40 câu Toán Học Lớp 9 – Chương I. Phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Giải thích: Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là ax + by = c, trong đó x và y là hai ẩn, a, b, c là các số cho trước (a ≠ 0 hoặc b ≠ 0).
A. 2x² + 3y = 5 không phải vì có x².
B. x - ¹/_y = 4 không phải vì có ¹/_y.
C. 3x + 2y = 7 là phương trình bậc nhất hai ẩn.
D. xy - x + y = 0 không phải vì có tích xy.

Giải thích: Ta có hệ phương trình:
(1) x + y = 7
(2) x - y = 1
Cộng hai phương trình (1) và (2) vế theo vế:
(x + y) + (x - y) = 7 + 1
2x = 8
x = 4
Thay x = 4 vào phương trình (1):
4 + y = 7
y = 7 - 4
y = 3
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (4; 3).

Giải thích: Theo đề bài:
- Giá một cây bút là 5000 đồng.
- Giá một quyển vở là 8000 đồng.
- Anh Bình mua 5 cây bút, số tiền mua bút là 5 × 5000 đồng.
- Anh Bình mua y quyển vở, số tiền mua vở là 8000y đồng.
- Tổng số tiền hết 69000 đồng.
Vậy phương trình biểu diễn đúng mối quan hệ là: 5 × 5000 + 8000y = 69000.

Giải thích: Gọi tuổi anh hiện nay là x (tuổi) và tuổi em hiện nay là y (tuổi).
Theo đề bài, hiện nay tổng số tuổi của hai anh em là 30 tuổi, ta có phương trình:
x + y = 30 (1)
Ba năm trước:
- Tuổi anh là x - 3 (tuổi).
- Tuổi em là y - 3 (tuổi).
Ba năm trước, tuổi anh gấp đôi tuổi em, ta có phương trình:
x - 3 = 2(y - 3)
x - 3 = 2y - 6
x - 2y = -3 (2)
Từ phương trình (1), ta có x = 30 - y. Thay vào phương trình (2):
(30 - y) - 2y = -3
30 - 3y = -3
-3y = -3 - 30
-3y = -33
y = 11
Thay y = 11 vào phương trình (1):
x + 11 = 30
x = 30 - 11
x = 19
Vậy, hiện nay anh 19 tuổi và em 11 tuổi.

Giải thích: Ta có hệ phương trình:
(1) 2x + y = 5
(2) x - 3y = -1
Từ phương trình (1), ta có y = 5 - 2x. Thay vào phương trình (2):
x - 3(5 - 2x) = -1
x - 15 + 6x = -1
7x = -1 + 15
7x = 14
x = 2
Thay x = 2 vào y = 5 - 2x:
y = 5 - 2(2)
y = 5 - 4
y = 1
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (2; 1).
Kiểm tra các đáp án:
A. (1; 3): 2(1) + 3 = 5 (Đúng); 1 - 3(3) = -8 ≠ -1 (Sai)
B. (2; 1): 2(2) + 1 = 5 (Đúng); 2 - 3(1) = -1 (Đúng)
C. (3; -1): 2(3) + (-1) = 5 (Đúng); 3 - 3(-1) = 6 ≠ -1 (Sai)
D. (-1; 7): 2(-1) + 7 = 5 (Đúng); -1 - 3(7) = -22 ≠ -1 (Sai)

Giải thích: Một phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm. Các nghiệm này được biểu diễn bởi một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ.

Giải thích: Ta có hệ phương trình:
(1) 2x + 3y = 13
(2) 5x - y = 7
Từ phương trình (2), ta có y = 5x - 7.
Thay y vào phương trình (1):
2x + 3(5x - 7) = 13
2x + 15x - 21 = 13
17x = 34
x = 2
Thay x = 2 vào y = 5x - 7:
y = 5(2) - 7 = 10 - 7 = 3
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (2;3).

