40 câu Toán Học Lớp 11 – Chương VII. Quan hệ vuông góc trong không gian

Giải thích: Để tìm góc giữa hai đường thẳng AB' và BC', ta có thể sử dụng phương pháp tọa độ hoặc phương pháp hình học. **Cách 1: Phương pháp tọa độ** Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc A(0,0,0). Các đỉnh của hình lập phương có tọa độ: A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0) A'(0,0,a), B'(a,0,a), C'(a,a,a), D'(0,a,a) Tính vectơ AB' và BC': vectơ AB' = B' - A = (a, 0, a) vectơ BC' = C' - B = (a-a, a-0, a-0) = (0, a, a) Tính tích vô hướng của hai vectơ: AB' ⋅ BC' = (a)(0) + (0)(a) + (a)(a) = 0 + 0 + a² = a² Tính độ dài của hai vectơ: | AB' | = √(a² + 0² + a²) = √(2a²) = a√2 | BC' | = √(0² + a² + a²) = √(2a²) = a√2 Sử dụng công thức tính cosin của góc giữa hai vectơ: cos(AB', BC') = (AB' ⋅ BC') / (| AB' | ⋅ | BC' |) cos(AB', BC') = a² / (a√2 ⋅ a√2) = a² / (2a²) = 1/2 Vì cos(AB', BC') = 1/2, suy ra góc giữa AB' và BC' là 60°. **Cách 2: Phương pháp hình học** Ta có AB' // DC' (vì AB'C'D là hình bình hành). Do đó, góc giữa AB' và BC' chính là góc giữa DC' và BC'. Xét tam giác BDC'. Các cạnh của tam giác này là các đường chéo của các mặt hình vuông của hình lập phương: BD = a√2 (đường chéo mặt đáy) DC' = a√2 (đường chéo mặt bên CDD'C') BC' = a√2 (đường chéo mặt bên BCC'B') Vì ba cạnh của tam giác BDC' đều bằng nhau và bằng a√2, nên tam giác BDC' là tam giác đều. Do đó, các góc của tam giác đều bằng 60°. Vậy góc giữa DC' và BC' là góc C'BD = 60°. (Lưu ý: DC' và BC' đều là đường chéo của các mặt hình vuông, nên chúng bằng nhau. BD cũng là đường chéo của mặt đáy, nên BD = a√2. Vậy tam giác BDC' là tam giác đều. Góc giữa DC' và BC' là góc DC'B = 60°.)

Giải thích: Trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', ta có các tính chất sau: 1. Vectơ AB nằm trên cạnh AB của mặt đáy ABCD. 2. Vectơ A'D' nằm trên cạnh A'D' của mặt trên A'B'C'D'. Vì ABCD là hình vuông, nên AB ⊥ AD. Vì A'D' song song với AD (do là các cạnh đối của hình chữ nhật ADD'A'), nên đường thẳng A'D' song song với đường thẳng AD. Vì đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng AD, và đường thẳng A'D' song song với đường thẳng AD, suy ra đường thẳng AB cũng vuông góc với đường thẳng A'D'. Khi hai đường thẳng vuông góc với nhau, thì góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng là 90°. Tích vô hướng của hai vectơ vuông góc bằng 0. Vậy, tích vô hướng của hai vectơ AB và A'D' là 0.

Giải thích: Để tìm góc giữa hai đường thẳng SC và AD, ta cần xác định mối quan hệ vuông góc của AD với các đường thẳng khác trong không gian. 1. **AD vuông góc với SA:** Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) theo giả thiết, nên SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABCD). Do đó, SA ⊥ AD. 2. **AD vuông góc với AC:** Vì ABCD là hình vuông, nên các cạnh kề vuông góc với nhau. Do đó, AD ⊥ AC. 3. **Kết luận về AD vuông góc với mặt phẳng (SAC):** * Ta có AD vuông góc với SA. * Ta có AD vuông góc với AC. * Hai đường thẳng SA và AC cắt nhau tại A và cùng nằm trong mặt phẳng (SAC). * Theo định lý, nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó. * Vậy, AD ⊥ (SAC). 4. **Kết luận về góc giữa SC và AD:** * Vì AD vuông góc với mặt phẳng (SAC), và đường thẳng SC nằm trong mặt phẳng (SAC). * Theo định nghĩa, nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. * Do đó, AD ⊥ SC. Vậy, góc giữa hai đường thẳng SC và AD là 90°.

Giải thích: Chúng ta hãy phân tích từng mệnh đề: * **A. Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.** Đây chính là định lý (hay dấu hiệu nhận biết) quan trọng để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng. Mệnh đề này là **ĐÚNG**. * **B. Nếu một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.** Mệnh đề này là **SAI**. Một đường thẳng có thể vuông góc với một đường thẳng trong mặt phẳng mà không vuông góc với mặt phẳng đó (ví dụ, đường thẳng nằm trong mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng kia). * **C. Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.** Mệnh đề này là **SAI**. Hai đường thẳng song song chỉ cung cấp một hướng. Để vuông góc với mặt phẳng, đường thẳng cần vuông góc với hai đường thẳng *cắt nhau*. * **D. Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó chỉ vuông góc với các đường thẳng đi qua giao điểm của nó với mặt phẳng.** Mệnh đề này là **SAI**. Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, thì nó vuông góc với *mọi* đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó, chứ không chỉ những đường thẳng đi qua giao điểm của nó với mặt phẳng.

