40 câu Toán Học Lớp 9 – Chương II. Phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn

Giải thích: Điều kiện xác định của phương trình là x + 2 ≠ 0 và x - 4 ≠ 0, tức là x ≠ -2 và x ≠ 4.
Quy đồng mẫu số hai vế, ta được:
(x - 1)(x - 4) = (x + 3)(x + 2)
x² - 4x - x + 4 = x² + 2x + 3x + 6
x² - 5x + 4 = x² + 5x + 6
Chuyển các hạng tử chứa x về một vế và các hằng số về vế còn lại:
-5x - 5x = 6 - 4
-10x = 2
x = ²/_-10
x = -¹/₅
Giá trị x = -¹/₅ thỏa mãn điều kiện xác định (khác -2 và 4).
Vậy nghiệm của phương trình là x = -¹/₅.

Giải thích: Để so sánh hai biểu thức A và B, ta xét hiệu A - B.
A - B = (x² + 1) - 2x
A - B = x² - 2x + 1
Đây là hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: (x - 1)².
Vì (x - 1)² ≥ 0 với mọi số thực x (bình phương của một số luôn không âm).
Do đó, A - B ≥ 0, suy ra A ≥ B.
Vậy dấu so sánh thích hợp là ≥.

Giải thích: Giải bất phương trình:
3(x - 1) + 2 ≥ 5x - 7
Nhân phân phối và rút gọn vế trái:
3x - 3 + 2 ≥ 5x - 7
3x - 1 ≥ 5x - 7
Chuyển các hạng tử chứa x về một vế và các hằng số về vế còn lại:
-1 + 7 ≥ 5x - 3x
6 ≥ 2x
Chia cả hai vế cho 2 (số dương, không đổi chiều bất đẳng thức):
⁶/₂ ≥ x
3 ≥ x hay x ≤ 3.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là x ≤ 3.

Giải thích: Gọi quãng đường AB là S (km), S > 0.
Thời gian ô tô đi từ A đến B là t_đi = ^S/₄₀ (giờ).
Thời gian ô tô đi từ B về A là t_về = ^S/₅₀ (giờ).
Tổng thời gian cả đi và về là 4 giờ 30 phút = 4,5 giờ = ⁹/₂ giờ.
Theo đề bài, ta có phương trình:
^S/₄₀ + ^S/₅₀ = ⁹/₂
Để giải phương trình, ta tìm mẫu số chung nhỏ nhất của 40, 50, 2 là 200.
Nhân cả hai vế của phương trình với 200:
200 × (^S/₄₀) + 200 × (^S/₅₀) = 200 × (⁹/₂)
5S + 4S = 100 × 9
9S = 900
S = ⁹⁰⁰/₉
S = 100.
Vậy quãng đường AB là 100 km.

Giải thích: Ta xét từng khẳng định dựa trên tính chất của bất đẳng thức:
1. **A. a + 5 > b + 5**: Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của bất đẳng thức, dấu của bất đẳng thức không đổi. Vì a > b, nên a + 5 > b + 5 là đúng.
2. **B. 2a > 2b**: Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với một số dương (số 2), dấu của bất đẳng thức không đổi. Vì a > b, nên 2a > 2b là đúng.
3. **C. -3a > -3b**: Khi nhân cả hai vế của bất đẳng thức với một số âm (số -3), dấu của bất đẳng thức phải đổi chiều. Vì a > b, nên -3a -3b là sai.
4. **D. a - 7 > b - 7**: Khi trừ cùng một số từ cả hai vế của bất đẳng thức, dấu của bất đẳng thức không đổi. Vì a > b, nên a - 7 > b - 7 là đúng.
Vậy, khẳng định sai là C.

Giải thích: Để giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối |2x - 3| = x + 1, ta cần xét điều kiện để vế phải không âm và chia thành hai trường hợp: 1. Điều kiện: x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ -1. 2. Trường hợp 1: 2x - 3 = x + 1 Chuyển các số hạng chứa x về một vế, các số hạng tự do về vế còn lại: 2x - x = 1 + 3 x = 4 Giá trị x = 4 thỏa mãn điều kiện x ≥ -1. 3. Trường hợp 2: 2x - 3 = -(x + 1) 2x - 3 = -x - 1 Chuyển các số hạng chứa x về một vế, các số hạng tự do về vế còn lại: 2x + x = -1 + 3 3x = 2 x = ²/₃ Giá trị x = ²/₃ (khoảng 0.67) thỏa mãn điều kiện x ≥ -1. Vậy, phương trình có hai nghiệm là x = 4 và x = ²/₃.

