40 câu Toán Học Lớp 12 – Chương 5. Phương pháp tọa độ trong không gian

Giải thích: Để viết phương trình mặt phẳng (ABC), ta cần tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng và một điểm thuộc mặt phẳng.
Ta có các vectơ:
• Vectơ AB = (2 - 1; 1 - 0; 1 - (-1)) = (1; 1; 2)
• Vectơ AC = (0 - 1; 1 - 0; 2 - (-1)) = (-1; 1; 3)
Vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng (ABC) là tích có hướng của AB và AC:
n = AB × AC = (1·3 - 2·1; 2·(-1) - 1·3; 1·1 - 1·(-1)) = (3 - 2; -2 - 3; 1 + 1) = (1; -5; 2)
Phương trình mặt phẳng (ABC) có dạng: 1(x - x_A) - 5(y - y_A) + 2(z - z_A) = 0
Sử dụng điểm A(1; 0; -1):
1(x - 1) - 5(y - 0) + 2(z - (-1)) = 0
x - 1 - 5y + 2z + 2 = 0
x - 5y + 2z + 1 = 0.

Giải thích: Gọi H(x; y; z) là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (P).
Đường thẳng AH đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P). Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng AH chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Vectơ pháp tuyến của (P) là n_P = (1; -2; 1).
Phương trình tham số của đường thẳng AH là:
x = 1 + t
y = 2 - 2t
z = 3 + t
Vì H thuộc mặt phẳng (P), nên tọa độ của H phải thỏa mãn phương trình của (P):
(1 + t) - 2(2 - 2t) + (3 + t) - 4 = 0
1 + t - 4 + 4t + 3 + t - 4 = 0
6t - 4 = 0
t = 4/6 = 2/3
Thay t = 2/3 vào phương trình tham số của AH để tìm tọa độ H:
x_H = 1 + 2/3 = 5/3
y_H = 2 - 2(2/3) = 2 - 4/3 = 2/3
z_H = 3 + 2/3 = 11/3
Vậy, tọa độ hình chiếu vuông góc H là (5/3; 2/3; 11/3).

Giải thích: Gọi α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u_d = (1; -1; 2).
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n_P = (1; 1; -1).
Cosin góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) được tính theo công thức:
sin(α) = |u_d ⋅ n_P| / (|u_d| ⋅ |n_P|)
Tính tích vô hướng u_d ⋅ n_P = 1·1 + (-1)·1 + 2·(-1) = 1 - 1 - 2 = -2.
Tính độ dài các vectơ:
|u_d| = √(1² + (-1)² + 2²) = √(1 + 1 + 4) = √6
|n_P| = √(1² + 1² + (-1)²) = √(1 + 1 + 1) = √3
Vậy, sin(α) = |-2| / (√6 ⋅ √3) = 2 / √18 = 2 / (3√2) = 2√2 / 6 = √2 / 3.
Ta có cos²(α) = 1 - sin²(α) = 1 - (√2 / 3)² = 1 - 2/9 = 7/9.
Vì α là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, nên 0° ≤ α ≤ 90°, do đó cos(α) ≥ 0.
cos(α) = √(7/9) = √7 / 3.

Giải thích: Phương trình mặt cầu có dạng (x - x₀)² + (y - y₀)² + (z - z₀)² = R², với (x₀; y₀; z₀) là tọa độ tâm và R là bán kính.
Tâm mặt cầu đã cho là I(1; -2; 3).
Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên bán kính R của mặt cầu chính là khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P).
Công thức tính khoảng cách từ điểm M(x₀; y₀; z₀) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là:
d(M, (P)) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)
Áp dụng cho I(1; -2; 3) và (P): 2x - y + 2z - 1 = 0:
R = |2(1) - (-2) + 2(3) - 1| / √(2² + (-1)² + 2²)
R = |2 + 2 + 6 - 1| / √(4 + 1 + 4)
R = |9| / √9 = 9 / 3 = 3.
Vậy, bán kính của mặt cầu là R = 3.
Phương trình mặt cầu là: (x - 1)² + (y - (-2))² + (z - 3)² = 3²
(x - 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = 9.

Giải thích: Để viết phương trình mặt phẳng (P), ta cần tìm một vectơ pháp tuyến của (P) và một điểm thuộc (P).
Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 0; -1) (lấy từ tử số của phương trình đường thẳng d) và có vectơ chỉ phương u_d = (2; 1; -1).
Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đi qua điểm A(1; 2; -3).
Điều này có nghĩa là mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1; 2; -3) và M(1; 0; -1).
Vectơ AM = (1 - 1; 0 - 2; -1 - (-3)) = (0; -2; 2).
Vectơ pháp tuyến n_P của mặt phẳng (P) sẽ vuông góc với cả u_d và AM. Do đó, n_P có thể được tính bằng tích có hướng của u_d và AM:
n_P = u_d × AM = (2; 1; -1) × (0; -2; 2)
n_P = (1·2 - (-1)·(-2); (-1)·0 - 2·2; 2·(-2) - 1·0)
n_P = (2 - 2; 0 - 4; -4 - 0) = (0; -4; -4).
Ta có thể chọn vectơ pháp tuyến đơn giản hơn bằng cách chia cho -4, ví dụ n'_P = (0; 1; 1).
Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 2; -3) và có vectơ pháp tuyến n'_P = (0; 1; 1).
Phương trình mặt phẳng (P) là: 0(x - 1) + 1(y - 2) + 1(z - (-3)) = 0
0 + y - 2 + z + 3 = 0
y + z + 1 = 0.