Giải thích: Để tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC), ta thực hiện các bước sau: 1. **Xác định hình chiếu của SC lên mặt phẳng (ABC):** * Theo giả thiết, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Điều này có nghĩa là A là hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC). * Điểm C đã nằm trong mặt phẳng (ABC). * Vậy, hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC lên mặt phẳng (ABC) chính là đường thẳng AC. * Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) chính là góc giữa SC và hình chiếu của nó là AC, tức là góc SCA. 2. **Tính độ dài cạnh AC:** * Đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AB = BC = a. * Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC: AC² = AB² + BC² = a² + a² = 2a² AC = √(2a²) = a√2. 3. **Tính góc SCA:** * Xét tam giác SAC. Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), nên SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (ABC), đặc biệt là SA ⊥ AC. * Vậy, tam giác SAC là tam giác vuông tại A. * Ta có độ dài SA = a√2 (theo giả thiết) và AC = a√2 (tính ở trên). * Trong tam giác vuông SAC, ta có: tan(SCA) = Đối / Kề = SA / AC = (a√2) / (a√2) = 1. * Vì tan(SCA) = 1, suy ra góc SCA = 45°. Vậy, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là 45 độ.

Giải thích: Vì ABC.A'B'C' là hình lăng trụ tam giác đều nên:
1. Tam giác ABC là tam giác đều, có M là trung điểm của BC. Do đó, AM ⊥ BC.
2. Cạnh bên AA' vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Do đó, AA' ⊥ BC.
Từ AM ⊥ BC và AA' ⊥ BC, mà AM và AA' cắt nhau tại A và cùng nằm trong mặt phẳng (AA'M), suy ra BC ⊥ mặt phẳng (AA'M).
Vì A'M là một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (AA'M), nên BC ⊥ A'M.
Vậy góc giữa hai đường thẳng A'M và BC là 90°.

Giải thích: Ta có các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng AB và CD là:
Vectơ AB = B - A = (0 - 1; 1 - 0; 0 - 0) = (-1; 1; 0).
Vectơ CD = D - C = (1 - 0; 1 - 0; 1 - 1) = (1; 1; 0).
Tích vô hướng của hai vectơ AB và CD là:
AB ⋅ CD = (-1)(1) + (1)(1) + (0)(0) = -1 + 1 + 0 = 0.
Cosin của góc φ giữa hai đường thẳng AB và CD được tính bằng công thức:
cos φ = |AB ⋅ CD| / (|AB| ⋅ |CD|)
Vì AB ⋅ CD = 0, nên cos φ = 0.
Điều này có nghĩa là góc giữa hai đường thẳng AB và CD là 90°.

Giải thích: Ta kiểm tra từng mệnh đề:
A. Trong hình vuông ABCD, hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại tâm O. Tức là BD ⊥ AC.
Mặt khác, SA ⊥ mặt phẳng (ABCD) (theo giả thiết), mà BD nằm trong (ABCD), suy ra SA ⊥ BD.
Vì BD ⊥ AC và BD ⊥ SA, mà AC và SA cắt nhau tại A và cùng nằm trong mặt phẳng (SAC), suy ra BD ⊥ mặt phẳng (SAC). Mệnh đề A đúng.
B. AC ⊥ (SBD). Ta có AC ⊥ BD. Tuy nhiên, AC không vuông góc với SB (trừ trường hợp đặc biệt). Do đó, mệnh đề B sai.
C. SC ⊥ (ABCD). Chỉ có SA ⊥ (ABCD). SC không vuông góc với mặt phẳng đáy (trừ khi S trùng A). Do đó, mệnh đề C sai.
D. AB ⊥ (SAD). Ta có AB ⊥ AD (do ABCD là hình vuông). Tuy nhiên, AB không vuông góc với SD (trừ trường hợp đặc biệt). Do đó, mệnh đề D sai.

Giải thích: Vì tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, H là trực tâm của tam giác ABC. Trong tam giác đều, trực tâm cũng là trọng tâm.
Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó AM là đường cao của tam giác đều ABC. Độ dài AM = a√3/2.
H là trọng tâm của tam giác ABC, nên AH = (2/3)AM = (2/3)(a√3/2) = a√3/3.
Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và H nằm trong mặt phẳng (ABC), suy ra SA ⊥ AH.
Tam giác SAH là tam giác vuông tại A.
Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông SAH:
SH² = SA² + AH²
SH² = (2a)² + (a√3/3)²
SH² = 4a² + 3a²/9
SH² = 4a² + a²/3
SH² = (12a² + a²)/3 = 13a²/3
SH = √(13a²/3) = a√(13/3) = a√39/3.