Giải thích: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = 5 - 2x từ điều kiện -3 ≤ x ≤ 2, ta thực hiện các bước sau: 1. Nhân cả ba vế của bất đẳng thức với -2. Khi nhân với một số âm, chiều của bất đẳng thức sẽ bị đảo ngược: -2 × 2 ≤ -2x ≤ -2 × (-3) -4 ≤ -2x ≤ 6 2. Cộng 5 vào cả ba vế của bất đẳng thức: 5 - 4 ≤ 5 - 2x ≤ 5 + 6 1 ≤ 5 - 2x ≤ 11 Từ bất đẳng thức cuối cùng, ta thấy rằng giá trị của biểu thức B = 5 - 2x nằm trong đoạn [1; 11]. Vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức B là 11.

Giải thích: Để giải bất phương trình ^{x - 1}/₂ - ^{x + 2}/₃ < 1, ta cần quy đồng mẫu số của các phân thức. Mẫu số chung nhỏ nhất của 2 và 3 là 6. 1. Quy đồng mẫu số: ^{3(x - 1)}/₆ - ^{2(x + 2)}/₆ < ⁶/₆ 2. Khử mẫu (vì mẫu số là số dương nên không đổi chiều bất đẳng thức): 3(x - 1) - 2(x + 2) < 6 3. Thực hiện phép nhân và bỏ ngoặc: 3x - 3 - 2x - 4 < 6 4. Thu gọn các số hạng chứa x và các số hạng tự do: (3x - 2x) + (-3 - 4) < 6 x - 7 < 6 5. Chuyển số hạng tự do sang vế phải: x < 6 + 7 x < 13 Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là x < 13.

Giải thích: Gọi x là số áo cửa hàng bán được mỗi ngày (x phải là số nguyên dương). 1. **Doanh thu mỗi ngày:** Nếu bán x cái áo, doanh thu là: 200.000 × x (VNĐ) 2. **Chi phí mỗi ngày:** * Chi phí sản xuất x cái áo là: 120.000 × x (VNĐ) * Chi phí thuê mặt bằng và nhân công cố định là: 1.000.000 VNĐ * Tổng chi phí mỗi ngày là: 120.000x + 1.000.000 (VNĐ) 3. **Điều kiện để có lãi:** Để cửa hàng có lãi, doanh thu phải lớn hơn tổng chi phí: Doanh thu > Tổng chi phí 200.000x > 120.000x + 1.000.000 4. **Giải bất phương trình:** Chuyển các số hạng chứa x sang một vế: 200.000x - 120.000x > 1.000.000 80.000x > 1.000.000 Chia cả hai vế cho 80.000 (số dương, không đổi chiều bất đẳng thức): x > ^1.000.000/_80.000 x > ¹⁰⁰/₈ x > 12.5 5. **Kết luận:** Vì số áo bán được phải là số nguyên, và x phải lớn hơn 12.5, nên số áo ít nhất mà cửa hàng phải bán để có lãi là 13 cái áo.

Giải thích: Để giải phương trình ^2x/_{x - 1} + ³/_{x + 1} = ^{5x - 1}/_{x² - 1}, ta thực hiện các bước sau: 1. **Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ):** Mẫu số của các phân thức phải khác 0. x - 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1 x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ -1 x² - 1 ≠ 0 ⇒ (x - 1)(x + 1) ≠ 0 ⇒ x ≠ 1 và x ≠ -1. Vậy, ĐKXĐ là x ≠ 1 và x ≠ -1. 2. **Quy đồng mẫu số và khử mẫu:** Ta nhận thấy x² - 1 = (x - 1)(x + 1). Vậy mẫu số chung là (x - 1)(x + 1). ^{2x(x + 1)}/_{(x - 1)(x + 1)} + ^{3(x - 1)}/_{(x - 1)(x + 1)} = ^{5x - 1}/_{(x - 1)(x + 1)} Sau khi quy đồng, ta khử mẫu: 2x(x + 1) + 3(x - 1) = 5x - 1 3. **Giải phương trình sau khi khử mẫu:** 2x² + 2x + 3x - 3 = 5x - 1 2x² + 5x - 3 = 5x - 1 Chuyển các số hạng về một vế: 2x² + 5x - 5x - 3 + 1 = 0 2x² - 2 = 0 2x² = 2 x² = 1 x = 1 hoặc x = -1 4. **So sánh với ĐKXĐ:** Các giá trị x = 1 và x = -1 đều không thỏa mãn ĐKXĐ (x ≠ 1 và x ≠ -1). Vậy, phương trình đã cho không có nghiệm nào thỏa mãn điều kiện xác định. Tập nghiệm của phương trình là tập rỗng S = ∅.