Giải thích: Gọi chiều dài là x và chiều rộng là y (x, y > 0).
1. Chu vi của hình chữ nhật là 40 cm: 2(x + y) = 40 ⇒ x + y = 20 (phương trình thứ nhất).
2. Diện tích ban đầu là xy.
Nếu tăng chiều dài lên 2 cm (x + 2) và giảm chiều rộng đi 1 cm (y - 1), diện tích không đổi:
(x + 2)(y - 1) = xy
xy - x + 2y - 2 = xy
-x + 2y - 2 = 0
-x + 2y = 2 (phương trình thứ hai).
Vậy hệ phương trình cần tìm là:
x + y = 20
-x + 2y = 2

Giải thích: Một hệ phương trình vô nghiệm khi hai phương trình biểu diễn hai đường thẳng song song và khác nhau.
A. Có nghiệm duy nhất (3;2).
B. Có vô số nghiệm (hai phương trình tương đương, biểu diễn cùng một đường thẳng).
C. Ta có x + 2y = 4 và x + 2y = 7. Điều này không thể xảy ra đồng thời, vì một biểu thức không thể bằng hai giá trị khác nhau. Hai đường thẳng x + 2y = 4 và x + 2y = 7 là hai đường thẳng song song và khác nhau, nên hệ phương trình này vô nghiệm.
D. Có nghiệm duy nhất (2;4).

Giải thích: Gọi số lớn là x và số bé là y.
Theo đề bài, tổng của hai số là 75, ta có phương trình:
(1) x + y = 75
Khi lấy số lớn chia cho số bé được thương là 3 và số dư là 3, ta có công thức: Số bị chia = Thương × Số chia + Số dư.
(2) x = 3y + 3
Thay (2) vào (1):
(3y + 3) + y = 75
4y + 3 = 75
4y = 72
y = 18
Thay y = 18 vào (2):
x = 3(18) + 3 = 54 + 3 = 57
Vậy hai số đó là 57 và 18.

Giải thích: Để kiểm tra một cặp số có phải là nghiệm của phương trình hay không, ta thay giá trị x và y vào phương trình.
Với cặp số (4; 2): Thay x = 4 và y = 2 vào phương trình 3x - 2y = 8, ta được:
3(4) - 2(2) = 12 - 4 = 8.
Vì 8 = 8 (thỏa mãn), nên cặp số (4; 2) là nghiệm của phương trình.

Giải thích: Ta có hệ phương trình:
(1) 3x + 4y = 18
(2) 5x - 2y = 4

Nhân phương trình (2) với 2, ta được:
10x - 4y = 8 (3)

Cộng phương trình (1) với phương trình (3), ta được:
(3x + 4y) + (10x - 4y) = 18 + 8
13x = 26
x = ²⁶/₁₃
x = 2

Thay x = 2 vào phương trình (2), ta được:
5(2) - 2y = 4
10 - 2y = 4
2y = 10 - 4
2y = 6
y = ⁶/₂
y = 3

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (2; 3).

Giải thích: Gọi x là số kg cam và y là số kg táo.
Vì khách hàng mua tổng cộng 5 kg trái cây, nên ta có phương trình: x + y = 5.
Giá 1 kg cam là 25.000 đồng, giá 1 kg táo là 40.000 đồng và tổng số tiền phải trả là 160.000 đồng, nên ta có phương trình: 25000x + 40000y = 160000.
Vậy hệ phương trình mô tả đúng bài toán là:
x + y = 5
25000x + 40000y = 160000

Giải thích: Gọi vận tốc của xe đi từ A là x (km/h) và vận tốc của xe đi từ B là y (km/h). (Điều kiện: x > 0, y > 0)

Theo đề bài, vận tốc xe đi từ A lớn hơn vận tốc xe đi từ B là 5 km/h, ta có phương trình:
x - y = 5 (1)

Hai xe đi ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ, quãng đường tổng cộng là 150 km. Ta có:
2x + 2y = 150
x + y = 75 (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:
x - y = 5
x + y = 75

Cộng hai phương trình của hệ, ta được:
(x - y) + (x + y) = 5 + 75
2x = 80
x = ⁸⁰/₂
x = 40

Thay x = 40 vào phương trình (2), ta được:
40 + y = 75
y = 75 - 40
y = 35

Vậy vận tốc xe đi từ A là 40 km/h và vận tốc xe đi từ B là 35 km/h.