Giải thích: Mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm M của AB và có vectơ pháp tuyến là vectơ AB.
Tọa độ trung điểm M của AB là: M((1+3)/2; (2+0)/2; (3+1)/2) = (2; 1; 2).
Vectơ AB = (3-1; 0-2; 1-3) = (2; -2; -2).
Ta có thể chọn vectơ pháp tuyến của (P) là n = (1; -1; -1) (chia cho 2).
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(2; 1; 2) và có VTPT n = (1; -1; -1) là:
1(x - 2) - 1(y - 1) - 1(z - 2) = 0
x - 2 - y + 1 - z + 2 = 0
x - y - z + 1 = 0.

Giải thích: Đường thẳng d song song với cả hai mặt phẳng (P) và (Q) nên vectơ chỉ phương của d sẽ vuông góc với cả hai vectơ pháp tuyến của (P) và (Q).
Vectơ pháp tuyến của (P) là n_P = (1; -2; 1).
Vectơ pháp tuyến của (Q) là n_Q = (2; 1; -1).
Vectơ chỉ phương u của đường thẳng d có thể lấy bằng tích có hướng của n_P và n_Q:
u = [n_P, n_Q] = ((-2)(-1) - (1)(1); (1)(2) - (1)(-1); (1)(1) - (-2)(2))
u = (2 - 1; 2 + 1; 1 + 4) = (1; 3; 5).
Đường thẳng d đi qua điểm M(1; -1; 2) và có vectơ chỉ phương u = (1; 3; 5) có phương trình chính tắc là:
^(x-1)/₁ = ^(y-(-1))/₃ = ^(z-2)/₅
hay ^(x-1)/₁ = ^(y+1)/₃ = ^(z-2)/₅.

Giải thích: Phương trình tổng quát của mặt cầu có dạng: x² + y² + z² + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0.
Tâm I có tọa độ (-A; -B; -C) và bán kính R = √(A² + B² + C² - D).
Từ phương trình đã cho: x² + y² + z² - 4x + 6y - 2z - 2 = 0, ta có:
2A = -4 ⇒ A = -2
2B = 6 ⇒ B = 3
2C = -2 ⇒ C = -1
D = -2
Vậy, tâm I của mặt cầu là (-(-2); -(3); -(-1)) = (2; -3; 1).
Bán kính R của mặt cầu là R = √((-2)² + 3² + (-1)² - (-2)) = √(4 + 9 + 1 + 2) = √16 = 4.

Giải thích: Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n_P = (1; -2; 2).
Độ dài của n_P là |n_P| = √(1² + (-2)² + 2²) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là n_Q = (3; 4; -5).
Độ dài của n_Q là |n_Q| = √(3² + 4² + (-5)²) = √(9 + 16 + 25) = √50 = 5√2.
Cosin của góc φ giữa hai mặt phẳng được tính bằng công thức:
cosφ = ^{|n_P . n_Q|}/_{(|nP| . |nQ|)}
Tích vô hướng n_P . n_Q = (1)(3) + (-2)(4) + (2)(-5) = 3 - 8 - 10 = -15.
Vậy, cosφ = ^|-15|/_{(3 . 5√2)} = ¹⁵/_(15√2) = ¹/_√2 = ^√2/₂.

Giải thích: Để viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng, ta cần tìm một điểm thuộc d và một vectơ chỉ phương của d.
1. Tìm vectơ chỉ phương u của đường thẳng d:
Đường thẳng d nằm trong cả hai mặt phẳng (P) và (Q) nên vectơ chỉ phương u của d sẽ vuông góc với cả hai vectơ pháp tuyến n_P và n_Q.
Vectơ pháp tuyến của (P) là n_P = (1; 1; -1).
Vectơ pháp tuyến của (Q) là n_Q = (2; -1; 3).
Vectơ chỉ phương u = [n_P, n_Q] = ((1)(3) - (-1)(-1); (-1)(2) - (1)(3); (1)(-1) - (1)(2))
u = (3 - 1; -2 - 3; -1 - 2) = (2; -5; -3).
2. Tìm một điểm A thuộc đường thẳng d:
Để tìm một điểm thuộc giao tuyến, ta có thể chọn một giá trị cho x, y hoặc z rồi giải hệ phương trình hai ẩn còn lại.
Chọn z = 0, ta có hệ:
x + y + 1 = 0 (1)
2x - y - 4 = 0 (2)
Cộng (1) và (2) ta được: 3x - 3 = 0 ⇒ 3x = 3 ⇒ x = 1.
Thay x = 1 vào (1): 1 + y + 1 = 0 ⇒ y = -2.
Vậy, điểm A(1; -2; 0) thuộc đường thẳng d.
3. Phương trình chính tắc của đường thẳng d:
Đường thẳng d đi qua A(1; -2; 0) và có vectơ chỉ phương u = (2; -5; -3) có phương trình chính tắc là:
^(x-1)/₂ = ^(y-(-2))/_(-5) = ^(z-0)/_(-3)
hay ^(x-1)/₂ = ^(y+2)/_(-5) = ^z/_(-3).

