40 câu Toán Học Lớp 11 – Chương VI. Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Giải thích: Ta có các quy tắc lũy thừa:
(x^m)ⁿ = x^m×n
x^m / xⁿ = x^m-n

Áp dụng vào biểu thức A:
A = (a^√3)^√3 / a²
A = a^{√3 × √3} / a²
A = a³ / a²
A = a^3-2
A = a¹

Vậy, biểu thức A rút gọn được là a¹.

Giải thích: Ta tính từng thành phần của biểu thức:
1. log₂8: Vì 2³ = 8, nên log₂8 = 3.
2. log₃9: Vì 3² = 9, nên log₃9 = 2.
3. log₄(¹/₁₆): Vì ¹/₁₆ = ¹/_4² = 4^-2, nên log₄(¹/₁₆) = -2.

Thay các giá trị này vào biểu thức P:
P = 3 + 2 - (-2)
P = 3 + 2 + 2
P = 7

Vậy, giá trị của biểu thức P là 7.

Giải thích: Để hàm số lôgarit y = log_af(x) xác định, điều kiện là biểu thức f(x) phải lớn hơn 0.

Trong trường hợp này, hàm số là y = log₂(x - 3), nên biểu thức f(x) là (x - 3).
Ta cần có: x - 3 > 0
Giải bất phương trình này, ta được: x > 3.

Vậy, tập xác định của hàm số là khoảng (3, +∞).

Giải thích: Để giải phương trình mũ, ta cố gắng đưa về cùng cơ số.
Phương trình đã cho là: 3^2x-1 = 27.
Ta biết rằng 27 có thể viết dưới dạng lũy thừa cơ số 3, cụ thể là 27 = 3³.

Khi đó, phương trình trở thành: 3^2x-1 = 3³.
Vì cơ số giống nhau (cơ số 3), ta có thể cho số mũ bằng nhau:
2x - 1 = 3
2x = 3 + 1
2x = 4
x = ⁴/₂
x = 2

Vậy, nghiệm của phương trình là x = 2.

Giải thích: Để giải bất phương trình lôgarit, ta cần lưu ý hai điều kiện:
1. Điều kiện xác định của biểu thức lôgarit.
2. Giải bất phương trình bằng cách đưa về cùng cơ số.

Điều kiện xác định:
Biểu thức trong lôgarit phải lớn hơn 0. Tức là x + 1 > 0 ⇒ x > -1.

Giải bất phương trình:
log₂(x + 1) < 3
Ta biết 3 có thể viết dưới dạng lôgarit cơ số 2 là log₂(2³) = log₂8.
Bất phương trình trở thành: log₂(x + 1) < log₂8.
Vì cơ số 2 > 1 (lớn hơn 1) nên hàm số lôgarit đồng biến. Khi đó, ta có thể bỏ log và giữ nguyên chiều bất phương trình:
x + 1 < 8
x < 8 - 1
x < 7.

Kết hợp cả hai điều kiện (x > -1 và x < 7), ta được tập nghiệm là -1 < x < 7.
Tập nghiệm được viết dưới dạng khoảng là (-1, 7).

Giải thích: Ta có: (a^√3b^√2)^√3 = a^√3⋅√3 ⋅ b^√2⋅√3 = a³b^√6 (a^√2b^√3)^√2 = a^√2⋅√2 ⋅ b^√3⋅√2 = a²b^√6 Vậy, A = (a³b^√6) / (a²b^√6) = a^3-2b^√6-√6 = a¹b⁰ = a ⋅ 1 = a.

Giải thích: Sử dụng các tính chất của lôgarit: P = log_a(a²b³) = log_a(a²) + log_a(b³) Áp dụng công thức log_c(x^k) = k log_cx và log_aa = 1: P = 2log_aa + 3log_ab P = 2(1) + 3(3) P = 2 + 9 = 11.

Giải thích: Hàm số lôgarit y = log_af(x) xác định khi và chỉ khi f(x) > 0. Trong trường hợp này, f(x) = 9 - x². Điều kiện xác định là 9 - x² > 0. Điều này tương đương với x² < 9. Hay -3 < x < 3. Vậy, tập xác định của hàm số là (-3, 3).

Giải thích: Phương trình đã cho là 4^x - 5 ⋅ 2^x + 4 = 0. Ta nhận thấy 4^x = (2²)^x = (2^x)². Đặt t = 2^x. Vì 2^x > 0 với mọi x, nên điều kiện là t > 0. Phương trình trở thành t² - 5t + 4 = 0. Đây là một phương trình bậc hai với các nghiệm: (t - 1)(t - 4) = 0 Suy ra t = 1 hoặc t = 4. Với t = 1: 2^x = 1 ⇒ x = 0. Với t = 4: 2^x = 4 ⇒ 2^x = 2² ⇒ x = 2. Cả hai nghiệm x = 0 và x = 2 đều thỏa mãn (vì 2⁰ = 1 > 0 và 2² = 4 > 0). Nghiệm nhỏ nhất là 0.

Giải thích: Bất phương trình đã cho là (¹/₂)^x-1 ≥ 4. Ta có thể viết 4 dưới dạng lũy thừa với cơ số ¹/₂: 4 = 2² = (¹/₂)^-2. Vậy bất phương trình trở thành (¹/₂)^x-1 ≥ (¹/₂)^-2. Vì cơ số a = ¹/₂ là một số dương nhỏ hơn 1 (0 < a < 1), khi bỏ cơ số, dấu của bất phương trình sẽ đổi chiều. Do đó, ta có: x - 1 ≤ -2. Giải bất phương trình này: x ≤ -2 + 1 x ≤ -1. Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là (-∞, -1].

