: R² = 4² + 9 = 16 + 9 = 25. R = √25 = 5 cm.

Giải thích: Trong tam giác vuông ABC, bán kính đường tròn ngoại tiếp R bằng một nửa độ dài cạnh huyền BC. Vậy BC = 2R = 2 × 5 = 10 cm. Bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác vuông ABC được tính bằng công thức r = (AB + AC - BC) / 2. Thay r = 2 cm và BC = 10 cm vào công thức: 2 = (AB + AC - 10) / 2 4 = AB + AC - 10 AB + AC = 4 + 10 AB + AC = 14 cm.