40 câu Toán Học Lớp 12 – Chương 1. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

Giải thích: Tập xác định D = (0; +∞). Đạo hàm y' = 3x² - 12x + 9. Cho y' = 0 ⇔ 3x² - 12x + 9 = 0 ⇔ x² - 4x + 3 = 0. Phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = 3. Bảng biến thiên: | x | 0 | 1 | 3 | +∞ | |-----|-------|-----|-----|-------| | y' | |+ 0 |- 0 |+ | | y | 1 |↗ 5 |↘ 1 |↗ +∞ | Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 tại x = 3 trên khoảng (0; +∞). Giá trị của hàm số tại x=1 là y(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5 (cực đại). Giá trị của hàm số tại x=3 là y(3) = 27 - 6(9) + 9(3) + 1 = 27 - 54 + 27 + 1 = 1 (cực tiểu). lim_x→0+ y(x) = 1. lim_x→+∞ y(x) = +∞. Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên (0; +∞) là 1.

Giải thích: Để tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = (4x - 5)/(2x + 1): 1. **Tiệm cận đứng (TCĐ):** Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0 và tử số khác 0. 2x + 1 = 0 ⇔ x = -1/2. Với x = -1/2, tử số 4(-1/2) - 5 = -2 - 5 = -7 ≠ 0. Vậy, đường tiệm cận đứng là x = -1/2. 2. **Tiệm cận ngang (TCN):** Tiệm cận ngang là giới hạn của hàm số khi x tiến ra ±∞. lim_x→±∞ (4x - 5)/(2x + 1) = lim_x→±∞ (4 - 5/x)/(2 + 1/x) = 4/2 = 2. Vậy, đường tiệm cận ngang là y = 2. 3. **Giao điểm của các đường tiệm cận:** Giao điểm của đường tiệm cận đứng x = -1/2 và đường tiệm cận ngang y = 2 là điểm có tọa độ (-1/2; 2).

Giải thích: Gọi chiều rộng của khu đất là x (m) và chiều dài là y (m). Vì một mặt là bức tường có sẵn, nên ba mặt còn lại có tổng chiều dài là 2x + y. Theo đề bài, tổng chiều dài hàng rào là 100m, nên ta có: 2x + y = 100. Từ đó, ta biểu diễn y theo x: y = 100 - 2x. Diện tích của khu đất hình chữ nhật là S = x ⋅ y. Thay y = 100 - 2x vào công thức diện tích, ta được hàm diện tích theo x: S(x) = x(100 - 2x) = 100x - 2x². Điều kiện của x và y: x > 0 và y > 0. Vì y = 100 - 2x > 0, suy ra 2x < 100, tức là x < 50. Vậy, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số S(x) = 100x - 2x² trên khoảng (0; 50). Để tìm giá trị lớn nhất, ta tính đạo hàm của S(x): S'(x) = 100 - 4x. Đặt S'(x) = 0 để tìm điểm cực trị: 100 - 4x = 0 ⇔ 4x = 100 ⇔ x = 25. Lập bảng biến thiên: | x | 0 | 25 | 50 | |-------|-------|-------|-------| | S'(x) | |+ 0 |- | | S(x) | |↗ 1250 |↘ | Tại x = 25, hàm số đạt giá trị lớn nhất. Khi x = 25m, thì y = 100 - 2(25) = 100 - 50 = 50m. Diện tích lớn nhất là S(25) = 25 × 50 = 1250 m².

Giải thích: Đồ thị hàm số y = (x + 1) / (x² - mx + 4) có tiệm cận đứng khi mẫu số bằng 0 và tử số khác 0. Ta xét phương trình mẫu số f(x) = x² - mx + 4 = 0. Để đồ thị có đúng một đường tiệm cận đứng, có hai trường hợp xảy ra: **Trường hợp 1:** Phương trình mẫu số có nghiệm kép và nghiệm đó không phải là nghiệm của tử số. Phương trình x² - mx + 4 = 0 có nghiệm kép khi Δ = 0. Δ = (-m)² - 4(1)(4) = m² - 16. Đặt Δ = 0 ⇔ m² - 16 = 0 ⇔ m = 4 hoặc m = -4. * Nếu m = 4, phương trình mẫu số là x² - 4x + 4 = 0 ⇔ (x - 2)² = 0 ⇔ x = 2. Kiểm tra tử số tại x = 2: 2 + 1 = 3 ≠ 0. Vậy x = 2 là tiệm cận đứng. Giá trị m = 4 thỏa mãn. * Nếu m = -4, phương trình mẫu số là x² + 4x + 4 = 0 ⇔ (x + 2)² = 0 ⇔ x = -2. Kiểm tra tử số tại x = -2: -2 + 1 = -1 ≠ 0. Vậy x = -2 là tiệm cận đứng. Giá trị m = -4 thỏa mãn. **Trường hợp 2:** Phương trình mẫu số có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm trùng với nghiệm của tử số (x = -1) và nghiệm còn lại không trùng với x = -1. Nghiệm của tử số là x + 1 = 0 ⇔ x = -1. Để x = -1 là nghiệm của mẫu số, ta thay x = -1 vào phương trình mẫu số: (-1)² - m(-1) + 4 = 0 ⇔ 1 + m + 4 = 0 ⇔ m + 5 = 0 ⇔ m = -5. Với m = -5, phương trình mẫu số trở thành x² + 5x + 4 = 0. Phương trình này có hai nghiệm là x = -1 và x = -4. Khi đó, hàm số trở thành y = (x + 1) / ((x + 1)(x + 4)). Với x ≠ -1, ta có y = 1 / (x + 4). Đồ thị hàm số lúc này chỉ có một đường tiệm cận đứng là x = -4 (do lim_x→-4± y = ±∞) và một 'lỗ thủng' tại x = -1 (lim_x→-1 y = 1/3). Vậy m = -5 thỏa mãn điều kiện có đúng một đường tiệm cận đứng. Kết luận: Các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận đứng là m = -5, m = -4 hoặc m = 4.