Giải thích: Mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d nên vectơ pháp tuyến của (P) chính là vectơ chỉ phương của d. Vectơ chỉ phương của d là u_d = (2; -1; 4).
Vậy, mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n_P = (2; -1; 4) và đi qua điểm M(1; -2; 3).
Phương trình tổng quát của (P) là:
2(x - 1) - 1(y - (-2)) + 4(z - 3) = 0
2(x - 1) - (y + 2) + 4(z - 3) = 0
2x - 2 - y - 2 + 4z - 12 = 0
2x - y + 4z - 16 = 0.

Giải thích: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng d.
Vì H thuộc d nên ta có thể tham số hóa tọa độ của H theo t: H(1 + t; 2 + 2t; -1 - 2t).
Vectơ AH = (1 + t - 2; 2 + 2t - 1; -1 - 2t - (-1)) = (t - 1; 2t + 1; -2t).
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u_d = (1; 2; -2).
Vì AH vuông góc với d nên vectơ AH và u_d vuông góc với nhau, tức là tích vô hướng của chúng bằng 0:
AH . u_d = 0
(t - 1).1 + (2t + 1).2 + (-2t).(-2) = 0
t - 1 + 4t + 2 + 4t = 0
9t + 1 = 0
9t = -1
t = -¹/₉.
Thay t = -¹/₉ vào tọa độ của H:
x_H = 1 + (-¹/₉) = ⁹/₉ - ¹/₉ = ⁸/₉
y_H = 2 + 2(-¹/₉) = 2 - ²/₉ = ¹⁸/₉ - ²/₉ = ¹⁶/₉
z_H = -1 - 2(-¹/₉) = -1 + ²/₉ = -⁹/₉ + ²/₉ = -⁷/₉.
Vậy, tọa độ hình chiếu vuông góc H là (⁸/₉; ¹⁶/₉; -⁷/₉).

Giải thích: Mặt cầu có đường kính AB sẽ có tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB và bán kính R bằng một nửa độ dài đoạn AB.
1. Tìm tọa độ tâm I:
I = ((x_A + x_B)/2; (y_A + y_B)/2; (z_A + z_B)/2)
I = ((1 + 3)/2; (3 + (-1))/2; (-2 + 4)/2)
I = (4/2; 2/2; 2/2) = (2; 1; 1).
2. Tính bán kính R:
Độ dài đoạn AB = √((x_B - x_A)² + (y_B - y_A)² + (z_B - z_A)²)
AB = √((3 - 1)² + (-1 - 3)² + (4 - (-2))²)
AB = √(2² + (-4)² + 6²)
AB = √(4 + 16 + 36) = √56.
Bán kính R = AB/2 = √56 / 2 = √(4 × 14) / 2 = (2√14) / 2 = √14.
Vậy R² = (√14)² = 14.
3. Phương trình mặt cầu:
Với tâm I(2; 1; 1) và bán kính R² = 14, phương trình mặt cầu là:
(x - 2)² + (y - 1)² + (z - 1)² = 14.

Giải thích: Gọi u₁ và u₂ lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng d₁ và d₂.
Từ phương trình của d₁, ta có u₁ = (2; -1; 2).
Từ phương trình của d₂, ta có u₂ = (1; 1; -1).
Cosin góc α giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ được tính theo công thức:
cos α = ^{|u₁ . u₂|}/_{(|u1| . |u2|)}
1. Tính tích vô hướng u₁ . u₂:
u₁ . u₂ = (2)(1) + (-1)(1) + (2)(-1) = 2 - 1 - 2 = -1.
2. Tính độ dài của các vectơ chỉ phương:
|u₁| = √(2² + (-1)² + 2²) = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3.
|u₂| = √(1² + 1² + (-1)²) = √(1 + 1 + 1) = √3.
3. Tính cosin góc α:
cos α = ^|-1|/_{(3 × √3)} = ¹/_(3√3).
Để rút gọn mẫu số, nhân cả tử và mẫu với √3:
cos α = ^√3/_{(3√3 × √3)} = ^√3/_{(3 × 3)} = ^√3/₉.