Giải thích: Điều kiện xác định của phương trình là x - 1 ≠ 0 và x + 2 ≠ 0, tức là x ≠ 1 và x ≠ -2.
Phương trình đã cho tương đương với:
(x - 2)(x + 2) = (x + 3)(x - 1)
Sử dụng hằng đẳng thức và phân phối:
x² - 4 = x² + 3x - x - 3
x² - 4 = x² + 2x - 3
Trừ x² ở cả hai vế:
-4 = 2x - 3
Chuyển -3 sang vế trái:
-4 + 3 = 2x
-1 = 2x
x = ^-1/₂
Giá trị x = ^-1/₂ thỏa mãn điều kiện xác định (x ≠ 1 và x ≠ -2).
Vậy nghiệm của phương trình là x = ^-1/₂.

Giải thích: Ta xét từng khẳng định:
A. Khẳng định a² ≥ a không phải lúc nào cũng đúng. Ví dụ, nếu a = 0.5, thì a² = 0.25, mà 0.25 < 0.5.
B. Khẳng định (a - b)² ≥ 0 luôn đúng. Bởi vì bình phương của một số thực bất kỳ (a - b) luôn không âm.
C. Khẳng định "Nếu a > b thì ^a/_b > 1 (với b ≠ 0)" không phải lúc nào cũng đúng. Ví dụ, nếu a = 2 và b = -1, thì a > b (2 > -1) nhưng ^a/_b = ²/_-1 = -2, và -2 < 1.
D. Khẳng định "Nếu a > b thì a² > b²" không phải lúc nào cũng đúng. Ví dụ, nếu a = 1 và b = -2, thì a > b (1 > -2) nhưng a² = 1² = 1 và b² = (-2)² = 4. Rõ ràng 1 < 4, tức là a² < b².
Vậy, khẳng định (a - b)² ≥ 0 là khẳng định luôn đúng.

Giải thích: Bất phương trình |3x - 2| < 7 tương đương với hệ bất phương trình:
-7 < 3x - 2 < 7
Ta có thể tách thành hai bất phương trình:
1) 3x - 2 > -7
3x > -7 + 2
3x > -5
x > ^-5/₃
2) 3x - 2 < 7
3x < 7 + 2
3x < 9
x < 3
Kết hợp cả hai điều kiện, ta được tập nghiệm là ^-5/₃ < x < 3.

Giải thích: Gọi x là số sản phẩm cửa hàng bán được trong một ngày (x là số tự nhiên, x ≥ 0).
Lợi nhuận thu được từ việc bán x sản phẩm là: 50.000x (VNĐ).
Chi phí cố định hàng ngày là: 300.000 (VNĐ).
Lợi nhuận ròng (sau khi trừ chi phí cố định) hàng ngày là: 50.000x - 300.000 (VNĐ).
Theo yêu cầu của đề bài, lợi nhuận ròng phải đạt ít nhất 1.500.000 VNĐ, nên ta có bất phương trình:
50.000x - 300.000 ≥ 1.500.000
Cộng 300.000 vào cả hai vế:
50.000x ≥ 1.500.000 + 300.000
50.000x ≥ 1.800.000
Chia cả hai vế cho 50.000:
x ≥ ^1.800.000/_50.000
x ≥ 36
Vì x là số sản phẩm và phải là số tự nhiên, cửa hàng cần bán ít nhất 36 sản phẩm trong một ngày để đạt được mục tiêu lợi nhuận.

Giải thích: Gọi quãng đường AB là S (km, S > 0).
Gọi thời gian dự định đi từ A đến B là t (giờ, t > 0).