Giải thích: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:
a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂
Hệ phương trình này có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi tỉ số các hệ số của x khác tỉ số các hệ số của y, tức là: ^a₁/_a2 ≠ ^b₁/_b2

Với hệ phương trình đã cho:
x + my = 3 (a₁=1, b₁=m)
2x - y = 5 (a₂=2, b₂=-1)

Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất là:
¹/₂ ≠ ^m/_-1
Nhân chéo ta được:
1 × (-1) ≠ 2 × m
-1 ≠ 2m
m ≠ ^-1/₂

Vậy, để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, giá trị của m phải khác ^-1/₂.

Giải thích: Vì cặp số (4; 2) là nghiệm của phương trình 4x - ay = 10, ta thay x = 4 và y = 2 vào phương trình: 4(4) - a(2) = 10 16 - 2a = 10 -2a = 10 - 16 -2a = -6 a = (-6) / (-2) a = 3 Vậy, giá trị của a là 3.

Giải thích: Từ phương trình thứ nhất: x - 2y = 1 ⇒ x = 2y + 1. Thay x = 2y + 1 vào phương trình thứ hai: 3(2y + 1) + y = 10 6y + 3 + y = 10 7y + 3 = 10 7y = 10 - 3 7y = 7 y = 1 Thay y = 1 vào biểu thức của x: x = 2(1) + 1 = 3. Vậy, nghiệm của hệ phương trình là (3;1).

Giải thích: Gọi chữ số hàng chục là x và chữ số hàng đơn vị là y. - 'Tổng các chữ số bằng 11' được biểu diễn bởi phương trình: x + y = 11. - Số ban đầu có giá trị là 10x + y. - Khi đổi chỗ hai chữ số, số mới có giá trị là 10y + x. - 'Số mới lớn hơn số ban đầu 45 đơn vị' được biểu diễn bởi phương trình: 10y + x = (10x + y) + 45. Vậy, hệ phương trình mô tả bài toán là: x + y = 11 10y + x = 10x + y + 45

Giải thích: Một hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm khi hai phương trình trong hệ là tương đương, tức là chúng biểu diễn cùng một đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ. - Ở đáp án A: Phương trình thứ hai là 2x + 2y = 10. Chia cả hai vế cho 2, ta được x + y = 5, trùng với phương trình thứ nhất. Do đó, hệ này có vô số nghiệm. - Ở đáp án B: Hai phương trình x - y = 3 và x - y = 5 biểu diễn hai đường thẳng song song và khác nhau, nên hệ vô nghiệm. - Ở đáp án C và D: Các hệ phương trình này có nghiệm duy nhất (hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm).

Giải thích: Gọi vận tốc thực của ca nô là v (km/h) và chiều dài quãng đường AB là S (km). Khi xuôi dòng, vận tốc của ca nô là v + 3 (km/h). Khi ngược dòng, vận tốc của ca nô là v - 3 (km/h). Theo đề bài, ta có hệ phương trình: 1. S = (v + 3) × 3 (quãng đường = vận tốc xuôi dòng × thời gian xuôi dòng) 2. S = (v - 3) × 4 (quãng đường = vận tốc ngược dòng × thời gian ngược dòng) Từ hai phương trình trên, ta có: 3(v + 3) = 4(v - 3) 3v + 9 = 4v - 12 Chuyển các số hạng chứa v về một vế, các hằng số về vế còn lại: 9 + 12 = 4v - 3v 21 = v Vậy, vận tốc thực của ca nô là 21 km/h. Thay v = 21 vào một trong hai phương trình ban đầu để tính S. Chọn phương trình (1): S = (21 + 3) × 3 S = 24 × 3 S = 72 (km) Vậy, chiều dài quãng đường AB là 72 km.

Giải thích: Vì cặp số (1; 2) là nghiệm của hệ phương trình nên khi thay x = 1, y = 2 vào mỗi phương trình, ta được các phương trình đúng.
Thay vào phương trình thứ nhất: a(1) + 3(2) = 7 ⇒ a + 6 = 7 ⇒ a = 1.
Thay vào phương trình thứ hai: 2(1) - b(2) = 1 ⇒ 2 - 2b = 1 ⇒ 2b = 1 ⇒ b = 1/2.
Vậy, giá trị của biểu thức a + b là 1 + 1/2 = 3/2.