Giải thích: Để tìm giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta thay các biểu thức tham số của x, y, z từ phương trình đường thẳng d vào phương trình mặt phẳng (P).
Phương trình đường thẳng d: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 3 + 2t.
Phương trình mặt phẳng (P): x + 2y - z + 1 = 0.
Thay vào (P):
(1 + t) + 2(2 - t) - (3 + 2t) + 1 = 0
1 + t + 4 - 2t - 3 - 2t + 1 = 0
Nhóm các số hạng chứa t và các hằng số:
(t - 2t - 2t) + (1 + 4 - 3 + 1) = 0
-3t + 3 = 0
-3t = -3
t = 1.
Bây giờ, thay giá trị t = 1 vào phương trình tham số của đường thẳng d để tìm tọa độ điểm M:
x_M = 1 + 1 = 2
y_M = 2 - 1 = 1
z_M = 3 + 2(1) = 5.
Vậy, tọa độ giao điểm M là (2; 1; 5).

Giải thích: Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q): x - 2y + 3z + 4 = 0 nên vectơ pháp tuyến của (P) cũng là vectơ pháp tuyến của (Q), tức là n_P = (1; -2; 3).
Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 2; -1) và có vectơ pháp tuyến n = (1; -2; 3).
Phương trình mặt phẳng (P) là:
1(x - 1) - 2(y - 2) + 3(z - (-1)) = 0
x - 1 - 2y + 4 + 3z + 3 = 0
x - 2y + 3z + 6 = 0.

Giải thích: Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 3x + y - 2z + 5 = 0.
Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng d chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P), tức là u_d = n_P = (3; 1; -2).
Đường thẳng d đi qua điểm A(2; -1; 3) và có vectơ chỉ phương u_d = (3; 1; -2).
Phương trình chính tắc của đường thẳng d là:
^{(x - 2)}/₃ = ^{(y - (-1))}/₁ = ^{(z - 3)}/_(-2)
^{(x - 2)}/₃ = ^{(y + 1)}/₁ = ^{(z - 3)}/_(-2).

Giải thích: Đường thẳng d có phương trình tham số: x = 1 + 2t, y = -1 + t, z = 3 - 2t.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u_d = (2; 1; -2).
Trục Oz có vectơ chỉ phương là k = (0; 0; 1).
Gọi φ là góc giữa đường thẳng d và trục Oz.
Cosin của góc φ được tính theo công thức:
cos(φ) = ^{|u_d ⋅ k|}/_{(|ud| ⋅ |k|)}
Ta có:
u_d ⋅ k = (2)(0) + (1)(0) + (-2)(1) = -2
|u_d| = √(2² + 1² + (-2)²) = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3
|k| = √(0² + 0² + 1²) = √1 = 1
Vậy, cos(φ) = ^|-2|/_{(3 ⋅ 1)} = ²/₃.

Giải thích: Mặt cầu có tâm I(1; 0; -2) và đi qua điểm A(3; 2; 0).
Bán kính R của mặt cầu chính là khoảng cách IA.
R = IA = √((3 - 1)² + (2 - 0)² + (0 - (-2))²)
R = √(2² + 2² + 2²)
R = √(4 + 4 + 4) = √12
Phương trình mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính R là (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = R².
Thay I(1; 0; -2) và R² = 12 vào, ta được:
(x - 1)² + (y - 0)² + (z - (-2))² = 12
(x - 1)² + y² + (z + 2)² = 12.

Giải thích: Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: ^{(x - 1)}/₂ = ^{(y + 1)}/_(-1) = ^{(z - 2)}/₁.
Đường thẳng d đi qua điểm M(1; -1; 2) và có vectơ chỉ phương u_d = (2; -1; 1).
Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q): x + 2y - z + 3 = 0.
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là n_Q = (1; 2; -1).
Vì (P) chứa d nên vectơ pháp tuyến n_P của (P) phải vuông góc với u_d.
Vì (P) vuông góc với (Q) nên vectơ pháp tuyến n_P của (P) phải vuông góc với n_Q.
Do đó, vectơ pháp tuyến của (P) có thể lấy là tích có hướng của u_d và n_Q:
n_P = [u_d, n_Q] = ((-1)(-1) - (1)(2); (1)(1) - (2)(-1); (2)(2) - (-1)(1))
n_P = (1 - 2; 1 + 2; 4 + 1)
n_P = (-1; 3; 5).
Ta có thể chọn vectơ pháp tuyến là (1; -3; -5) để phương trình có hệ số đầu dương.
Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; -1; 2) và có vectơ pháp tuyến n_P = (1; -3; -5).
Phương trình mặt phẳng (P) là:
1(x - 1) - 3(y - (-1)) - 5(z - 2) = 0
x - 1 - 3y - 3 - 5z + 10 = 0
x - 3y - 5z + 6 = 0.