Trường hợp 1: Đi với vận tốc 30 km/h.
Thời gian thực tế đi là ^S/₃₀ (giờ).
Theo đề bài, thời gian này muộn hơn dự định 1 giờ, nên ta có phương trình:
^S/₃₀ = t + 1 (1)

Trường hợp 2: Đi với vận tốc 40 km/h.
Thời gian thực tế đi là ^S/₄₀ (giờ).
Theo đề bài, thời gian này sớm hơn dự định 30 phút (tức là 0.5 giờ), nên ta có phương trình:
^S/₄₀ = t - 0.5 (2)

Từ phương trình (1), ta rút t theo S:
t = ^S/₃₀ - 1

Thay biểu thức của t vào phương trình (2):
^S/₄₀ = (^S/₃₀ - 1) - 0.5
^S/₄₀ = ^S/₃₀ - 1.5

Chuyển các số hạng chứa S về một vế và số tự do về vế còn lại:
1.5 = ^S/₃₀ - ^S/₄₀

Quy đồng mẫu số cho các phân thức (mẫu chung nhỏ nhất của 30 và 40 là 120):
1.5 = ^4S/₁₂₀ - ^3S/₁₂₀
1.5 = ^{(4S - 3S)}/₁₂₀
1.5 = ^S/₁₂₀

Để tìm S, ta nhân cả hai vế với 120:
S = 1.5 × 120
S = 180

Vậy, quãng đường AB là 180 km.

Giải thích: Ta có phương trình:
(x - 2)(x + 3) = x(x - 1) + 5
Mở rộng các biểu thức:
x² + 3x - 2x - 6 = x² - x + 5
x² + x - 6 = x² - x + 5
Chuyển các hạng tử chứa x về một vế, hằng số về vế còn lại:
x + x = 5 + 6
2x = 11
x = ¹¹/₂
Vậy nghiệm của phương trình là x = ¹¹/₂.

Giải thích: Ta xét từng khẳng định:
A. x² > x: Khẳng định này không luôn đúng. Ví dụ, nếu x = 0.5, thì x² = 0.25, và 0.25 > 0.5 là sai. Nếu x = 0, thì 0 > 0 là sai.
B. |x| > x: Khẳng định này không luôn đúng. Ví dụ, nếu x = 5, thì |5| = 5, và 5 > 5 là sai. Khẳng định này chỉ đúng khi x < 0.
C. x² ≥ 0: Đây là một tính chất cơ bản của số thực. Bình phương của mọi số thực (dù dương, âm hay bằng 0) luôn không âm. Khẳng định này luôn đúng.
D. ¹/_x < 1 (với x ≠ 0): Khẳng định này không luôn đúng. Ví dụ, nếu x = 0.5, thì ¹/_x = ¹/_0.5 = 2, và 2 1 hoặc x < 0.

Giải thích: Để giải bất phương trình ^{x - 1}/₂ - ^{2x + 1}/₃ ≤ 1, ta thực hiện các bước sau:
Quy đồng mẫu số chung là 6:
^{3(x - 1)}/₆ - ^{2(2x + 1)}/₆ ≤ ⁶/₆
Nhân cả hai vế với 6 (không đổi chiều bất đẳng thức vì 6 > 0):
3(x - 1) - 2(2x + 1) ≤ 6
Phân phối và mở ngoặc:
3x - 3 - 4x - 2 ≤ 6
Gộp các hạng tử chứa x và các hằng số:
(3x - 4x) + (-3 - 2) ≤ 6
-x - 5 ≤ 6
Chuyển -5 sang vế phải:
-x ≤ 6 + 5
-x ≤ 11
Nhân cả hai vế với -1 và đổi chiều bất đẳng thức:
x ≥ -11
Chúng ta cần tìm số nguyên dương x nhỏ nhất thỏa mãn x ≥ -11. Các số nguyên dương là 1, 2, 3,...
Số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn x ≥ -11 là x = 1.

Giải thích: Gọi x là lượng nước (gam) cần pha thêm (x > 0).
Lượng muối ban đầu trong 200 gam dung dịch 10% là: 200 × 10% = 200 × ¹⁰/₁₀₀ = 20 gam.
Khi pha thêm x gam nước, lượng muối không đổi, vẫn là 20 gam.
Tổng khối lượng dung dịch mới là: 200 + x (gam).
Nồng độ muối của dung dịch mới là 4%, nên ta có phương trình:
²⁰/_{(200 + x)} = ⁴/₁₀₀
²⁰/_{(200 + x)} = ¹/₂₅
Nhân chéo các vế:
20 × 25 = 1 × (200 + x)
500 = 200 + x
x = 500 - 200
x = 300
Vậy cần pha thêm 300 gam nước.