Giải thích: Ta có hệ phương trình:
(1) ^x/₂ + ^y/₃ = 2
(2) x - ^y/₂ = 1
Nhân cả hai vế của phương trình (1) với 6 để khử mẫu: 3x + 2y = 12 (3)
Nhân cả hai vế của phương trình (2) với 2 để khử mẫu: 2x - y = 2 (4)
Từ phương trình (4), ta có y = 2x - 2.
Thay y = 2x - 2 vào phương trình (3):
3x + 2(2x - 2) = 12
3x + 4x - 4 = 12
7x = 16
x = ¹⁶/₇
Thay x = ¹⁶/₇ vào y = 2x - 2:
y = 2(¹⁶/₇) - 2 = ³²/₇ - ¹⁴/₇ = ¹⁸/₇
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (¹⁶/₇; ¹⁸/₇).

Giải thích: Gọi x là số công nhân ban đầu của phân xưởng I và y là số công nhân ban đầu của phân xưởng II.
Theo đề bài, tổng số công nhân ban đầu của hai phân xưởng là 150 người, ta có phương trình:
x + y = 150 (1)
Phân xưởng I tăng thêm 10% công nhân, tức là số công nhân mới của phân xưởng I là x + 0,1x = 1,1x.
Phân xưởng II giảm đi 5% công nhân, tức là số công nhân mới của phân xưởng II là y - 0,05y = 0,95y.
Tổng số công nhân toàn nhà máy tăng thêm 6 người so với ban đầu (150 người), tức là tổng số công nhân mới là 150 + 6 = 156 người.
Vậy ta có phương trình thứ hai:
1,1x + 0,95y = 156 (2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:
x + y = 150
1,1x + 0,95y = 156

Giải thích: Gọi x là số sản phẩm loại A và y là số sản phẩm loại B mà cửa hàng đã bán.
Theo đề bài, tổng cộng có 60 sản phẩm, nên ta có phương trình:
x + y = 60 (1)
Tổng số tiền thu được là 10.500.000 đồng. Giá bán sản phẩm loại A là 200.000 đồng và loại B là 150.000 đồng, nên ta có phương trình:
200.000x + 150.000y = 10.500.000 (2)
Chia cả hai vế của phương trình (2) cho 10.000 để đơn giản hóa:
20x + 15y = 1050
Chia tiếp cho 5:
4x + 3y = 210 (3)
Từ phương trình (1), ta có y = 60 - x.
Thay y = 60 - x vào phương trình (3):
4x + 3(60 - x) = 210
4x + 180 - 3x = 210
x = 210 - 180
x = 30
Thay x = 30 vào y = 60 - x:
y = 60 - 30
y = 30
Vậy, cửa hàng đã bán 30 sản phẩm loại A và 30 sản phẩm loại B.

Giải thích: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:
a₁x + b₁y = c₁
a₂x + b₂y = c₂
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi tỉ số các hệ số của x và y khác nhau, tức là a₁/a₂ ≠ b₁/b₂, hay a₁b₂ - a₂b₁ ≠ 0.
Trong hệ phương trình đã cho:
a₁ = m - 1, b₁ = 2
a₂ = 1, b₂ = m + 1
Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất là:
(m - 1)(m + 1) - (1)(2) ≠ 0
Áp dụng hằng đẳng thức (A - B)(A + B) = A² - B², ta có:
m² - 1² - 2 ≠ 0
m² - 1 - 2 ≠ 0
m² - 3 ≠ 0
m² ≠ 3
m ≠ √3 và m ≠ -√3.
Vậy, để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, m phải thỏa mãn m ≠ √3 và m ≠ -√3.

Giải thích: Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng ax + by = c, trong đó a, b, c là các số cho trước (a ≠ 0 hoặc b ≠ 0), x và y là các ẩn.