Giải thích: Chúng ta hãy phân tích từng mệnh đề:
A. Nếu d ⊥ (P) thì d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P). Đây là định nghĩa và tính chất cơ bản của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Mệnh đề này đúng.
B. Nếu d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P) thì d ⊥ (P). Đây là điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng. Mệnh đề này đúng.
C. Nếu d ⊥ (P) thì mọi mặt phẳng chứa d đều vuông góc với (P). Đây là một tính chất quan trọng về quan hệ vuông góc giữa hai mặt phẳng (nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau). Mệnh đề này đúng.
D. Nếu d vuông góc với một đường thẳng nằm trong (P) thì d ⊥ (P). Mệnh đề này sai. Một đường thẳng có thể vuông góc với một đường thẳng khác trong mặt phẳng mà không vuông góc với cả mặt phẳng đó. Ví dụ, trong một hình chữ nhật, cạnh AB vuông góc với cạnh BC nhưng AB không vuông góc với mặt phẳng chứa hình chữ nhật đó.

Giải thích: Hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC lên mặt phẳng (ABC) là đường thẳng AC (vì S chiếu xuống A, C chiếu xuống C).
Do đó, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là góc giữa SC và AC, tức là góc SCA.
Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), nên tam giác SAC là tam giác vuông tại A.
Ta có: AC = a (cạnh tam giác đều).
SA = a√3 (theo đề bài).
Trong tam giác vuông SAC, áp dụng định lý Pitago, ta có:
SC² = SA² + AC² = (a√3)² + a² = 3a² + a² = 4a².
Suy ra SC = √(4a²) = 2a.
Cosin của góc SCA là: cos(SCA) = ^AC/_SC = ^a/_2a = ¹/₂.

Giải thích: Trong tam giác vuông ABC tại B:
AC² = AB² + BC² = (3a)² + (4a)² = 9a² + 16a² = 25a².
Suy ra AC = √(25a²) = 5a.
M là trung điểm của AC, nên AM = ^AC/₂ = ^5a/₂.
Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), nên SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABC). Do đó, SA ⊥ AM.
Xét tam giác vuông SAM (vuông tại A):
SM² = SA² + AM² = (5a)² + (^5a/₂)² = 25a² + ^25a2/₄ = ^{100a2 + 25a2}/₄ = ^125a2/₄.
Suy ra SM = √(^125a2/₄) = ^5a√5/₂.

Giải thích: Xét các mệnh đề:
A. Nếu d song song với (P) thì hình chiếu d' của d lên (P) cũng song song với d. Mệnh đề này đúng.
B. Nếu d cắt (P) tại điểm M thì điểm M là hình chiếu của chính nó lên (P), do đó M thuộc d'. Mệnh đề này đúng.
C. Mệnh đề 'd và d' luôn cắt nhau' là sai. Nếu d song song với (P) (và d không nằm trong (P)), thì d' sẽ song song với d, do đó d và d' không cắt nhau. Chúng chỉ cắt nhau khi d không song song với (P).
D. Theo định nghĩa, góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) chính là góc giữa đường thẳng d và hình chiếu vuông góc d' của nó trên (P). Mệnh đề này đúng.

Giải thích: Diện tích của hình chữ nhật ABCD là S_ABCD = AB × AD = 4 cm × 3 cm = 12 cm².
Diện tích hình chiếu vuông góc của một đa giác lên một mặt phẳng được tính bằng công thức S' = S × cosα, trong đó S là diện tích của đa giác, S' là diện tích hình chiếu và α là góc giữa mặt phẳng chứa đa giác và mặt phẳng chiếu.
Trong trường hợp này, S = 12 cm² và α = 60°.
Diện tích hình chiếu A'B'C'D' là S' = 12 × cos(60°) = 12 × ¹/₂ = 6 cm².

Giải thích: Để tìm hình chiếu vuông góc của đường thẳng A'H lên mặt phẳng (ABC), ta cần tìm hình chiếu vuông góc của hai điểm A' và H lên mặt phẳng (ABC).
1. Vì ABC.A'B'C' là hình lăng trụ đứng, nên các cạnh bên AA', BB', CC' vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Do đó, hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng (ABC) là điểm A.
2. Điểm H nằm trên cạnh BC của tam giác đáy ABC, tức là H đã nằm trong mặt phẳng (ABC). Vì vậy, hình chiếu vuông góc của điểm H lên mặt phẳng (ABC) chính là điểm H.
Vậy, hình chiếu vuông góc của đường thẳng A'H lên mặt phẳng (ABC) là đường thẳng đi qua hai điểm A và H, tức là đường thẳng AH.

Giải thích: Để xác định hình chiếu vuông góc d' của đường thẳng d lên mặt phẳng (P), ta có thể lấy hai điểm bất kỳ A, B trên d. Gọi A', B' lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên (P). Khi đó, d' chính là đường thẳng A'B'.
Vì AA' ⊥ (P) và BB' ⊥ (P), suy ra AA' // BB'. Do đó, bốn điểm A, B, A', B' cùng nằm trong một mặt phẳng. Mặt phẳng này chứa cả đường thẳng d (đi qua A, B) và đường thẳng d' (đi qua A', B'). Vì vậy, d và d' luôn cùng nằm trong một mặt phẳng.