Giải thích: Xét hàm số f(x) = x² - 4x + 3 trên đoạn [0; 4]. Đạo hàm f'(x) = 2x - 4. Cho f'(x) = 0 ⇔ 2x - 4 = 0 ⇔ x = 2. Ta tính giá trị của f(x) tại các điểm mút của đoạn [0; 4] và tại điểm cực trị x = 2 (nếu nằm trong đoạn): * f(0) = 0² - 4(0) + 3 = 3. * f(2) = 2² - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1. * f(4) = 4² - 4(4) + 3 = 16 - 16 + 3 = 3. Các giá trị của f(x) trên đoạn [0; 4] nằm trong khoảng [-1; 3]. Bây giờ ta xét hàm số y = |f(x)| = |x² - 4x + 3|. Giá trị lớn nhất của |f(x)| trên đoạn [0; 4] sẽ là giá trị lớn nhất của các |f(x)| tại các điểm đã tính: * |f(0)| = |3| = 3. * |f(2)| = |-1| = 1. * |f(4)| = |3| = 3. So sánh các giá trị này, ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số y = |x² - 4x + 3| trên đoạn [0; 4] là 3.

Giải thích: Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng khi mẫu số bằng 0 và tử số khác 0. Xét phương trình mẫu số: g(x) = x² - 2mx + m + 2 = 0. Để đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận đứng, ta xét các trường hợp sau: Trường hợp 1: Phương trình g(x) = 0 có nghiệm kép x₀ và x₀ không làm tử số bằng 0 (tức là x₀ ≠ -1). Điều kiện có nghiệm kép là Δ' = 0. Δ' = (-m)² - (m + 2) = m² - m - 2. Δ' = 0 ⇔ m² - m - 2 = 0 ⇔ (m - 2)(m + 1) = 0 ⇔ m = 2 hoặc m = -1. - Nếu m = 2: g(x) = x² - 4x + 4 = (x - 2)². Phương trình có nghiệm kép x₀ = 2. Vì x₀ = 2 ≠ -1, nên m = 2 thỏa mãn. Khi đó, hàm số trở thành y = (x + 1) / (x - 2)², có một tiệm cận đứng là x = 2. - Nếu m = -1: g(x) = x² + 2x + 1 = (x + 1)². Phương trình có nghiệm kép x₀ = -1. Khi đó, hàm số trở thành y = (x + 1) / (x + 1)² = 1 / (x + 1) (với x ≠ -1). Hàm số này có một tiệm cận đứng là x = -1. Vậy m = -1 thỏa mãn. Trường hợp 2: Phương trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂, trong đó một nghiệm bằng -1 và nghiệm còn lại khác -1. Điều kiện có hai nghiệm phân biệt là Δ' > 0 ⇔ m² - m - 2 > 0 ⇔ m > 2 hoặc m < -1. Điều kiện có một nghiệm bằng -1 là g(-1) = 0. g(-1) = (-1)² - 2m(-1) + m + 2 = 1 + 2m + m + 2 = 3m + 3. g(-1) = 0 ⇔ 3m + 3 = 0 ⇔ m = -1. Giá trị m = -1 không thỏa mãn điều kiện Δ' > 0 (vì -1 không lớn hơn 2 và không nhỏ hơn -1). Do đó, trường hợp này không có giá trị m nào thỏa mãn. Từ hai trường hợp trên, các giá trị của m để đồ thị hàm số có đúng một đường tiệm cận đứng là m = 2 hoặc m = -1.