• Đáp án A (x² + y = 5) có x² nên không phải là bậc nhất.
• Đáp án B (2x - 3y = 7) có dạng ax + by = c với a=2, b=-3, c=7. Đây là phương trình bậc nhất hai ẩn.
• Đáp án C (xy + 2x = 4) có tích xy nên không phải là bậc nhất.
• Đáp án D (x + ¹/_y = 3) có ẩn y ở mẫu số nên không phải là bậc nhất.

Giải thích: Ta có hệ phương trình:
(1) 2x + y = 8
(2) 3x - 2y = 5

Từ phương trình (1), ta rút y theo x: y = 8 - 2x.
Thay y = 8 - 2x vào phương trình (2), ta được:
3x - 2(8 - 2x) = 5
3x - 16 + 4x = 5
7x = 5 + 16
7x = 21
x = ²¹/₇
x = 3

Thay x = 3 vào y = 8 - 2x, ta được:
y = 8 - 2(3)
y = 8 - 6
y = 2

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là (3;2).

Giải thích: Gọi x là tuổi cha hiện nay và y là tuổi con hiện nay (x, y là số nguyên dương).
Theo đề bài:
1. 'Hiện nay tuổi cha gấp 4 lần tuổi con' ta có phương trình: x = 4y.
2. '5 năm nữa, tuổi cha sẽ gấp 3 lần tuổi con'.
- Tuổi cha 5 năm nữa là: x + 5.
- Tuổi con 5 năm nữa là: y + 5.
- Theo điều kiện, ta có phương trình: x + 5 = 3(y + 5).

Vậy, hệ phương trình mô tả bài toán là:
x = 4y
x + 5 = 3(y + 5)

Giải thích: Gọi thời gian để vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là x (giờ) và thời gian để vòi thứ hai chảy riêng đầy bể là y (giờ). (x > 0, y > 0)
Trong 1 giờ:
- Vòi thứ nhất chảy được ¹/_x bể.
- Vòi thứ hai chảy được ¹/_y bể.

Theo đề bài:
1. 'Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì đầy bể sau 6 giờ':
Trong 1 giờ, cả hai vòi chảy được ¹/₆ bể. Ta có phương trình:
¹/_x + ¹/_y = ¹/₆ (1)

2. 'Nếu vòi thứ nhất chảy riêng trong 2 giờ và vòi thứ hai chảy riêng trong 3 giờ thì được ²/₅ bể':
- Vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ được: 2 × ¹/_x = ²/_x bể.
- Vòi thứ hai chảy trong 3 giờ được: 3 × ¹/_y = ³/_y bể.
Ta có phương trình:
²/_x + ³/_y = ²/₅ (2)

Đặt a = ¹/_x và b = ¹/_y (a > 0, b > 0). Hệ phương trình trở thành:
a + b = ¹/₆
2a + 3b = ²/₅

Từ phương trình thứ nhất, suy ra b = ¹/₆ - a. Thay vào phương trình thứ hai:
2a + 3(¹/₆ - a) = ²/₅
2a + ³/₆ - 3a = ²/₅
2a + ¹/₂ - 3a = ²/₅
-a = ²/₅ - ¹/₂
-a = ⁴/₁₀ - ⁵/₁₀
-a = -¹/₁₀
a = ¹/₁₀

Với a = ¹/₁₀, ta có b = ¹/₆ - ¹/₁₀ = ⁵/₃₀ - ³/₃₀ = ²/₃₀ = ¹/₁₅.

Trở lại các ẩn ban đầu:
¹/_x = a = ¹/₁₀ ⇒ x = 10 (giờ)
¹/_y = b = ¹/₁₅ ⇒ y = 15 (giờ)

Vậy, nếu chảy riêng, vòi thứ nhất mất 10 giờ để đầy bể và vòi thứ hai mất 15 giờ để đầy bể.

Giải thích: Ta có hệ phương trình:
(1) x + 2y = 5
(2) 3x - y = m
Và điều kiện nghiệm (x;y) thỏa mãn:
(3) x + y = 4

Để tìm nghiệm (x;y), ta giải hệ gồm phương trình (1) và (3):
x + 2y = 5 (1)
x + y = 4 (3)

Trừ phương trình (3) khỏi phương trình (1):
(x + 2y) - (x + y) = 5 - 4
y = 1

Thay y = 1 vào phương trình (3):
x + 1 = 4
x = 3

Vậy, nghiệm của hệ phương trình là (x;y) = (3;1).