Giải thích: Vì SA ⊥ (ABC), nên A là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC).
Gọi M là trung điểm của BC. Vì tam giác ABC đều nên AM ⊥ BC.
Vì SA ⊥ (ABC) và BC ⊂ (ABC), suy ra SA ⊥ BC.
Ta có BC ⊥ AM và BC ⊥ SA. Vì AM và SA là hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong mặt phẳng (SAM), suy ra BC ⊥ (SAM).
Mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABC) có giao tuyến là BC.
Ta có AM ⊥ BC (vì AM ⊂ (ABC)) và SM ⊥ BC (vì SM ⊂ (SAM) mà BC ⊥ (SAM)).
Do đó, góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) chính là góc giữa hai đường thẳng AM và SM, tức là góc ∠SMA.
Xét tam giác vuông SAM tại A:
AM là đường cao của tam giác đều cạnh a, nên AM = ^a√3/₂.
SA = ^3a/₂ (theo đề bài).
Ta có tan(∠SMA) = ^SA/_AM = ^(3a/2)/_(a√3/2) = ³/_√3 = √3.
Vậy ∠SMA = 60°.

Giải thích: Mệnh đề A là đúng theo định nghĩa và tính chất của hai mặt phẳng vuông góc.
Mệnh đề B là đúng. Nếu một đường thẳng b vuông góc với (P) và (P) ⊥ (Q), thì đường thẳng b phải song song với (Q) (hoặc nằm trong (Q) nếu (P) và (Q) trùng nhau, nhưng ở đây là vuông góc).
Mệnh đề D là đúng theo định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng vuông góc.
Mệnh đề C là sai. Một đường thẳng c vuông góc với giao tuyến Δ của hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) không nhất thiết phải song song hoặc nằm trong (P) hoặc (Q). Ví dụ, trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho (P) là mặt phẳng Oyz (phương trình x=0) và (Q) là mặt phẳng Oxy (phương trình z=0). Giao tuyến Δ là trục Oy. Đường thẳng c có phương trình x=1, z=1 vuông góc với trục Oy nhưng không song song với (P) hay (Q), cũng không nằm trong chúng.

Giải thích: Để tìm hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng AM lên mặt phẳng (ABCD), ta cần tìm hình chiếu của từng điểm A và M lên mặt phẳng này.
1. Hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (ABCD) là chính nó, A (vì A nằm trong (ABCD)).
2. Để tìm hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (ABCD):
    Vì SA ⊥ (ABCD), ta kẻ đường thẳng qua M song song với SA và cắt mặt phẳng (ABCD) tại M'. Khi đó M' là hình chiếu vuông góc của M lên (ABCD).
    Trong tam giác SAC, M là trung điểm của SC. Vì MM' // SA và M' nằm trên AC (do M' thuộc (ABCD)), nên theo định lý Ta-lét đảo, M' là trung điểm của AC.
Vậy, hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng AM lên mặt phẳng (ABCD) là đoạn thẳng AM'.
Đáy ABCD là hình vuông cạnh a, nên đường chéo AC = a√2.
Vì M' là trung điểm của AC, độ dài đoạn thẳng AM' = ^AC/₂ = ^a√2/₂.

Giải thích: Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, ta cần tìm một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia.
Xét mặt phẳng (AA'M) và mặt phẳng (BCC'B').
1. Vì tam giác ABC là tam giác đều và M là trung điểm của cạnh BC, nên AM là đường cao đồng thời là đường trung tuyến. Do đó, AM ⊥ BC.
2. Vì ABC.A'B'C' là hình lăng trụ đứng, nên các cạnh bên AA', BB', CC' đều vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC). Vì BC nằm trong mặt phẳng (ABC), suy ra AA' ⊥ BC.
Từ (1) và (2), ta có BC vuông góc với hai đường thẳng AM và AA' cắt nhau tại A và cùng nằm trong mặt phẳng (AA'M). Do đó, BC ⊥ (AA'M).
Mặt khác, đường thẳng BC nằm trong mặt phẳng (BCC'B').
Vì mặt phẳng (BCC'B') chứa đường thẳng BC vuông góc với mặt phẳng (AA'M), nên mặt phẳng (BCC'B') vuông góc với mặt phẳng (AA'M).
Vậy, mệnh đề B là đúng.

Giải thích: Ta có:

• SA ⊥ (ABCD) (theo giả thiết).
• CD ⊥ AD (vì ABCD là hình thang vuông tại A và D).
• Vì SA ⊥ (ABCD) và CD nằm trong (ABCD), suy ra SA ⊥ CD.
• Ta có CD ⊥ AD và CD ⊥ SA. Vì AD và SA cắt nhau tại A và cùng nằm trong mặt phẳng (SAD), suy ra CD ⊥ (SAD).
• Mặt khác, CD nằm trong mặt phẳng (SCD).

Vì mặt phẳng (SCD) chứa đường thẳng CD vuông góc với mặt phẳng (SAD), nên mặt phẳng (SCD) vuông góc với mặt phẳng (SAD).