Giải thích: Công thức tính khoảng cách từ điểm M(x₀; y₀; z₀) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 là d(M, (P)) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²). Áp dụng cho điểm M(2; -1; 3) và mặt phẳng (P): x + 2y - 2z + 5 = 0: d(M, (P)) = |1(2) + 2(-1) - 2(3) + 5| / √(1² + 2² + (-2)²) d(M, (P)) = |2 - 2 - 6 + 5| / √(1 + 4 + 4) d(M, (P)) = |-1| / √9 d(M, (P)) = 1/3. Vậy khoảng cách là ¹/₃.

Giải thích: Đường thẳng d đi qua điểm M(2; 1; -1) và có vector chỉ phương u = (1; 2; -2). Vector AM = (2 - 1; 1 - 2; -1 - (-1)) = (1; -1; 0). Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d được tính bằng công thức: d(A, d) = |[u, AM]| / |u|. Tính tích có hướng [u, AM]: [u, AM] = ( (2)(0) - (-2)(-1); (-2)(1) - (1)(0); (1)(-1) - (2)(1) ) = ( 0 - 2; -2 - 0; -1 - 2 ) = ( -2; -2; -3 ) Độ dài của vector [u, AM] là |[u, AM]| = √((-2)² + (-2)² + (-3)²) = √(4 + 4 + 9) = √17. Độ dài của vector u là |u| = √(1² + 2² + (-2)²) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3. Vậy khoảng cách d(A, d) = √17 / 3.

Giải thích: Mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; 3) và bán kính R = √25 = 5. Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là: d(I, (P)) = |1(1) + 2(-2) - 2(3) + 1| / √(1² + 2² + (-2)²) d(I, (P)) = |1 - 4 - 6 + 1| / √(1 + 4 + 4) d(I, (P)) = |-8| / √9 = 8/3. Khi mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn, bán kính r của đường tròn đó được tính theo công thức: r = √(R² - d²). r = √(5² - (⁸/₃)²) r = √(25 - ⁶⁴/₉) r = √((225 - 64)/9) r = √(¹⁶¹/₉) = ^√161/₃. Vậy bán kính đường tròn giao tuyến là ^√161/₃.

Giải thích: Đường thẳng d₁ đi qua điểm A₁(1; 0; -2) và có vector chỉ phương u₁ = (2; -1; 1). Đường thẳng d₂ đi qua điểm A₂(0; 1; 1) và có vector chỉ phương u₂ = (1; 2; -1). Vector A₁A₂ = (0 - 1; 1 - 0; 1 - (-2)) = (-1; 1; 3). Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau được tính bằng công thức: h = |[u₁, u₂] . A₁A₂| / |[u₁, u₂]|. Tính tích có hướng [u₁, u₂]: [u₁, u₂] = ( (-1)(-1) - (1)(2); (1)(1) - (2)(-1); (2)(2) - (-1)(1) ) = ( 1 - 2; 1 + 2; 4 + 1 ) = ( -1; 3; 5 ) Tính tích vô hướng [u₁, u₂] . A₁A₂: (-1)(-1) + (3)(1) + (5)(3) = 1 + 3 + 15 = 19. Độ dài của vector [u₁, u₂] là |[u₁, u₂]| = √((-1)² + 3² + 5²) = √(1 + 9 + 25) = √35. Vậy khoảng cách h = ¹⁹/_√35 = ^19√35/₃₅.

Giải thích: Đường thẳng d₁ có vector chỉ phương u₁ = (1; -2; 3). Đường thẳng d₂ có vector chỉ phương u₂ = (2; 1; -1). Vì mặt phẳng (P) song song với cả hai đường thẳng d₁ và d₂, nên vector pháp tuyến n_P của (P) sẽ vuông góc với cả u₁ và u₂. Do đó, n_P có thể lấy là tích có hướng của u₁ và u₂. n_P = [u₁, u₂] = ( (-2)(-1) - (3)(1); (3)(2) - (1)(-1); (1)(1) - (-2)(2) ) = ( 2 - 3; 6 + 1; 1 + 4 ) = ( -1; 7; 5 ) Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 2; -3) và có vector pháp tuyến n_P = (-1; 7; 5). Phương trình của (P) là: -1(x - 1) + 7(y - 2) + 5(z - (-3)) = 0 -x + 1 + 7y - 14 + 5z + 15 = 0 -x + 7y + 5z + 2 = 0 Nhân cả hai vế với -1, ta được: x - 7y - 5z - 2 = 0. Vậy phương trình mặt phẳng (P) là x - 7y - 5z - 2 = 0.

Giải thích: Ta có các vector:
Vector AB = B - A = (0 - 1; 2 - 0; 0 - 0) = (-1; 2; 0)
Vector AC = C - A = (0 - 1; 0 - 0; 3 - 0) = (-1; 0; 3)
Vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) là tích có hướng của AB và AC:
n = [AB, AC] = (2×3 - 0×0; 0×(-1) - (-1)×3; (-1)×0 - 2×(-1)) = (6; 3; 2)
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; 0; 0) và có vector pháp tuyến n(6; 3; 2) là:
6(x - 1) + 3(y - 0) + 2(z - 0) = 0
6x - 6 + 3y + 2z = 0
6x + 3y + 2z - 6 = 0.