Bây giờ, thay x = 3 và y = 1 vào phương trình (2) để tìm m:
3x - y = m
3(3) - 1 = m
9 - 1 = m
m = 8

Vậy, giá trị của m là 8.

Giải thích: Một phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng ax + by = c (với a, b không đồng thời bằng 0) luôn có vô số nghiệm. Tập hợp các nghiệm của phương trình này là tọa độ của các điểm nằm trên đường thẳng mà phương trình biểu diễn trong mặt phẳng tọa độ.

Giải thích: Ta có hệ phương trình:
(1) x + 3y = 10
(2) y = 2x - 1
Thay (2) vào (1), ta được:
x + 3(2x - 1) = 10
x + 6x - 3 = 10
7x = 13
x = ¹³/₇
Thay x = ¹³/₇ vào (2), ta được:
y = 2(¹³/₇) - 1
y = ²⁶/₇ - ⁷/₇
y = ¹⁹/₇
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (¹³/₇; ¹⁹/₇).

Giải thích: Gọi chiều dài ban đầu là x (cm) và chiều rộng ban đầu là y (cm). Điều kiện x > 0, y > 0.
1. Chu vi của hình chữ nhật là 40 cm: 2(x + y) = 40.
2. Diện tích hình chữ nhật ban đầu là xy.
3. Khi tăng chiều rộng 2 cm và giảm chiều dài 3 cm, chiều dài mới là (x - 3) cm và chiều rộng mới là (y + 2) cm. Diện tích mới là (x - 3)(y + 2).
4. Vì diện tích không đổi nên ta có phương trình: (x - 3)(y + 2) = xy.
Vậy hệ phương trình mô tả bài toán là:
2(x + y) = 40
(x - 3)(y + 2) = xy

Giải thích: Hệ phương trình có dạng a₁x + b₁y = c₁ và a₂x + b₂y = c₂.
Hệ phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi ^a₁/_a2 = ^b₁/_b2 ≠ ^c₁/_c2.
Áp dụng vào hệ phương trình đã cho:
¹/₂ = ²/_m (1)
²/_m ≠ ³/₅ (2)
Từ (1): 1 × m = 2 × 2 ⇒ m = 4.
Kiểm tra với (2): ²/₄ ≠ ³/₅ ⇒ ¹/₂ ≠ ³/₅ (Điều này đúng).
Vậy, để hệ phương trình vô nghiệm thì m = 4.

Giải thích: Gọi x là khối lượng cà phê loại A (kg) và y là khối lượng cà phê loại B (kg). Điều kiện x > 0, y > 0.
Theo đề bài, tổng khối lượng cà phê hỗn hợp là 10 kg, nên ta có phương trình:
(1) x + y = 10
Tổng giá tiền của 10 kg cà phê hỗn hợp là 10 × 108.000 = 1.080.000 đồng.
Giá tiền của x kg cà phê loại A là 120.000x đồng.
Giá tiền của y kg cà phê loại B là 90.000y đồng.
Tổng giá tiền của hai loại cà phê là 120.000x + 90.000y = 1.080.000.
Chia cả hai vế cho 10.000, ta được:
(2) 12x + 9y = 108
Ta có hệ phương trình:
x + y = 10
12x + 9y = 108
Từ phương trình (1), suy ra y = 10 - x. Thay vào phương trình (2):
12x + 9(10 - x) = 108
12x + 90 - 9x = 108
3x = 108 - 90
3x = 18
x = 6
Thay x = 6 vào phương trình (1):
6 + y = 10
y = 4
Vậy, cửa hàng đã dùng 6 kg cà phê loại A và 4 kg cà phê loại B.