Giải thích: Để tìm số điểm cực trị của hàm số f(x), ta cần tìm các điểm x mà tại đó f'(x) = 0 và f'(x) đổi dấu khi đi qua điểm đó. Ta có f'(x) = x(x - 1)²(x + 2)³. Đặt f'(x) = 0, ta có các nghiệm: x = 0 (nghiệm đơn) x - 1 = 0 ⇔ x = 1 (nghiệm bội bậc 2) x + 2 = 0 ⇔ x = -2 (nghiệm bội bậc 3) Xét dấu của f'(x): - Tại x = -2: Vì (x + 2)³ là lũy thừa bậc lẻ, nên f'(x) đổi dấu khi đi qua x = -2. Cụ thể, khi x 0; khi x > -2, f'(x) < 0 (nếu các yếu tố khác không đổi). Ta lập bảng xét dấu: - Khi x < -2: x < 0, (x - 1)² > 0, (x + 2)³ < 0. Vậy f'(x) = (-) . (+) . (-) = (+). - Khi -2 < x < 0: x < 0, (x - 1)² > 0, (x + 2)³ > 0. Vậy f'(x) = (-) . (+) . (+) = (-). - Tại x = 0: x là lũy thừa bậc lẻ, nên f'(x) đổi dấu khi đi qua x = 0. - Khi 0 < x 0, (x - 1)² > 0, (x + 2)³ > 0. Vậy f'(x) = (+) . (+) . (+) = (+). - Tại x = 1: (x - 1)² là lũy thừa bậc chẵn, nên f'(x) không đổi dấu khi đi qua x = 1. - Khi x > 1: x > 0, (x - 1)² > 0, (x + 2)³ > 0. Vậy f'(x) = (+) . (+) . (+) = (+). Bảng biến thiên (hoặc xét dấu): Khoảng (-∞; -2): f'(x) > 0 (đồng biến) Khoảng (-2; 0): f'(x) 0 (đồng biến) Khoảng (1; +∞): f'(x) > 0 (đồng biến) Từ bảng xét dấu, ta thấy: - Tại x = -2, f'(x) đổi dấu từ dương sang âm. Vậy x = -2 là một điểm cực đại. - Tại x = 0, f'(x) đổi dấu từ âm sang dương. Vậy x = 0 là một điểm cực tiểu. - Tại x = 1, f'(x) không đổi dấu. Vậy x = 1 không phải là điểm cực trị. Vậy hàm số f(x) có 2 điểm cực trị.

Giải thích: Phân tích các đặc điểm của đồ thị: 1. **Đi qua gốc tọa độ (0;0):** Điều này có nghĩa là khi x = 0, y = 0. Ta kiểm tra từng đáp án: A. y = 0³ + 3(0) = 0. (Thỏa mãn) B. y = -0³ + 3(0) = 0. (Thỏa mãn) C. y = 0³ - 3(0) = 0. (Thỏa mãn) D. y = -0³ - 3(0) = 0. (Thỏa mãn) Vậy điều kiện này không loại trừ đáp án nào. 2. **Điểm cực đại tại (-1; 2) và điểm cực tiểu tại (1; -2):** Ta sẽ tính đạo hàm y' của mỗi hàm số và tìm các điểm cực trị. A. **y = x³ + 3x** y' = 3x² + 3. Vì 3x² + 3 > 0 với mọi x, hàm số này luôn đồng biến, không có cực trị. Loại A. B. **y = -x³ + 3x** y' = -3x² + 3 = -3(x² - 1). y' = 0 ⇔ x = ±1. Bảng biến thiên: x | -∞ -1 1 +∞ y' | - 0 + 0 - y | Giảm CĐ Tăng CT Giảm Tại x = -1: y = -(-1)³ + 3(-1) = 1 - 3 = -2. (Cực tiểu (-1; -2)) Tại x = 1: y = -(1)³ + 3(1) = -1 + 3 = 2. (Cực đại (1; 2)) Điểm cực đại và cực tiểu không khớp với đồ thị đã cho. Loại B. C. **y = x³ - 3x** y' = 3x² - 3 = 3(x² - 1). y' = 0 ⇔ x = ±1. Bảng biến thiên: x | -∞ -1 1 +∞ y' | + 0 - 0 + y | Tăng CĐ Giảm CT Tăng Tại x = -1: y = (-1)³ - 3(-1) = -1 + 3 = 2. (Cực đại (-1; 2)). Tại x = 1: y = (1)³ - 3(1) = 1 - 3 = -2. (Cực tiểu (1; -2)). Điểm cực đại và cực tiểu khớp hoàn toàn với mô tả đồ thị. Chọn C. D. **y = -x³ - 3x** y' = -3x² - 3 = -3(x² + 1). Vì -3(x² + 1) < 0 với mọi x, hàm số này luôn nghịch biến, không có cực trị. Loại D. Vậy hàm số phù hợp với đồ thị là y = x³ - 3x.