Giải thích: Vector chỉ phương của đường thẳng d₁ là u₁ = (2; -1; 1).
Vector chỉ phương của đường thẳng d₂ là u₂ = (1; 2; -1).
Vì đường thẳng d vuông góc với cả d₁ và d₂, nên vector chỉ phương u của d là tích có hướng của u₁ và u₂:
u = [u₁, u₂] = ((-1)×(-1) - 1×2; 1×1 - 2×(-1); 2×2 - (-1)×1) = (1 - 2; 1 + 2; 4 + 1) = (-1; 3; 5).
Phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm M(1; -1; 2) và có vector chỉ phương u(-1; 3; 5) là:
^x-1/_-1 = ^y+1/₃ = ^z-2/₅.

Giải thích: Vector chỉ phương của đường thẳng d là u = (2; -1; 2).
Vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) là n = (1; 2; -2).
Cosin của góc giữa vector chỉ phương u và vector pháp tuyến n là:
cos(u, n) = ^{|u . n|}/_{(|u| × |n|)}
u . n = (2)(1) + (-1)(2) + (2)(-2) = 2 - 2 - 4 = -4.
|u| = √(2² + (-1)² + 2²) = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3.
|n| = √(1² + 2² + (-2)²) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3.
cos(u, n) = ^|-4|/_{(3 × 3)} = ⁴/₉.
Góc φ giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) liên hệ với góc giữa vector chỉ phương và vector pháp tuyến bởi công thức sin φ = |cos(u, n)|.
Vậy, sin φ = ⁴/₉.

Giải thích: Tâm của mặt cầu là I(1; -2; 3).
Khoảng cách h từ tâm I đến mặt phẳng (P): 2x - y + 2z + 1 = 0 là:
h = ^{|2(1) - (-2) + 2(3) + 1|}/_{√(2² + (-1)² + 2²)}
h = ^{|2 + 2 + 6 + 1|}/_{√(4 + 1 + 4)} = ^|11|/_√9 = ¹¹/₃.
Bán kính của đường tròn giao tuyến là r = 3.
Bán kính R của mặt cầu (S) được tính theo công thức R² = r² + h²:
R² = 3² + (¹¹/₃)² = 9 + ¹²¹/₉ = ⁸¹/₉ + ¹²¹/₉ = ²⁰²/₉.
Vậy, phương trình mặt cầu (S) là:
(x - 1)² + (y - (-2))² + (z - 3)² = ²⁰²/₉
(x - 1)² + (y + 2)² + (z - 3)² = ²⁰²/₉.

Giải thích: Vì điểm M thuộc đường thẳng d, nên tọa độ của M có dạng M(1+t; 2-t; 3+2t).
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là d(M, (P)) = 1.
Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
d(M, (P)) = ^{|(1+t) + 2(2-t) - 2(3+2t) + 1|}/_{√(1² + 2² + (-2)²)}
d(M, (P)) = ^{|1+t + 4-2t - 6-4t + 1|}/_√(1+4+4)
d(M, (P)) = ^|-5t|/_√9 = ^|-5t|/₃.
Theo đề bài, d(M, (P)) = 1, nên:
^|-5t|/₃ = 1
|-5t| = 3
Điều này dẫn đến hai trường hợp:
1) -5t = 3 ⇒ t = -³/₅
Thay t = -³/₅ vào tọa độ M:
x = 1 - ³/₅ = ²/₅
y = 2 - (-³/₅) = 2 + ³/₅ = ¹³/₅
z = 3 + 2(-³/₅) = 3 - ⁶/₅ = ⁹/₅
Vậy, M(²/₅; ¹³/₅; ⁹/₅).
2) -5t = -3 ⇒ t = ³/₅
Thay t = ³/₅ vào tọa độ M:
x = 1 + ³/₅ = ⁸/₅
y = 2 - ³/₅ = ⁷/₅
z = 3 + 2(³/₅) = 3 + ⁶/₅ = ²¹/₅
Vậy, M(⁸/₅; ⁷/₅; ²¹/₅).
Trong các phương án lựa chọn, đáp án A là M(²/₅; ¹³/₅; ⁹/₅).

Giải thích: Mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB đi qua trung điểm I của AB và có vectơ pháp tuyến là vectơ AB. 1. Tìm tọa độ trung điểm I của AB: I = ( (1+3)/2; (-2+0)/2; (3-1)/2 ) = (2; -1; 1). 2. Tìm vectơ AB: Vectơ AB = B - A = (3-1; 0-(-2); -1-3) = (2; 2; -4). Ta có thể chọn vectơ pháp tuyến của (P) là n_P = (1; 1; -2) (là vectơ AB chia cho 2). 3. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua I(2; -1; 1) và có vectơ pháp tuyến n_P = (1; 1; -2): 1(x - 2) + 1(y - (-1)) - 2(z - 1) = 0 x - 2 + y + 1 - 2z + 2 = 0 x + y - 2z + 1 = 0. Vậy, phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là x + y - 2z + 1 = 0.