Giải thích: Vì cặp số (1; 3) là một nghiệm của hệ phương trình, nên khi thay x = 1 và y = 3 vào các phương trình, chúng phải thỏa mãn.
Thay x = 1, y = 3 vào phương trình thứ hai: 3(1) - 3 = 1 ⇒ 3 - 3 = 1 ⇒ 0 = 1 (Vô lý).
À, có vẻ tôi đã nhầm trong quá trình tạo câu hỏi hoặc kiểm tra. Để (1;3) là nghiệm, nó phải thỏa mãn cả hai phương trình.
Thay x = 1, y = 3 vào phương trình thứ nhất:
m(1) + 2(3) = 7
m + 6 = 7
m = 7 - 6
m = 1
Thay x = 1, y = 3 vào phương trình thứ hai:
3(1) - 3 = 1
3 - 3 = 1
0 = 1 (Điều này là sai)

Có lỗi trong đề bài hoặc đáp án của tôi. Cần điều chỉnh lại đề bài để (1;3) là nghiệm hợp lệ.
Để (1;3) là nghiệm của 3x - y = 1, thì 3(1) - 3 = 0, không phải 1.
Tôi sẽ sửa phương trình thứ hai thành 3x - y = 0.

Sửa lại câu hỏi:
Cho hệ phương trình:
mx + 2y = 7
3x - y = 0
Biết cặp số (1; 3) là một nghiệm của hệ phương trình trên. Giá trị của m là bao nhiêu?

Kiểm tra lại:
1. Thay (1;3) vào 3x - y = 0: 3(1) - 3 = 0 ⇒ 3 - 3 = 0. Đúng.
2. Thay (1;3) vào mx + 2y = 7:
m(1) + 2(3) = 7
m + 6 = 7
m = 1
Vậy, giá trị của m là 1.

Giải thích: Bước 1: Rút gọn các phương trình.
Phương trình thứ nhất: 3x - 3 + 2y = 7 ⇒ 3x + 2y = 10 (1)
Phương trình thứ hai: 2x - y - 4 = -1 ⇒ 2x - y = 3 (2)
Bước 2: Giải hệ phương trình mới:
3x + 2y = 10 (1)
2x - y = 3 (2)
Từ (2), ta có y = 2x - 3. (3)
Bước 3: Thay (3) vào (1):
3x + 2(2x - 3) = 10
3x + 4x - 6 = 10
7x = 16
x = ¹⁶/₇
Bước 4: Thay x = ¹⁶/₇ vào (3):
y = 2(¹⁶/₇) - 3
y = ³²/₇ - ²¹/₇
y = ¹¹/₇
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (¹⁶/₇; ¹¹/₇).

Ôi, tôi lại tính nhầm rồi. Cần kiểm tra lại các bước tính toán hoặc chọn số cho phù hợp với đáp án nguyên.
Lỗi ở đây là 7x = 16. Tôi muốn nghiệm là số nguyên để học sinh dễ nhập.
Tôi sẽ thay đổi hệ phương trình để nghiệm là số nguyên.

Sửa lại câu hỏi:
Giải hệ phương trình sau:
3(x - 1) + 2y = 11
2x - (y + 4) = -2

Bước 1: Rút gọn các phương trình.
Phương trình thứ nhất: 3x - 3 + 2y = 11 ⇒ 3x + 2y = 14 (1)
Phương trình thứ hai: 2x - y - 4 = -2 ⇒ 2x - y = 2 (2)
Bước 2: Giải hệ phương trình mới:
3x + 2y = 14 (1)
2x - y = 2 (2)
Từ (2), ta có y = 2x - 2. (3)
Bước 3: Thay (3) vào (1):
3x + 2(2x - 2) = 14
3x + 4x - 4 = 14
7x = 18
x = ¹⁸/₇
Vẫn không phải số nguyên. Tôi sẽ thử lại với hệ số khác để đảm bảo nghiệm nguyên.