Giải thích: Để tìm các đường tiệm cận ngang (TCN) của đồ thị hàm số, ta cần tính giới hạn của y khi x tiến ra vô cùng (x → +∞ và x → -∞). 1. **Khi x → +∞:** y = lim_x→+∞ (√(x² + 4x + 5) - x) Đây là dạng vô định (∞ - ∞), ta nhân liên hợp: y = lim_x→+∞ [ (√(x² + 4x + 5) - x) * (√(x² + 4x + 5) + x) ] / (√(x² + 4x + 5) + x) y = lim_x→+∞ [ (x² + 4x + 5) - x² ] / (√(x² + 4x + 5) + x) y = lim_x→+∞ (4x + 5) / (√(x² + 4x + 5) + x) Chia cả tử và mẫu cho x (lưu ý √(x²) = |x|, khi x → +∞ thì |x| = x): y = lim_x→+∞ ( (4x + 5)/x ) / ( (√(x² + 4x + 5))/x + x/x ) y = lim_x→+∞ ( 4 + 5/x ) / ( √( (x² + 4x + 5)/x² ) + 1 ) y = lim_x→+∞ ( 4 + 5/x ) / ( √( 1 + 4/x + 5/x² ) + 1 ) Khi x → +∞, các số hạng 5/x, 4/x, 5/x² đều tiến về 0. y = (4 + 0) / (√(1 + 0 + 0) + 1) = 4 / (√1 + 1) = 4 / 2 = 2. Vậy đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang là y = 2. 2. **Khi x → -∞:** y = lim_x→-∞ (√(x² + 4x + 5) - x) Khi x → -∞, x² + 4x + 5 → +∞, nên √(x² + 4x + 5) → +∞. Đồng thời, -x → +∞. Vậy, lim_x→-∞ (√(x² + 4x + 5) - x) = +∞ + (+∞) = +∞. Giới hạn này không phải là một số hữu hạn, do đó không có tiệm cận ngang khi x → -∞. Đồ thị hàm số chỉ có một đường tiệm cận ngang là y = 2. Tổng giá trị của tất cả các đường tiệm cận ngang là 2.

Giải thích: Ta phân tích các đặc điểm của đồ thị để xác định dấu hoặc giá trị của các hệ số a, b, c, d: 1. **Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1:** Khi x = 0, y = 1. Thay vào hàm số: y(0) = a(0)³ + b(0)² + c(0) + d = d. Vậy d = 1. 2. **Hướng của nhánh cuối cùng của đồ thị:** Đồ thị đi lên từ trái sang phải (khi x → +∞, y → +∞). Điều này chứng tỏ hệ số a > 0. 3. **Điểm cực đại tại (-1; 3) và điểm cực tiểu tại (1; -1):** Các điểm cực trị là nghiệm của phương trình y' = 0. Đạo hàm của hàm số là y' = 3ax² + 2bx + c. Theo đề bài, y'(-1) = 0 và y'(1) = 0. - Tại x = -1: 3a(-1)² + 2b(-1) + c = 0 ⇔ 3a - 2b + c = 0 (1) - Tại x = 1: 3a(1)² + 2b(1) + c = 0 ⇔ 3a + 2b + c = 0 (2) Cộng (1) và (2): (3a - 2b + c) + (3a + 2b + c) = 0 ⇔ 6a + 2c = 0 ⇔ c = -3a. Trừ (2) cho (1): (3a + 2b + c) - (3a - 2b + c) = 0 ⇔ 4b = 0 ⇔ b = 0. Bây giờ ta thay b = 0 và c = -3a vào hàm số: y = ax³ + 0x² + (-3a)x + d = ax³ - 3ax + d. Vì d = 1, nên y = ax³ - 3ax + 1. Sử dụng tọa độ điểm cực tiểu (1; -1) (hoặc cực đại (-1; 3)) để tìm a: Thay x = 1, y = -1 vào hàm số: -1 = a(1)³ - 3a(1) + 1 -1 = a - 3a + 1 -1 = -2a + 1 -2a = -2 a = 1. Với a = 1, ta có c = -3a = -3(1) = -3. Vậy các hệ số là a = 1, b = 0, c = -3, d = 1. Ta có: a > 0, b = 0, c < 0, d = 1. So sánh với các lựa chọn: - A. a 0, c 0, b = 0, c 0, b 0, d = 1 (Sai b, c) - D. a 0, d = 1 (Sai a, c) Mệnh đề B là đúng.

Giải thích: Xét hàm số f(x) = x³ - 3x². Phương trình đã cho tương đương với f(x) = -m.
Tính đạo hàm f'(x) = 3x² - 6x = 3x(x - 2).
Đặt f'(x) = 0 ta được x = 0 hoặc x = 2.
Giá trị cực đại của hàm số là f(0) = 0³ - 3(0)² = 0.
Giá trị cực tiểu của hàm số là f(2) = 2³ - 3(2)² = 8 - 12 = -4.
Để phương trình f(x) = -m có đúng 3 nghiệm thực phân biệt, đường thẳng y = -m phải cắt đồ thị hàm số y = f(x) tại 3 điểm phân biệt. Điều này xảy ra khi giá trị của -m nằm giữa giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số.
Tức là: -4 < -m < 0.
Nhân tất cả các vế với -1 và đổi chiều bất đẳng thức: 0 < m < 4.
Vậy, 0 < m < 4 là các giá trị cần tìm.