Giải thích: Gọi M là trung điểm của BC. Vì tam giác ABC đều cạnh a nên AM ⊥ BC và AM = a√3/2.
Vì SA ⊥ (ABC) và BC ⊂ (ABC) nên SA ⊥ BC.
Ta có BC ⊥ AM và BC ⊥ SA. Vì AM và SA cắt nhau tại A và cùng nằm trong mặt phẳng (SAM), suy ra BC ⊥ (SAM).
Trong mặt phẳng (SAM), kẻ AH ⊥ SM tại H. Vì BC ⊥ (SAM) và AH ⊂ (SAM), suy ra BC ⊥ AH.
Ta có AH ⊥ SM và AH ⊥ BC. Vì SM và BC cắt nhau tại M và cùng nằm trong mặt phẳng (SBC), suy ra AH ⊥ (SBC).
Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) chính là độ dài đoạn AH.
Xét tam giác SAM vuông tại A, ta có:
1/AH² = 1/SA² + 1/AM²
1/AH² = 1/(a√3)² + 1/(a√3/2)²
1/AH² = 1/(3a²) + 1/(3a²/4)
1/AH² = 1/(3a²) + 4/(3a²)
1/AH² = 5/(3a²)
AH² = 3a²/5
AH = a√(3/5) = a√15/5.

Giải thích: Ta có:

• ABCD là hình thoi nên hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại O. Suy ra BD ⊥ AC.
• SA ⊥ (ABCD) (theo giả thiết), và BD nằm trong (ABCD), suy ra SA ⊥ BD.
• Ta có BD ⊥ AC và BD ⊥ SA. Vì AC và SA cắt nhau tại A và cùng nằm trong mặt phẳng (SAC), suy ra BD ⊥ (SAC).
• Mặt khác, đường thẳng BD nằm trong mặt phẳng (IBD).

Vì mặt phẳng (IBD) chứa đường thẳng BD vuông góc với mặt phẳng (SAC), nên mặt phẳng (IBD) vuông góc với mặt phẳng (SAC).

Giải thích: Ta có BB' song song với AA' và AA' nằm trong mặt phẳng (ACC'A').
Do đó, BB' song song với mặt phẳng (ACC'A').
Đường thẳng AC' nằm trong mặt phẳng (ACC'A').
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BB' và AC' chính là khoảng cách từ đường thẳng BB' đến mặt phẳng (ACC'A').
Khoảng cách này bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên BB' (chẳng hạn điểm B) đến mặt phẳng (ACC'A').
Trong mặt phẳng đáy ABCD, ta có AC ⊥ BD (hai đường chéo hình vuông).
Gọi H là hình chiếu của B lên AC. Khi đó BH ⊥ AC.
Vì BB' ⊥ (ABCD) nên BB' ⊥ BH.
Vậy BH ⊥ AC và BH ⊥ BB'. Điều này có nghĩa là BH ⊥ (ACC'A').
Do đó, khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC'A') chính là độ dài đoạn BH.
Trong hình vuông ABCD cạnh a, đường chéo AC = a√2. Tam giác ABC vuông cân tại B.
BH là đường cao ứng với cạnh huyền AC.
BH = (AB × BC) / AC = (a × a) / (a√2) = a/√2 = a√2/2.

Giải thích: Để tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BC, ta cần tìm một đường thẳng đi qua S và vuông góc với BC.
Gọi M là trung điểm của BC.
Vì tam giác ABC là tam giác đều cạnh a, nên AM ⊥ BC.
Độ dài đoạn AM = a√3/2.
Vì SA ⊥ (ABC) (theo giả thiết) và BC ⊂ (ABC), suy ra SA ⊥ BC.
Ta có BC ⊥ AM (chứng minh trên) và BC ⊥ SA (chứng minh trên).
Vì AM và SA cắt nhau tại A và cùng nằm trong mặt phẳng (SAM), suy ra BC ⊥ (SAM).
Vì BC ⊥ (SAM) và SM ⊂ (SAM), suy ra BC ⊥ SM.
Vậy khoảng cách từ S đến đường thẳng BC chính là độ dài đoạn SM.
Xét tam giác SAM vuông tại A (vì SA ⊥ AM), ta có:
SM² = SA² + AM²
SM² = a² + (a√3/2)²
SM² = a² + 3a²/4
SM² = 7a²/4
SM = √(7a²/4) = a√7/2.

Giải thích: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó. Ở đây, mặt phẳng (SAB) và (SAD) cắt nhau theo giao tuyến SA. Cả hai mặt phẳng này cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Do đó, giao tuyến SA phải vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

Giải thích: Gọi h là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BD). Xét khối tứ diện A.A'BD. Thể tích V_A.A'BD = ¹/₃ * AA' * S_ABD. Vì ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác ABD là tam giác vuông cân tại A. Diện tích S_ABD = ¹/₂ * AB * AD = ¹/₂ * a * a = a²/2. Chiều cao AA' = a. Vậy V_A.A'BD = ¹/₃ * a * (a²/2) = a³/6. Mặt khác, ta có thể coi mặt phẳng (A'BD) là mặt đáy của khối chóp A.A'BD. Các cạnh của tam giác A'BD là A'B, A'D, BD. A'B là đường chéo mặt bên AA'B'B, A'B = √(AA'² + AB²) = √(a² + a²) = a√2. Tương tự, A'D = a√2. BD là đường chéo mặt đáy ABCD, BD = √(AB² + AD²) = √(a² + a²) = a√2. Vậy tam giác A'BD là tam giác đều cạnh a√2. Diện tích S_A'BD = ((a√2)² * √3) / 4 = (2a²√3) / 4 = a²√3/2. Thể tích V_A.A'BD = ¹/₃ * h * S_A'BD. Thay các giá trị đã tính: a³/6 = ¹/₃ * h * (a²√3/2). a³/6 = h * a²√3/6. Suy ra h = a/√3 = a√3/3.