Giải thích: Để viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua hai điểm A(2; -1; 4) và B(0; 3; -2), ta cần tìm một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó. 1. Chọn điểm thuộc đường thẳng: Ta có thể chọn điểm A(2; -1; 4) hoặc B(0; 3; -2). 2. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng: Vectơ chỉ phương u_d của đường thẳng d chính là vectơ AB (hoặc BA). u_d = AB = (0 - 2; 3 - (-1); -2 - 4) = (-2; 4; -6). Để phương trình gọn hơn, ta có thể chọn vectơ chỉ phương tỉ lệ với u_d, ví dụ u'_d = (-1/2)u_d = (1; -2; 3). 3. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d: Sử dụng điểm A(2; -1; 4) và vectơ chỉ phương u'_d = (1; -2; 3): (x - x_A) / a = (y - y_A) / b = (z - z_A) / c (x - 2) / 1 = (y - (-1)) / (-2) = (z - 4) / 3 (x - 2) / 1 = (y + 1) / (-2) = (z - 4) / 3. Vậy, phương trình chính tắc của đường thẳng d là (x - 2) / 1 = (y + 1) / (-2) = (z - 4) / 3.

Giải thích: Góc giữa hai mặt phẳng được xác định bởi góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng. 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng: Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n_P = (1; -2; 2). Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến n_Q = (2; 1; -2). 2. Tính tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến: n_P . n_Q = (1)(2) + (-2)(1) + (2)(-2) = 2 - 2 - 4 = -4. 3. Tính độ dài (modul) của mỗi vectơ pháp tuyến: |n_P| = √(1² + (-2)² + 2²) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3. |n_Q| = √(2² + 1² + (-2)²) = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3. 4. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng: Cosin góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) được tính bằng công thức: cosα = |n_P . n_Q| / (|n_P| * |n_Q|) cosα = |-4| / (3 * 3) = 4 / 9. Vậy, cosin góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là ⁴/₉.

Giải thích: Phương trình tổng quát của mặt cầu có dạng x² + y² + z² - 2ax - 2by - 2cz + d = 0, với tâm I(a; b; c) và bán kính R = √(a² + b² + c² - d). So sánh phương trình mặt cầu đã cho x² + y² + z² - 4x + 6y - 2z - 2 = 0 với dạng tổng quát: 1. Tìm tọa độ tâm I(a; b; c): -2a = -4 => a = 2 -2b = 6 => b = -3 -2c = -2 => c = 1 Vậy, tâm của mặt cầu là I(2; -3; 1). 2. Tìm bán kính R của mặt cầu: Ta có d = -2. R = √(a² + b² + c² - d) R = √(2² + (-3)² + 1² - (-2)) R = √(4 + 9 + 1 + 2) R = √16 = 4. Vậy, tâm của mặt cầu (S) là I(2; -3; 1) và bán kính R = 4.

Giải thích: Để viết phương trình đường thẳng d, ta cần một điểm thuộc d và một vectơ chỉ phương của d. 1. Điểm thuộc d: Đường thẳng d đi qua điểm M(1; 0; -2). 2. Tìm vectơ chỉ phương của d (gọi là u_d = (a; b; c)): * Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P): x - 2y + z - 1 = 0. Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n_P = (1; -2; 1). Vì d // (P), nên u_d vuông góc với n_P. Do đó, u_d . n_P = 0. a(1) + b(-2) + c(1) = 0 => a - 2b + c = 0 (1) * Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng d': (x+1)/2 = y/1 = (z-1)/(-1). Đường thẳng d' có vectơ chỉ phương u_d' = (2; 1; -1). Vì d ⊥ d', nên u_d vuông góc với u_d'. Do đó, u_d . u_d' = 0. a(2) + b(1) + c(-1) = 0 => 2a + b - c = 0 (2) 3. Giải hệ phương trình (1) và (2) để tìm a, b, c: (1) a - 2b + c = 0 (2) 2a + b - c = 0 Cộng (1) và (2) theo vế: (a - 2b + c) + (2a + b - c) = 0 3a - b = 0 => b = 3a. Thay b = 3a vào (1): a - 2(3a) + c = 0 a - 6a + c = 0 -5a + c = 0 => c = 5a. Chọn a = 1 (vì a, b, c không đồng thời bằng 0): Khi a = 1, ta có b = 3(1) = 3 và c = 5(1) = 5. Vậy, vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u_d = (1; 3; 5). 4. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d: Đường thẳng d đi qua M(1; 0; -2) và có vectơ chỉ phương u_d = (1; 3; 5): (x - x_M) / a = (y - y_M) / b = (z - z_M) / c (x - 1) / 1 = (y - 0) / 3 = (z - (-2)) / 5 (x - 1) / 1 = y / 3 = (z + 2) / 5. Vậy, phương trình đường thẳng d là (x - 1)/1 = y/3 = (z + 2)/5.