Giải thích: Đồ thị hàm số y = ^P(x)/_Q(x) có tiệm cận đứng là đường thẳng x = x₀ nếu x₀ là nghiệm của Q(x) và P(x₀) ≠ 0.
Trong trường hợp này, mẫu số là x - 1, có nghiệm x = 1.
Để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng, tử số (x² + ax + 1) phải có nghiệm x = 1, tức là (x - 1) là một nhân tử của tử số. Khi đó, nhân tử (x - 1) ở tử số và mẫu số sẽ triệt tiêu, và hàm số sẽ không có tiệm cận đứng tại x = 1 (mà có thể có một 'lỗ trống' trên đồ thị).
Thay x = 1 vào tử số: 1² + a(1) + 1 = 0.
1 + a + 1 = 0.
a + 2 = 0.
a = -2.
Khi a = -2, hàm số trở thành y = ^{(x2 - 2x + 1)}/_{(x - 1)} = ^{(x - 1)2}/_{(x - 1)} = x - 1 (với x ≠ 1). Đây là một đường thẳng có một 'lỗ trống' tại x = 1, không có tiệm cận đứng.

Giải thích: Để tìm điểm uốn, chúng ta cần tính đạo hàm cấp hai của hàm số.
Đạo hàm cấp một: y' = 3x² - 2mx + (m² - 1).
Đạo hàm cấp hai: y'' = 6x - 2m.
Điểm uốn của đồ thị hàm số xảy ra tại x = x₀ nếu y''(x₀) = 0 và y''(x) đổi dấu khi đi qua x₀.
Theo đề bài, đồ thị có điểm uốn tại x = 1, vậy ta có y''(1) = 0.
Thay x = 1 vào y'':
6(1) - 2m = 0
6 - 2m = 0
2m = 6
m = 3.
Kiểm tra điều kiện đổi dấu: Nếu m = 3, thì y'' = 6x - 6. Khi x < 1, y'' 1, y'' > 0 (đồ thị lồi lên). Vậy, y'' đổi dấu tại x = 1, thỏa mãn điều kiện điểm uốn.

Giải thích: Lợi nhuận P(x) được tính bằng Doanh thu trừ đi Chi phí: P(x) = R(x) - C(x).
P(x) = 50x - (x³ - 6x² + 15x + 50)
P(x) = -x³ + 6x² + 35x - 50.
Để tìm lợi nhuận tối đa, ta tìm đạo hàm của P(x) và cho bằng 0.
P'(x) = -3x² + 12x + 35.
Đặt P'(x) = 0: -3x² + 12x + 35 = 0.
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: x = ^{[-b ± √(b2 - 4ac)]}/_2a
x = ^{[-12 ± √(122 - 4(-3)(35))]}/_[2(-3)]
x = ^{[-12 ± √(144 + 420)]}/_-6
x = ^{[-12 ± √564]}/_-6
x ≈ ^{[-12 ± 23.75]}/_-6.
Ta có hai nghiệm x₁ ≈ ^{(-12 + 23.75)}/_-6 ≈ -1.96 (loại vì x > 0) và x₂ ≈ ^{(-12 - 23.75)}/_-6 ≈ 5.96.
Để xác định đây là điểm cực đại hay cực tiểu, ta tính đạo hàm cấp hai:
P''(x) = -6x + 12.
Tại x ≈ 5.96, P''(5.96) = -6(5.96) + 12 = -35.76 + 12 = -23.76 < 0, vậy đây là điểm cực đại.
Vì số lượng sản phẩm x phải là số nguyên, ta xét các giá trị nguyên gần 5.96 là x = 5 và x = 6.
P(5) = -(5)³ + 6(5)² + 35(5) - 50 = -125 + 150 + 175 - 50 = 150 (nghìn đồng).
P(6) = -(6)³ + 6(6)² + 35(6) - 50 = -216 + 216 + 210 - 50 = 160 (nghìn đồng).
So sánh P(5) và P(6), ta thấy P(6) lớn hơn. Vậy, số lượng sản phẩm x = 6 sẽ cho lợi nhuận tối đa.