Giải thích: Gọi toàn bộ công việc là 1 đơn vị.
Trong 1 ngày, người thứ nhất làm được ¹/₁₀ công việc.
Trong 1 ngày, người thứ hai làm được ¹/₁₅ công việc.
Khi cả hai người cùng làm, trong 1 ngày họ làm được: ¹/₁₀ + ¹/₁₅ = ³/₃₀ + ²/₃₀ = ⁵/₃₀ = ¹/₆ công việc.
Gọi t là số ngày để cả hai người cùng làm xong công việc.
Ta có phương trình: ¹/₆ × t = 1
t = 6.
Vậy nếu cả hai người cùng làm thì sau 6 ngày sẽ hoàn thành công việc.

Giải thích: Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình. Mẫu số x + 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ -2. Bước 2: Quy đồng mẫu số và khử mẫu. Phương trình đã cho tương đương với: x - 3 + (x + 2) = 2x - 1 Bước 3: Giải phương trình vừa tìm được. 2x - 1 = 2x - 1 0x = 0 Đây là một đẳng thức luôn đúng với mọi giá trị của x. Bước 4: Kết hợp với ĐKXĐ. Vì đẳng thức 0x = 0 luôn đúng với mọi x, và ĐKXĐ là x ≠ -2, nên tập nghiệm của phương trình là tất cả các số thực x trừ đi -2. Vậy, S = {x | x ≠ -2}.

Giải thích: Bước 1: Nhân các vế của bất đẳng thức với 2. Ta có 1 < x < 3. Khi nhân tất cả các vế với số dương 2, chiều bất đẳng thức không đổi: 2 × 1 < 2x < 2 × 3 2 < 2x < 6 Bước 2: Trừ 5 vào tất cả các vế của bất đẳng thức. Khi trừ một số vào tất cả các vế của bất đẳng thức, chiều bất đẳng thức không đổi: 2 - 5 < 2x - 5 < 6 - 5 -3 < 2x - 5 < 1 Bước 3: Kết luận. Vì A = 2x - 5, nên -3 < A < 1.

Giải thích: Bước 1: Triển khai các biểu thức ở hai vế của bất phương trình. (x - 2)(x + 3) = x² + 3x - 2x - 6 = x² + x - 6 x(x - 1) = x² - x Bất phương trình trở thành: x² + x - 6 > x² - x Bước 2: Chuyển các hạng tử chứa x về một vế và các hằng số về vế còn lại. x² + x - x² + x > 6 2x > 6 Bước 3: Chia cả hai vế cho hệ số của x. Chia cả hai vế cho 2 (là số dương), chiều bất phương trình không đổi: x > ⁶/₂ x > 3 Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là S = {x | x > 3}.

Giải thích: Bước 1: Đặt ẩn và tìm điều kiện của ẩn. Gọi chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật là x (m). (Điều kiện: x > 0) Chiều dài ban đầu của hình chữ nhật là 2x (m). Vì chiều rộng mới là x - 2, nên ta có thêm điều kiện x - 2 > 0 ⇒ x > 2. Bước 2: Biểu diễn diện tích ban đầu và diện tích mới. Diện tích hình chữ nhật ban đầu: S_{ban đầu} = chiều dài × chiều rộng = 2x × x = 2x² (m²). Chiều dài mới: 2x + 5 (m). Chiều rộng mới: x - 2 (m). Diện tích hình chữ nhật mới: S_mới = (2x + 5)(x - 2) (m²). Bước 3: Lập phương trình dựa trên thông tin đề bài. Theo đề bài, diện tích hình chữ nhật mới lớn hơn diện tích ban đầu 10m², nên ta có phương trình: S_mới - S_{ban đầu} = 10 (2x + 5)(x - 2) - 2x² = 10 Bước 4: Giải phương trình. Triển khai biểu thức: 2x² - 4x + 5x - 10 - 2x² = 10 x - 10 = 10 x = 10 + 10 x = 20 Bước 5: Kiểm tra điều kiện và tính chu vi. Giá trị x = 20 thỏa mãn điều kiện x > 2. Chiều rộng ban đầu là 20m. Chiều dài ban đầu là 2 × 20 = 40m. Chu vi của hình chữ nhật ban đầu là: P = 2 × (chiều dài + chiều rộng) = 2 × (40 + 20) = 2 × 60 = 120 (m).