Giải thích: Gọi O là tâm của hình vuông ABCD (giao điểm của AC và BD). Khi đó AO = AC/2 = (a√2)/2. Ta có SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ BD. Mà AC ⊥ BD (tính chất hình vuông). Vì BD vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau SA và AC nằm trong mặt phẳng (SAC), suy ra BD ⊥ (SAC). Trong mặt phẳng (SAC), kẻ AH ⊥ SO (H ∈ SO). Do BD ⊥ (SAC), suy ra BD ⊥ AH. Vì AH ⊥ SO và AH ⊥ BD, nên AH ⊥ (SBD). Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) chính là độ dài đoạn AH. Xét tam giác SAO vuông tại A. AH là đường cao ứng với cạnh huyền SO. Ta có công thức tính đường cao trong tam giác vuông: 1/AH² = 1/SA² + 1/AO². Thay số: 1/AH² = 1/a² + 1/((a√2)/2)² = 1/a² + 1/(2a²/4) = 1/a² + 1/(a²/2) = 1/a² + 2/a² = 3/a². Suy ra AH² = a²/3. Do đó AH = a/√3 = a√3/3.

Giải thích: Ta có mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) theo giao tuyến AB. Gọi H là trung điểm của AB. Do tam giác SAB đều, SH ⊥ AB. Vì (SAB) ⊥ (ABCD) và SH nằm trong (SAB) và vuông góc với giao tuyến AB, suy ra SH ⊥ (ABCD). Để tìm góc giữa mặt phẳng (SCD) và (ABCD), ta cần xác định giao tuyến của hai mặt phẳng này là CD. Trong mặt phẳng (ABCD), kẻ HK ⊥ CD (K ∈ CD). Vì H là trung điểm AB và ABCD là hình chữ nhật, nên HK = AD = a. Do SH ⊥ (ABCD), suy ra SH ⊥ CD. Mà HK ⊥ CD. Vậy CD vuông góc với mặt phẳng (SHK) (vì CD vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau SH và HK). Từ đó, CD ⊥ SK (do SK nằm trong (SHK)). Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa hai đường thẳng SK và HK, tức là góc ∠SKH. Tam giác SAB đều cạnh AB = 2a. Chiều cao SH = (cạnh * √3)/2 = (2a√3)/2 = a√3. Trong tam giác SHK vuông tại H (vì SH ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ HK): tan(∠SKH) = SH / HK = (a√3) / a = √3. Vậy ∠SKH = 60°.

Giải thích: Để tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng B'C', ta tìm hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng B'C'. Vì lăng trụ là lăng trụ đứng, các cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Do đó, BB' ⊥ (ABC) và BB' ⊥ BC. Đáy ABC là tam giác vuông tại B, nên AB ⊥ BC. Do B'C' // BC (tính chất lăng trụ), suy ra AB ⊥ B'C'. Lại có BB' ⊥ B'C' (vì BB' ⊥ (A'B'C') và B'C' nằm trong (A'B'C')). Vì B'C' vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau AB và BB' nằm trong mặt phẳng (ABB'A'), suy ra B'C' ⊥ (ABB'A'). Do đó, B'C' ⊥ AB' (vì AB' nằm trong mặt phẳng (ABB'A')). Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng B'C' chính là độ dài đoạn thẳng AB'. Xét tam giác ABB' vuông tại B (vì AA'B'B là hình chữ nhật). Ta có AB = a (theo đề bài) và BB' = AA' = 2a (tính chất lăng trụ đứng). Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABB': AB' = √(AB² + BB'²) = √(a² + (2a)²) = √(a² + 4a²) = √(5a²) = a√5.

Giải thích: Diện tích đáy ABC là S_ABC = ¹/₂ × AB × BC = ¹/₂ × (2a) × (2a) = 2a².
Chiều cao của khối chóp là h = SA = 3a.
Thể tích khối chóp S.ABC là V = ¹/₃ × S_ABC × h = ¹/₃ × 2a² × 3a = 2a³.

Giải thích: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (ABCD).
Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), nên SA là đường cao của chóp.
M là trung điểm của SC. Kẻ MH song song với SA (với H thuộc AC).
Khi đó, MH là đường trung bình của tam giác SAC.
Do đó, MH = ¹/₂ SA = ¹/₂ × 2a = a.
Vậy khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ABCD) là a.