Giải thích: Gọi r là bán kính đáy và h là chiều cao của lon nước hình trụ.
Thể tích của lon là V = πr²h = 1000 cm³.
Lượng vật liệu làm lon chính là diện tích bề mặt của lon không có nắp. Diện tích này bao gồm diện tích đáy và diện tích xung quanh.
Diện tích bề mặt A = πr² + 2πrh.
Từ công thức thể tích, ta có h = ¹⁰⁰⁰/_(πr²).
Thay h vào công thức diện tích bề mặt A:
A(r) = πr² + 2πr * ¹⁰⁰⁰/_(πr²)
A(r) = πr² + ²⁰⁰⁰/_r.
Để tìm r sao cho A(r) nhỏ nhất, ta tính đạo hàm của A(r) theo r và cho bằng 0.
A'(r) = 2πr - ²⁰⁰⁰/_r².
Đặt A'(r) = 0:
2πr - ²⁰⁰⁰/_r² = 0
2πr = ²⁰⁰⁰/_r²
2πr³ = 2000
πr³ = 1000
r³ = ¹⁰⁰⁰/_π
r = ³√(¹⁰⁰⁰/_π).
Tính giá trị xấp xỉ:
r ≈ ³√(¹⁰⁰⁰/_3.14159) ≈ ³√(318.309) ≈ 6.8278 cm.
Làm tròn đến hai chữ số thập phân, ta được r ≈ 6.83 cm.
Để kiểm tra đây là cực tiểu, ta tính đạo hàm cấp hai:
A''(r) = 2π + ⁴⁰⁰⁰/_r³. Vì r > 0, A''(r) luôn dương, vậy r = 6.83 cm là điểm cực tiểu, tức là lượng vật liệu sử dụng là ít nhất.

Giải thích: Để tìm số giao điểm, ta giải phương trình hoành độ giao điểm: x⁴ - 2x² + 3 = 2 x⁴ - 2x² + 1 = 0 Đặt t = x² (t ≥ 0), phương trình trở thành: t² - 2t + 1 = 0 (t - 1)² = 0 t - 1 = 0 t = 1 Với t = 1, ta có x² = 1, suy ra x = 1 hoặc x = -1. Vì có hai giá trị x phân biệt, nên đồ thị hàm số và đường thẳng y = 2 có 2 giao điểm.

Giải thích: Gọi điểm tiếp xúc là M(x₀; y₀). Ta có x₀ = 2. Tính y₀: y₀ = 2³ - 3(2) + 2 = 8 - 6 + 2 = 4. Vậy M(2; 4). Tính đạo hàm của hàm số: y' = 3x² - 3. Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k = y'(x₀) = y'(2) = 3(2)² - 3 = 3(4) - 3 = 12 - 3 = 9. Phương trình tiếp tuyến có dạng y - y₀ = k(x - x₀). Thay số vào: y - 4 = 9(x - 2) y - 4 = 9x - 18 y = 9x - 14. Vậy phương trình tiếp tuyến là y = 9x - 14.

Giải thích: Gọi x (mét) là chiều dài cạnh mảnh vườn song song với bức tường, và y (mét) là chiều dài hai cạnh còn lại vuông góc với bức tường. Diện tích mảnh vườn là S = x.y = 200 => x = 200/y. Tổng chiều dài hàng rào cần rào là P = x + 2y (vì một cạnh đã là tường). Thay x = 200/y vào biểu thức P, ta được hàm số cần tối thiểu hóa: P(y) = 200/y + 2y, với y > 0. Để tìm giá trị nhỏ nhất của P(y), ta tính đạo hàm P'(y): P'(y) = -200/y² + 2. Đặt P'(y) = 0: -200/y² + 2 = 0 2 = 200/y² y² = 100 y = 10 (vì y > 0). Khi y = 10, ta có x = 200/10 = 20. Kiểm tra giá trị cực tiểu: P''(y) = 400/y³. Với y = 10, P''(10) = 400/1000 > 0, nên đây là điểm cực tiểu. Tổng chiều dài hàng rào thấp nhất là P = 20 + 2(10) = 40 mét.

Giải thích: Gọi x (cm) là độ dài cạnh của hình vuông bị cắt ở mỗi góc. Khi cắt bốn hình vuông cạnh x và gấp các cạnh lên, hộp sẽ có: Chiều cao h = x. Chiều dài đáy l = 60 - 2x. Chiều rộng đáy w = 60 - 2x. Điều kiện để hộp tồn tại là x > 0 và 60 - 2x > 0, tức là 0 < x < 30. Thể tích của hộp là V(x) = l * w * h = (60 - 2x)(60 - 2x)x = (60 - 2x)²x. V(x) = (3600 - 240x + 4x²)x = 4x³ - 240x² + 3600x. Để tìm thể tích lớn nhất, ta tính đạo hàm V'(x): V'(x) = 12x² - 480x + 3600. Đặt V'(x) = 0: 12x² - 480x + 3600 = 0 Chia cả hai vế cho 12: x² - 40x + 300 = 0. Giải phương trình bậc hai này: Δ = (-40)² - 4(1)(300) = 1600 - 1200 = 400. x = (40 ± √400) / 2 = (40 ± 20) / 2. Ta có hai nghiệm: x₁ = (40 - 20) / 2 = 10. x₂ = (40 + 20) / 2 = 30. So sánh với điều kiện 0 < x < 30, ta thấy x = 10 là giá trị duy nhất thỏa mãn. Tại x = 10, thể tích là V(10) = (60 - 2*10)² * 10 = (40)² * 10 = 1600 * 10 = 16000 cm³. Khi x tiến về 0 hoặc 30, thể tích V(x) tiến về 0. Do đó, x = 10 cm là giá trị cho thể tích lớn nhất. Vậy kích thước cạnh của hình vuông bị cắt là 10 cm.