Giải thích: Bước 1: Đặt ẩn và xác định điều kiện của ẩn. Gọi điểm bài kiểm tra thứ tư mà học sinh cần đạt là x. (Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 10, vì điểm số không thể âm và tối đa là 10). Bước 2: Lập biểu thức cho điểm trung bình. Tổng điểm của 4 bài kiểm tra là: 7 + 8 + 9 + x = 24 + x. Điểm trung bình của 4 bài kiểm tra là: ^{(24 + x)}/₄. Bước 3: Lập bất phương trình dựa trên yêu cầu đề bài. Để điểm trung bình đạt ít nhất 8.5, ta có bất phương trình: ^{(24 + x)}/₄ ≥ 8.5 Bước 4: Giải bất phương trình. Nhân cả hai vế của bất phương trình với 4 (là số dương), chiều bất phương trình không đổi: 24 + x ≥ 8.5 × 4 24 + x ≥ 34 Chuyển 24 sang vế phải: x ≥ 34 - 24 x ≥ 10 Bước 5: Kết hợp với điều kiện của ẩn. Ta có x ≥ 10 và điều kiện ban đầu là 0 ≤ x ≤ 10. Để cả hai điều kiện cùng đúng, giá trị của x phải là 10. Vậy, bài kiểm tra thứ tư học sinh đó cần đạt tối thiểu 10 điểm để điểm trung bình môn Toán cả học kỳ đạt ít nhất 8.5.

Giải thích: Điều kiện xác định của phương trình là x ≠ 2 và x ≠ -2.
Quy đồng mẫu số chung là (x-2)(x+2) = x²-4, ta có:
(x+1)(x+2) - (x-1)(x-2) = 4
(x² + 3x + 2) - (x² - 3x + 2) = 4
x² + 3x + 2 - x² + 3x - 2 = 4
6x = 4
x = ⁴/₆ = ²/₃
Giá trị x = ²/₃ thỏa mãn điều kiện xác định.
Vậy nghiệm của phương trình là x = ²/₃.

Giải thích: Để biểu thức P = 2x - 3y đạt giá trị lớn nhất, ta cần 2x đạt giá trị lớn nhất và 3y đạt giá trị nhỏ nhất.
Từ -2 ≤ x ≤ 3, nhân cả hai vế với 2 (số dương), ta được: 2(-2) ≤ 2x ≤ 2(3) ⇒ -4 ≤ 2x ≤ 6.
Giá trị lớn nhất của 2x là 6 (khi x = 3).
Từ 1 ≤ y ≤ 4, nhân cả hai vế với 3 (số dương), ta được: 3(1) ≤ 3y ≤ 3(4) ⇒ 3 ≤ 3y ≤ 12.
Giá trị nhỏ nhất của 3y là 3 (khi y = 1).
Vậy, giá trị lớn nhất của P = 2x - 3y là (giá trị lớn nhất của 2x) - (giá trị nhỏ nhất của 3y) = 6 - 3 = 3.
Giá trị này đạt được khi x = 3 và y = 1.

Giải thích: Ta giải bất phương trình:
3 - 2(x + 1) ≤ 5 - 3x
3 - 2x - 2 ≤ 5 - 3x
1 - 2x ≤ 5 - 3x
Chuyển các hạng tử chứa x về một vế và hằng số về vế còn lại:
-2x + 3x ≤ 5 - 1
x ≤ 4
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = {x | x ≤ 4}.

Giải thích: Gọi giá gốc của mỗi sản phẩm là x (VNĐ). (Điều kiện: x > 0)
Khi cửa hàng giảm giá 20%, giá của mỗi sản phẩm sau khi giảm là: x - 20%x = x - 0.2x = 0.8x.
Khách hàng mua 3 sản phẩm có giá gốc bằng nhau, vậy tổng số tiền phải trả là: 3 × (0.8x) = 2.4x.
Theo đề bài, tổng số tiền phải trả là 480.000 VNĐ.
Ta có phương trình: 2.4x = 480.000
x = ^480.000/_2.4
x = 200.000
Vậy giá gốc của mỗi sản phẩm là 200.000 VNĐ.