Giải thích: Diện tích đáy ABC là tam giác đều cạnh a, nên S_ABC = ^a2√3/₄.
Chiều cao của khối lăng trụ đứng là h = AA' = 2a.
Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là V = S_ABC × h = ^a2√3/₄ × 2a = ^a3√3/₂.

Giải thích: Đặt hệ trục tọa độ Oxyz với A trùng với gốc tọa độ (0,0,0).
Khi đó, A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,a,0), A'(0,0,a), D'(0,a,a).
Đường thẳng AD' đi qua A(0,0,0) và có vectơ chỉ phương u = AD' = (0,a,a).
Đường thẳng A'B đi qua A'(0,0,a) và có vectơ chỉ phương v = A'B = (a,0,-a).
Vectơ AA' = (0,0,a).
Tích có hướng của u và v là n = [u,v] = (a(-a) - a(0), a(a) - 0(-a), 0(0) - a(a)) = (-a², a², -a²).
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AD' và A'B được tính bằng công thức:
d = |n ⋅ AA'| / |n|
n ⋅ AA' = (-a²)(0) + (a²)(0) + (-a²)(a) = -a³.
|n| = √((-a²)² + (a²)² + (-a²)²) = √(a⁴ + a⁴ + a⁴) = √(3a⁴) = a²√3.
Vậy d = |-a³| / (a²√3) = a³ / (a²√3) = a/√3 = ^a√3/₃.

Giải thích: 1. Tính diện tích đáy ABCD:
Đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD = 60°. Ta có thể chia hình thoi thành hai tam giác đều ABC và ADC.
S_ABCD = 2 × S_ABC = 2 × ^a2√3/₄ = ^a2√3/₂.

2. Xác định chiều cao SA:
SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) được xác định như sau:
- Giao tuyến của hai mặt phẳng là CD.
- Từ A, kẻ AH vuông góc với CD tại H. (H nằm trên đoạn CD hoặc đường thẳng CD).
- Vì SA ⊥ (ABCD) và AH ⊥ CD, theo định lý ba đường vuông góc, ta có SH ⊥ CD.
- Vậy góc giữa (SCD) và (ABCD) là góc SHA = 60°.

3. Tính độ dài AH:
Trong hình thoi ABCD, góc ADC = 180° - 60° = 120°. Tam giác ADC có AD = CD = a.
Diện tích tam giác ADC = ¹/₂ × AD × CD × sin(ADC) = ¹/₂ × a × a × sin(120°) = ¹/₂ × a² × ^√3/₂ = ^a2√3/₄.
Mặt khác, S_ADC = ¹/₂ × CD × AH = ¹/₂ × a × AH.
Do đó, ¹/₂ × a × AH = ^a2√3/₄ ⇒ AH = ^a√3/₂.

4. Tính chiều cao SA:
Trong tam giác vuông SHA, ta có tan(SHA) = SA / AH.
tan(60°) = SA / (^a√3/₂) ⇒ √3 = SA / (^a√3/₂).
SA = √3 × ^a√3/₂ = ^3a/₂.

5. Tính thể tích khối chóp S.ABCD:
V = ¹/₃ × S_ABCD × SA = ¹/₃ × (^a2√3/₂) × (^3a/₂) = ^a3√3/₄.

Giải thích: Để tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC), ta tìm hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng này. Trong mặt phẳng đáy (ABC), kẻ BH vuông góc với cạnh AC tại H. Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), suy ra SA vuông góc với BH. Ta có BH vuông góc với AC (theo cách dựng) và BH vuông góc với SA (chứng minh trên). Vì AC và SA cắt nhau tại A và cùng nằm trong mặt phẳng (SAC), nên BH vuông góc với mặt phẳng (SAC). Vậy, khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) chính là độ dài đoạn BH. Trong tam giác vuông ABC tại B: - Độ dài cạnh huyền AC = √(AB² + BC²) = √(a² + (a√3)²) = √(a² + 3a²) = √(4a²) = 2a. - Diện tích tam giác ABC là S_ABC = ¹/₂ × AB × BC = ¹/₂ × a × a√3 = a²√3/2. - Mặt khác, diện tích tam giác ABC cũng bằng S_ABC = ¹/₂ × BH × AC. Từ đó, ta có BH = (2 × S_ABC) / AC = (2 × a²√3/2) / (2a) = (a²√3) / (2a) = a√3/2. Vậy, khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) là a√3/2.

Giải thích: Gọi H là trung điểm của cạnh AB. Vì tam giác SAB đều, nên SH là đường cao của tam giác SAB, suy ra SH ⊥ AB. Vì mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) theo giao tuyến AB, và SH nằm trong mặt phẳng (SAB) đồng thời vuông góc với giao tuyến AB, nên SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Do đó, SH chính là chiều cao của khối chóp S.ABCD. Tam giác SAB đều có cạnh bằng AB = a, nên chiều cao SH = a√3/2. Diện tích đáy ABCD là S_ABCD = AB × AD = a × 2a = 2a². Thể tích khối chóp S.ABCD được tính bằng công thức V = ¹/₃ × S_ABCD × SH. Thay các giá trị vào, ta được V = ¹/₃ × (2a²) × (a√3/2) = a³√3/3. Vậy, thể tích khối chóp S.ABCD là a³√3/3.