Giải thích: Doanh thu R(x) là số lượng sản phẩm nhân với giá bán mỗi đơn vị: R(x) = x * p(x) = x(50 - 0.01x) = 50x - 0.01x². Lợi nhuận P(x) là doanh thu trừ đi tổng chi phí: P(x) = R(x) - C(x) P(x) = (50x - 0.01x²) - (10x + 2000) P(x) = -0.01x² + 40x - 2000. Để tìm số lượng sản phẩm x mà lợi nhuận lớn nhất, ta tính đạo hàm của hàm lợi nhuận P'(x): P'(x) = -0.02x + 40. Đặt P'(x) = 0 để tìm điểm cực trị: -0.02x + 40 = 0 0.02x = 40 x = 40 / 0.02 = 4000 / 2 = 2000. Kiểm tra đạo hàm cấp hai: P''(x) = -0.02. Vì P''(x) < 0, nên x = 2000 là điểm cực đại, tức là lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất. Vậy, nhà sản xuất nên sản xuất 2000 đơn vị sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Giải thích: Để tìm số điểm uốn, ta cần tìm đạo hàm cấp hai của hàm số và xét dấu của nó.
Ta có: y' = 4x³ - 12x².
Đạo hàm cấp hai: y'' = 12x² - 24x.
Để tìm điểm uốn, ta giải phương trình y'' = 0:
12x² - 24x = 0
12x(x - 2) = 0
Suy ra x = 0 hoặc x = 2.
Bảng xét dấu của y'':
- Tại x = 0, y'' đổi dấu từ dương sang âm (khi x < 0, y'' > 0; khi 0 < x < 2, y'' < 0). Do đó, x = 0 là một hoành độ điểm uốn.
- Tại x = 2, y'' đổi dấu từ âm sang dương (khi 0 < x < 2, y'' 2, y'' > 0). Do đó, x = 2 là một hoành độ điểm uốn.
Vậy hàm số có 2 điểm uốn.

Giải thích: Gọi chiều rộng của khu đất (cạnh vuông góc với sông) là x (m) và chiều dài của khu đất (cạnh song song với sông) là y (m).
Tổng chiều dài hàng rào là 2x + y = 600 (m).
Từ đó, ta có y = 600 - 2x.
Diện tích khu đất là A = x * y = x(600 - 2x) = 600x - 2x².
Để tìm diện tích lớn nhất, ta tìm đạo hàm của A theo x:
A'(x) = 600 - 4x.
Đặt A'(x) = 0 để tìm điểm cực trị:
600 - 4x = 0 => 4x = 600 => x = 150 (m).
Với x = 150, ta có y = 600 - 2(150) = 600 - 300 = 300 (m).
Kiểm tra dấu của A'(x): A'(x) > 0 khi x < 150 và A'(x) 150. Vậy x = 150 là điểm mà tại đó diện tích đạt cực đại.
Diện tích lớn nhất là A = 150 * 300 = 45000 (m²).

Giải thích: Điểm cực trị của hàm số f(x) là những điểm mà tại đó f'(x) = 0 và f'(x) đổi dấu khi đi qua điểm đó.
Ta có f'(x) = (x - 1)³(x + 2)².
f'(x) = 0 khi (x - 1)³ = 0 hoặc (x + 2)² = 0.
Suy ra x = 1 hoặc x = -2.
Xét dấu của f'(x):
- Tại x = -2: (x + 2)² luôn không âm. Do đó, dấu của f'(x) không đổi khi x đi qua -2. Cụ thể, nếu x < -2, (x - 1)³ < 0 và (x + 2)² > 0, nên f'(x) < 0. Nếu -2 < x < 1, (x - 1)³ < 0 và (x + 2)² > 0, nên f'(x) < 0. Vậy x = -2 không phải là điểm cực trị.
- Tại x = 1: (x - 1)³ đổi dấu khi x đi qua 1. Cụ thể, nếu x < 1, (x - 1)³ 1, (x - 1)³ > 0. Vì (x + 2)² luôn dương (với x ≠ -2), nên dấu của f'(x) sẽ đổi từ âm sang dương khi x đi qua 1.
Vậy, x = 1 là một điểm cực trị (cụ thể là điểm cực tiểu) của hàm số f(x).
Hàm số f(x) có 1 điểm cực trị.