Giải thích: Để giải bất phương trình, ta tìm mẫu chung là 4 và quy đồng:
Nhân cả hai vế của bất phương trình với 4 (vì 4 > 0 nên chiều bất phương trình không đổi):
2(x - 1) + (2x + 3) ≥ 4(x - 1)
2x - 2 + 2x + 3 ≥ 4x - 4
4x + 1 ≥ 4x - 4
Chuyển các hạng tử chứa x về một vế và hằng số về vế còn lại:
4x - 4x ≥ -4 - 1
0x ≥ -5
0 ≥ -5
Khẳng định '0 ≥ -5' là một khẳng định đúng với mọi giá trị của x.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là tập hợp tất cả các số thực, kí hiệu là S = R.

Giải thích: Ta có phương trình: (x + 3)² - x(x + 5) = 1. Áp dụng hằng đẳng thức (a + b)² = a² + 2ab + b² và quy tắc phân phối: x² + 2 × x × 3 + 3² - (x² + 5x) = 1 x² + 6x + 9 - x² - 5x = 1 (x² - x²) + (6x - 5x) + 9 = 1 x + 9 = 1 x = 1 - 9 x = -8. Vậy nghiệm của phương trình là x = -8.

Giải thích: Kiểm tra từng khẳng định: A. Vì x > 2 (x là số dương), khi bình phương cả hai vế của bất đẳng thức với số dương, chiều bất đẳng thức không đổi. Nên x² > 2² hay x² > 4. Khẳng định A đúng. B. Vì x > 2 (x là số dương), khi nghịch đảo cả hai vế của bất đẳng thức với số dương, chiều bất đẳng thức phải đổi. Nên ¹/_x < ¹/₂. Khẳng định B đúng. C. Từ x > 2, nhân cả hai vế với 2 (số dương), chiều bất đẳng thức không đổi: 2x > 2 × 2 hay 2x > 4. Sau đó, trừ cả hai vế với 1, chiều bất đẳng thức không đổi: 2x - 1 > 4 - 1 hay 2x - 1 > 3. Khẳng định C đúng. Vì cả ba khẳng định A, B, C đều đúng, nên đáp án D là đúng.

Giải thích: Đổi đơn vị: 3,5 tấn = 3500 kg; 2,1 tấn = 2100 kg. Gọi x là số bao gạo có thể chất thêm (x là số nguyên không âm). Tổng trọng lượng của x bao gạo là 50x kg. Tổng trọng lượng trên xe sau khi chất thêm gạo là 2100 + 50x (kg). Để xe không vượt quá trọng tải cho phép, ta có bất phương trình: 2100 + 50x ≤ 3500 50x ≤ 3500 - 2100 50x ≤ 1400 x ≤ ¹⁴⁰⁰/₅₀ x ≤ 28 Vì x là số bao gạo nên x phải là số nguyên. Số bao gạo tối đa có thể chất thêm là 28 bao.

Giải thích: Gọi tuổi con hiện tại là x (tuổi). (Điều kiện: x là số nguyên dương) Khi đó, tuổi bố hiện tại là 4x (tuổi). Sau 5 năm nữa: Tuổi con sẽ là x + 5 (tuổi). Tuổi bố sẽ là 4x + 5 (tuổi). Theo đề bài, sau 5 năm nữa tuổi bố sẽ gấp 3 lần tuổi con, ta có phương trình: 4x + 5 = 3(x + 5) 4x + 5 = 3x + 15 Chuyển các hạng tử chứa x về một vế và hằng số về vế còn lại: 4x - 3x = 15 - 5 x = 10 Kiểm tra lại: Hiện tại con 10 tuổi, bố 40 tuổi. Sau 5 năm, con 15 tuổi, bố 45 tuổi. 45 = 3 × 15, đúng. Vậy hiện tại con 10 tuổi.

Giải thích: Điều kiện xác định của phương trình là các mẫu số phải khác 0: x - 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1 x - 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ 3 Quy đồng mẫu số và khử mẫu: (x + 1)(x - 3) = (x - 2)(x - 1) Thực hiện phép nhân các đa thức: x² - 3x + x - 3 = x² - x - 2x + 2 x² - 2x - 3 = x² - 3x + 2 Chuyển tất cả các hạng tử chứa x về một vế và các hằng số về vế còn lại: x² - 2x - x² + 3x = 2 + 3 (-2x + 3x) = 5 x = 5 Giá trị x = 5 thỏa mãn điều kiện xác định (x ≠ 1 và x ≠ 3). Vậy nghiệm của phương trình là x = 5.