Giải thích: Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AM và SC, ta có thể sử dụng phương pháp tọa độ. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A trùng với gốc tọa độ O(0,0,0). Các đỉnh của hình chóp có tọa độ là: A(0,0,0) B(a,0,0) D(0,a,0) C(a,a,0) S(0,0,2a) M là trung điểm của CD, nên M = ((a+0)/2, (a+a)/2, (0+0)/2) = (a/2, a, 0). Đường thẳng AM đi qua A(0,0,0) và có vector chỉ phương u_AM = AM = (a/2, a, 0). Đường thẳng SC đi qua S(0,0,2a) và có vector chỉ phương u_SC = SC = (a-0, a-0, 0-2a) = (a, a, -2a). Vector nối hai điểm bất kỳ trên hai đường thẳng, ví dụ vector AS = (0,0,2a). Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau được tính bằng công thức d(AM, SC) = |[u_AM, u_SC] . AS| / |[u_AM, u_SC]|. Tính tích có hướng của u_AM và u_SC: [u_AM, u_SC] = ( (a)(-2a) - (0)(a) ; (0)(a) - (a/2)(-2a) ; (a/2)(a) - (a)(a) ) = ( -2a² ; a² ; a²/2 - a² ) = ( -2a² ; a² ; -a²/2 ) Để đơn giản, ta có thể dùng vector pháp tuyến n = (-4, 2, -1) (bằng cách chia cho -a²/2). Tính tích vô hướng của n và AS: n . AS = (-4)(0) + (2)(0) + (-1)(2a) = -2a. Tính độ lớn của vector n: |n| = √((-4)² + 2² + (-1)²) = √(16 + 4 + 1) = √21. Khoảng cách d(AM, SC) = |-2a| / √21 = 2a/√21 = 2a√21/21. Vậy, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AM và SC là 2a√21/21.

Giải thích: Thể tích khối lăng trụ được tính bằng công thức V = S_đáy × h, trong đó S_đáy là diện tích đáy và h là chiều cao của lăng trụ. Đáy ABC là tam giác đều cạnh a, nên diện tích đáy là S_ABC = a²√3/4. Chiều cao của lăng trụ là khoảng cách từ A' đến mặt phẳng (ABC), chính là độ dài đoạn A'H, với H là hình chiếu vuông góc của A' lên (ABC). Theo đề bài, H là trung điểm của BC. Vì tam giác ABC đều, AH là đường cao của tam giác ABC. Độ dài AH = a√3/2 (đường cao của tam giác đều cạnh a). Xét tam giác vuông A'HA (vuông tại H) có cạnh huyền AA' = 2a và cạnh góc vuông AH = a√3/2. Áp dụng định lý Pythagoras, ta có: A'H² = AA'² - AH² A'H² = (2a)² - (a√3/2)² A'H² = 4a² - 3a²/4 A'H² = (16a² - 3a²)/4 = 13a²/4 A'H = √(13a²/4) = a√13/2. Vậy, chiều cao của khối lăng trụ là h = a√13/2. Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là V = S_ABC × A'H = (a²√3/4) × (a√13/2) = a³√39/8. Vậy, thể tích khối lăng trụ là a³√39/8.

Giải thích: Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng SD, ta sử dụng phương pháp tọa độ. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A trùng với gốc tọa độ O(0,0,0). Các điểm có tọa độ là: A(0,0,0) B(a,0,0) C(a,a,0) D(0,a,0) S(0,0,a√3) M là trung điểm của BC, nên M = ((a+a)/2, (0+a)/2, (0+0)/2) = (a, a/2, 0). Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng SD được tính bằng công thức d(M, SD) = |[MS, u_SD]| / |u_SD|, trong đó u_SD là vector chỉ phương của đường thẳng SD. Vector chỉ phương của đường thẳng SD là u_SD = SD = (0-0, a-0, 0-a√3) = (0, a, -a√3). Vector MS = (a-0, a/2-0, 0-a√3) = (a, a/2, -a√3). Tính tích có hướng của MS và u_SD: [MS, u_SD] = ( (a/2)(-a√3) - (-a√3)(a) ; (-a√3)(0) - (a)(-a√3) ; (a)(a) - (a/2)(0) ) = ( -a²√3/2 + a²√3 ; 0 + a²√3 ; a² - 0 ) = ( a²√3/2 ; a²√3 ; a² ) Tính độ lớn của vector [MS, u_SD]: |[MS, u_SD]| = √((a²√3/2)² + (a²√3)² + (a²)²) = √(3a⁴/4 + 3a⁴ + a⁴) = √( (3/4 + 12/4 + 4/4)a⁴ ) = √( (19/4)a⁴ ) = a²√19/2. Tính độ lớn của vector u_SD: |u_SD| = √(0² + a² + (-a√3)²) = √(a² + 3a²) = √(4a²) = 2a. Khoảng cách d(M, SD) = |[MS, u_SD]| / |u_SD| = (a²√19/2) / (2a) = a√19/4. Vậy, khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng SD là a√19/4.