Giải thích: Gọi cạnh đáy của hộp là x (cm) và chiều cao của hộp là h (cm).
Diện tích bề mặt của hộp hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông được tính bằng công thức: S = 2 * (diện tích đáy) + (diện tích xung quanh) = 2x² + 4xh.
Theo đề bài, tổng diện tích bề mặt là 150 cm², nên:
2x² + 4xh = 150
Từ đó, ta biểu diễn h theo x: 4xh = 150 - 2x² => h = (150 - 2x²) / (4x) = (75 - x²) / (2x).
Thể tích của hộp là V = (diện tích đáy) * (chiều cao) = x² * h.
Thay h vào công thức thể tích:
V(x) = x² * (75 - x²) / (2x) = (75x - x³) / 2.
Để V(x) có nghĩa, ta cần x > 0 và 75 - x² > 0 (vì h phải dương), suy ra x² < 75, tức là 0 < x < √75.
Để tìm thể tích lớn nhất, ta tìm đạo hàm của V(x) theo x:
V'(x) = (75 - 3x²) / 2.
Đặt V'(x) = 0 để tìm điểm cực trị:
(75 - 3x²) / 2 = 0 => 75 - 3x² = 0 => 3x² = 75 => x² = 25 => x = 5 (vì x > 0).
Kiểm tra dấu của V'(x): Khi x 0 (V tăng). Khi x > 5, V'(x) < 0 (V giảm). Vậy x = 5 là điểm mà tại đó thể tích đạt cực đại.
Với x = 5 cm, chiều cao h = (75 - 5²) / (2 * 5) = (75 - 25) / 10 = 50 / 10 = 5 (cm).
Thể tích lớn nhất của hộp là V = 5² * 5 = 125 (cm³).

Giải thích: 1. **Tiệm cận đứng (TCĐ):**
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng khi mẫu số bằng 0 và tử số khác 0, hoặc giới hạn tại điểm đó là vô cùng.
Mẫu số là x - 1. Cho x - 1 = 0 => x = 1.
Xét giới hạn của hàm số khi x → 1:
lim_x→1 y = lim_x→1 (√(x² + 1) - x) / (x - 1)
Khi x → 1, tử số tiến tới √(1² + 1) - 1 = √2 - 1 ≠ 0.
Mẫu số tiến tới 0. Vì tử số khác 0 và mẫu số tiến tới 0, giới hạn này sẽ là vô cùng.
Cụ thể, lim_x→1⁺ y = (√2 - 1) / 0⁺ = +∞.
Và lim_x→1^- y = (√2 - 1) / 0^- = -∞.
Vậy, đường thẳng x = 1 là một tiệm cận đứng.

2. **Tiệm cận ngang (TCN):**
Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khi giới hạn của hàm số khi x → ±∞ là một hằng số.
- Xét lim_x→+∞ y = lim_x→+∞ (√(x² + 1) - x) / (x - 1)
= lim_x→+∞ (x√(1 + 1/x²) - x) / (x - 1)
= lim_x→+∞ x(√(1 + 1/x²) - 1) / (x - 1)
Chia cả tử và mẫu cho x:
= lim_x→+∞ (√(1 + 1/x²) - 1) / (1 - 1/x)
Đây là dạng 0/1. Để giải quyết, ta nhân liên hợp cho phần tử số (√(1 + 1/x²) - 1):
= lim_x→+∞ x * [(1 + 1/x²) - 1] / [(x - 1)(√(1 + 1/x²) + 1)]
= lim_x→+∞ x * (1/x²) / [(x - 1)(√(1 + 1/x²) + 1)]
= lim_x→+∞ (1/x) / [(x - 1)(√(1 + 1/x²) + 1)]
Khi x → +∞, tử số → 0 và mẫu số → +∞ * (1 + 1) = +∞.
Vậy, lim_x→+∞ y = 0. Đường thẳng y = 0 là một tiệm cận ngang.

- Xét lim_x→-∞ y = lim_x→-∞ (√(x² + 1) - x) / (x - 1)
Khi x → -∞, ta có √(x²) = |x| = -x.
= lim_x→-∞ (-x√(1 + 1/x²) - x) / (x - 1)
= lim_x→-∞ x(-√(1 + 1/x²) - 1) / (x - 1)
Chia cả tử và mẫu cho x:
= lim_x→-∞ (-√(1 + 1/x²) - 1) / (1 - 1/x)
Khi x → -∞, 1/x² → 0 và 1/x → 0.
= (-√(1 + 0) - 1) / (1 - 0) = (-1 - 1) / 1 = -2.
Vậy, đường thẳng y = -2 là một tiệm cận ngang.

Tổng số đường tiệm cận là: 1 (tiệm cận đứng x=1) + 2 (tiệm cận ngang y=0 và y=-2) = 3 đường tiệm cận.