Giải thích: Để giải phương trình |2x - 3| = x + 1, ta cần xét hai trường hợp:
Điều kiện: x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ -1.

Trường hợp 1: 2x - 3 = x + 1
2x - x = 1 + 3
x = 4
Giá trị x = 4 thỏa mãn điều kiện x ≥ -1.

Trường hợp 2: 2x - 3 = -(x + 1)
2x - 3 = -x - 1
2x + x = -1 + 3
3x = 2
x = ²/₃
Giá trị x = ²/₃ thỏa mãn điều kiện x ≥ -1.

Vậy, tập nghiệm của phương trình là S = {4; ²/₃}.

Giải thích: Để kiểm tra khẳng định nào là luôn đúng, ta biến đổi các bất đẳng thức:
Xét biểu thức a² + 1 - 2a.
Ta có: a² - 2a + 1 = (a - 1)².
Vì bình phương của một số thực luôn không âm, nên (a - 1)² ≥ 0 với mọi số thực a.
Do đó, a² - 2a + 1 ≥ 0, suy ra a² + 1 ≥ 2a.
Vậy khẳng định D là luôn đúng.

Giải thích: Để giải bất phương trình ^{x - 3}/₂ - ^{2x + 1}/₅ < 1, ta quy đồng mẫu số và khử mẫu:
Mẫu số chung nhỏ nhất của 2, 5 và 1 là 10.
Nhân cả hai vế của bất phương trình với 10 (số dương, không đổi chiều bất phương trình):
10 * (^{x - 3}/₂) - 10 * (^{2x + 1}/₅) < 10 * 1
5(x - 3) - 2(2x + 1) < 10
5x - 15 - 4x - 2 < 10
(5x - 4x) + (-15 - 2) < 10
x - 17 < 10
x < 10 + 17
x < 27
Vì x là số nguyên và x < 27, nên số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là x = 26.

Giải thích: Gọi quãng đường AB là S (km).
Thời gian đi từ A đến B là t_đi = ^S/₄₀ (giờ).
Thời gian về từ B đến A là t_về = ^S/₃₀ (giờ).
Theo đề bài, thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 45 phút. Đổi 45 phút = ⁴⁵/₆₀ giờ = ³/₄ giờ.
Ta có phương trình:
t_về - t_đi = ³/₄
^S/₃₀ - ^S/₄₀ = ³/₄
Để giải phương trình này, ta tìm mẫu số chung nhỏ nhất của 30, 40 và 4 là 120.
Nhân cả hai vế với 120:
120 * (^S/₃₀) - 120 * (^S/₄₀) = 120 * (³/₄)
4S - 3S = 30 * 3
S = 90
Vậy, quãng đường AB là 90 km.

Giải thích: Để giải phương trình ^x+2/_x-2 - ^x-2/_x+2 = ⁸/_x²-4, trước hết ta tìm điều kiện xác định.
Điều kiện xác định: x - 2 ≠ 0 và x + 2 ≠ 0 và x² - 4 ≠ 0.
Hay x ≠ 2 và x ≠ -2.

Ta nhận thấy x² - 4 = (x - 2)(x + 2). Đây là mẫu số chung của phương trình.
Quy đồng mẫu số các phân thức:
^(x+2)(x+2)/_(x-2)(x+2) - ^(x-2)(x-2)/_(x+2)(x-2) = ⁸/_(x-2)(x+2)
Vì các mẫu số đã giống nhau và khác 0 (theo điều kiện xác định), ta có thể khử mẫu:
(x + 2)² - (x - 2)² = 8
Áp dụng hằng đẳng thức (a + b)² = a² + 2ab + b² và (a - b)² = a² - 2ab + b²:
(x² + 4x + 4) - (x² - 4x + 4) = 8
x² + 4x + 4 - x² + 4x - 4 = 8
(x² - x²) + (4x + 4x) + (4 - 4) = 8
8x = 8
x = ⁸/₈
x = 1

Kiểm tra điều kiện xác định: x = 1 thỏa mãn x ≠ 2 và x ≠ -2.
Vậy, nghiệm của phương trình là x = 1.