Sửa lại lần nữa với nghiệm (3;4):
3(x - 1) + 2y = 3(3-1)+2(4) = 3(2)+8 = 6+8 = 14. Vậy phương trình 1 là: 3(x-1)+2y=14
2x - (y + 4) = 2(3)-(4+4) = 6-8 = -2. Vậy phương trình 2 là: 2x-(y+4)=-2

Hệ phương trình:
3(x - 1) + 2y = 14
2x - (y + 4) = -2

Bước 1: Rút gọn các phương trình.
Phương trình thứ nhất: 3x - 3 + 2y = 14 ⇒ 3x + 2y = 17 (1)
Phương trình thứ hai: 2x - y - 4 = -2 ⇒ 2x - y = 2 (2)
Bước 2: Giải hệ phương trình mới:
3x + 2y = 17 (1)
2x - y = 2 (2)
Nhân (2) với 2: 4x - 2y = 4 (3)
Cộng (1) và (3): (3x + 2y) + (4x - 2y) = 17 + 4
7x = 21
x = 3
Bước 3: Thay x = 3 vào (2):
2(3) - y = 2
6 - y = 2
y = 6 - 2
y = 4
Vậy nghiệm của hệ phương trình là (3;4).

Giải thích: Gọi x là số bút bi và y là số bút chì.
Tổng cộng 15 cây bút: x + y = 15.
Tổng số tiền là 57.000 đồng: 5000x + 3000y = 57000.
Vậy hệ phương trình đúng là:
x + y = 15
5000x + 3000y = 57000

Giải thích: Hệ phương trình có vô số nghiệm khi hai phương trình là tương đương (biểu diễn cùng một đường thẳng). Điều này xảy ra khi tỉ lệ các hệ số tương ứng bằng nhau.
Hệ phương trình là:
(m+1)x + y = 5 (1)
2x + 2y = 10 (2)
Từ phương trình (2), ta có thể chia cả hai vế cho 2 để đơn giản hóa:
x + y = 5 (2')
Để hệ có vô số nghiệm, phương trình (1) và phương trình (2') phải là tương đương. Nghĩa là, hệ số của x, y và hằng số tự do phải tỉ lệ với nhau.
So sánh (m+1)x + y = 5 với x + y = 5:
Ta thấy hệ số của y là 1 và hằng số tự do là 5 đã giống nhau.
Do đó, hệ số của x cũng phải giống nhau: m + 1 = 1
m = 1 - 1
m = 0
Vậy, khi m = 0, hệ phương trình trở thành:
x + y = 5
2x + 2y = 10
Hai phương trình này tương đương nhau (phương trình thứ hai là gấp đôi phương trình thứ nhất), nên hệ có vô số nghiệm.

Giải thích: Gọi vận tốc của ô tô đi từ A là x (km/h) và vận tốc của ô tô đi từ B là y (km/h). (Điều kiện: x > 0, y > 0)

Trường hợp 1: Hai ô tô đi ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ.
Tổng quãng đường hai ô tô đi được trong 2 giờ là 240 km.
Quãng đường ô tô A đi được: 2x (km)
Quãng đường ô tô B đi được: 2y (km)
Ta có phương trình: 2x + 2y = 240 ⇒ x + y = 120 (1)

Trường hợp 2: Hai ô tô cùng khởi hành từ A và đi cùng chiều (ô tô đi từ A đi sau ô tô đi từ B), sau 10 giờ ô tô đi từ A đuổi kịp ô tô đi từ B.
Điều này có nghĩa là ô tô đi từ A phải có vận tốc lớn hơn ô tô đi từ B (x > y).
Trong 10 giờ, ô tô A đi được quãng đường 10x (km).
Trong 10 giờ, ô tô B đi được quãng đường 10y (km).
Khi ô tô A đuổi kịp ô tô B, hiệu quãng đường chúng đi được chính là khoảng cách ban đầu giữa A và B (lúc này ô tô B được xem như xuất phát từ A, nhưng thực chất là đã có khoảng cách 240km).
Khoảng cách giữa chúng là 240 km.
Vậy ta có phương trình: 10x - 10y = 240 ⇒ x - y = 24 (2)

Bước 3: Giải hệ phương trình gồm (1) và (2):
x + y = 120 (1)
x - y = 24 (2)
Cộng (1) và (2) theo vế:
(x + y) + (x - y) = 120 + 24
2x = 144
x = ¹⁴⁴/₂
x = 72
Thay x = 72 vào (1):
72 + y = 120
y = 120 - 72
y = 48

Kiểm tra điều kiện x > y: 72 > 48 (Đúng)
Vậy, vận tốc của ô tô đi từ A là 72 km/h và vận tốc của ô tô đi từ B là 48 km/h.