Giải thích: Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u_d = (3; -1; 2).
Vì mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng d nên vectơ pháp tuyến của (P) chính là n_P = u_d = (3; -1; 2).
Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; -2; 4) và có vectơ pháp tuyến n_P = (3; -1; 2) có phương trình là:
3(x - 1) - 1(y - (-2)) + 2(z - 4) = 0
3x - 3 - y - 2 + 2z - 8 = 0
3x - y + 2z - 13 = 0.

Giải thích: Vectơ pháp tuyến của (P) là n_P = (1; 1; -1).
Vectơ pháp tuyến của (Q) là n_Q = (2; -1; 3).
Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u_d = [n_P, n_Q].
u_d = (1*3 - (-1)*(-1); (-1)*2 - 1*3; 1*(-1) - 1*2) = (3 - 1; -2 - 3; -1 - 2) = (2; -5; -3).
Để tìm một điểm thuộc d, ta cho z = 0 vào hệ phương trình của (P) và (Q):
x + y + 1 = 0 (1)
2x - y - 4 = 0 (2)
Cộng (1) và (2) ta được: 3x - 3 = 0 ⇒ x = 1.
Thay x = 1 vào (1): 1 + y + 1 = 0 ⇒ y = -2.
Vậy, điểm M(1; -2; 0) thuộc đường thẳng d.
Phương trình chính tắc của đường thẳng d là: ^{(x - 1)}/₂ = ^{(y + 2)}/_(-5) = ^z/_(-3).
Hoặc có thể viết: ^{(x - 1)}/_(-2) = ^{(y + 2)}/₅ = ^z/₃.

Giải thích: Đường thẳng d₁ có vectơ chỉ phương u₁ = (2; -1; 2).
Độ dài của u₁ là |u₁| = √(2² + (-1)² + 2²) = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3.
Đường thẳng d₂ có vectơ chỉ phương u₂ = (1; 2; -2).
Độ dài của u₂ là |u₂| = √(1² + 2² + (-2)²) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3.
Cosin góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ được tính bằng công thức:
cos φ = ^{|u₁ . u₂|}/_{(|u1| . |u2|)}
Tích vô hướng u₁ . u₂ = (2)(1) + (-1)(2) + (2)(-2) = 2 - 2 - 4 = -4.
Vậy, cos φ = ^|-4|/_{(3 . 3)} = ⁴/₉.

Giải thích: Tâm I của mặt cầu (S) là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Tọa độ tâm I = (^{(2 + 4)}/₂; ^{(-1 + 3)}/₂; ^{(3 + (-1))}/₂) = (⁶/₂; ²/₂; ²/₂) = (3; 1; 1).
Bán kính R của mặt cầu (S) là một nửa độ dài đoạn AB.
Độ dài AB = √((4 - 2)² + (3 - (-1))² + (-1 - 3)²)
= √(2² + 4² + (-4)²) = √(4 + 16 + 16) = √36 = 6.
Vậy, R = ^AB/₂ = ⁶/₂ = 3.
Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(3; 1; 1) và bán kính R = 3 là:
(x - 3)² + (y - 1)² + (z - 1)² = 3²
(x - 3)² + (y - 1)² + (z - 1)² = 9.

Giải thích: Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u_d = (1; 2; 0).
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n_P = (2; -1; 1).
Tính tích vô hướng u_d . n_P = (1)(2) + (2)(-1) + (0)(1) = 2 - 2 + 0 = 0.
Vì u_d . n_P = 0 nên đường thẳng d song song hoặc nằm trong mặt phẳng (P).
Lấy một điểm M thuộc đường thẳng d, ví dụ M(1; -1; 2).
Thay tọa độ M vào phương trình mặt phẳng (P): 2(1) - (-1) + (2) + 5 = 2 + 1 + 2 + 5 = 10.
Vì 10 ≠ 0 nên điểm M không thuộc mặt phẳng (P). Do đó, đường thẳng d song song với mặt phẳng (P).
Khoảng cách giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) chính là khoảng cách từ điểm M(1; -1; 2) đến mặt phẳng (P).
d(M, (P)) = ^{|Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D|}/_{√(A² + B² + C²)}
= ^{|2(1) - 1(-1) + 1(2) + 5|}/_{√(2² + (-1)² + 1²)}
= ^{|2 + 1 + 2 + 5|}/_{√(4 + 1 + 1)} = ^|10|/_√6 = ¹⁰/_√6 = ^10√6/₆ = ^5√6/₃.