Giải thích: Ta có biểu thức P = x^1/3 ⋅ ⁶√(x⁵). Áp dụng công thức đổi từ căn thức sang lũy thừa: ⁿ√a^m = a^m/n. Vậy, ⁶√(x⁵) = x^5/6. Biểu thức P trở thành: P = x^1/3 ⋅ x^5/6 Áp dụng công thức nhân hai lũy thừa cùng cơ số: a^m ⋅ aⁿ = a^m+n. P = x^{1/3 + 5/6} Để cộng các số mũ, ta quy đồng mẫu số: 1/3 + 5/6 = 2/6 + 5/6 = 7/6 Vậy, P = x^7/6. Đáp án đúng là B.

Giải thích: Ta có log₂3 = a. Để tính log₁₈12 theo a, ta sử dụng công thức đổi cơ số log_bc = log_ac / log_ab. Trong trường hợp này, ta sẽ đổi về cơ số 2: log₁₈12 = log₂12 / log₂18 Phân tích các số 12 và 18 ra thừa số nguyên tố: 12 = 2² ⋅ 3 18 = 2 ⋅ 3² Thay vào biểu thức: log₁₈12 = log₂(2² ⋅ 3) / log₂(2 ⋅ 3²) Áp dụng các công thức lôgarit: log_a(xy) = log_ax + log_ay log_a(xⁿ) = n log_ax log₁₈12 = (log₂2² + log₂3) / (log₂2 + log₂3²) = (2 log₂2 + log₂3) / (log₂2 + 2 log₂3) Vì log₂2 = 1 và log₂3 = a, ta thay vào: log₁₈12 = (2 ⋅ 1 + a) / (1 + 2 ⋅ a) = (2 + a) / (1 + 2a) Vậy giá trị của biểu thức là (2 + a) / (1 + 2a).

Giải thích: Để xác định hàm số nghịch biến, ta cần xét cơ số của hàm mũ hoặc hàm lôgarit: - Hàm số mũ y = a^x: - Nếu a > 1, hàm số đồng biến. - Nếu 0 < a < 1, hàm số nghịch biến. - Hàm số lôgarit y = log_ax: - Nếu a > 1, hàm số đồng biến. - Nếu 0 < a < 1, hàm số nghịch biến. Xét từng đáp án: A. y = 2^x: Cơ số a = 2 > 1, nên hàm số này đồng biến trên R. B. y = log_0.5x: Cơ số a = 0.5 (0 < 0.5 < 1), nên hàm số này nghịch biến trên tập xác định của nó là (0, +∞). C. y = log₂x: Cơ số a = 2 > 1, nên hàm số này đồng biến trên tập xác định của nó là (0, +∞). D. y = (1/3)^-x: Ta có thể viết lại là y = (3^-1)^-x = 3^(-1)⋅(-x) = 3^x. Cơ số a = 3 > 1, nên hàm số này đồng biến trên R. Vậy, hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó là y = log_0.5x.

Giải thích: Phương trình đã cho là log₂(x+1) + log₂(x-1) = 3. Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình. Các biểu thức trong logarit phải lớn hơn 0: x + 1 > 0 ⇒ x > -1 x - 1 > 0 ⇒ x > 1 Kết hợp hai điều kiện, ta có x > 1. Bước 2: Giải phương trình. Áp dụng công thức tổng các logarit cùng cơ số: log_ab + log_ac = log_a(bc). Phương trình trở thành: log₂((x+1)(x-1)) = 3 log₂(x² - 1) = 3 Theo định nghĩa của logarit, nếu log_ab = c thì b = a^c. Vậy: x² - 1 = 2³ x² - 1 = 8 x² = 8 + 1 x² = 9 Suy ra x = 3 hoặc x = -3. Bước 3: So sánh với điều kiện xác định. Với điều kiện x > 1: - x = 3 thỏa mãn điều kiện x > 1. - x = -3 không thỏa mãn điều kiện x > 1. Vậy, nghiệm duy nhất của phương trình là x = 3. Đáp án đúng là A.

Giải thích: Phương trình đã cho là 5^x+1 = 25^x-2. Để giải phương trình mũ này, ta cần đưa cả hai vế về cùng một cơ số. Ta nhận thấy 25 có thể viết dưới dạng lũy thừa của 5: 25 = 5². Thay thế 25 bằng 5² vào phương trình: 5^x+1 = (5²)^x-2 Áp dụng công thức lũy thừa của lũy thừa (a^m)ⁿ = a^mn: 5^x+1 = 5^2(x-2) 5^x+1 = 5^{2x - 4} Khi hai lũy thừa có cùng cơ số (cơ số 5 > 0 và ≠ 1) mà bằng nhau, thì số mũ của chúng cũng phải bằng nhau: x + 1 = 2x - 4 Bây giờ ta giải phương trình bậc nhất này: Chuyển các số hạng chứa x về một vế và các hằng số về vế còn lại: 1 + 4 = 2x - x 5 = x Vậy, nghiệm của phương trình là x = 5.

Giải thích: Ta có:
8^2/3 = (³√8)² = 2² = 4
(¹/₂₇)^-1/3 = (27^-1)^-1/3 = 27^1/3 = ³√27 = 3
Vậy P = 4 + 3 = 7.

Giải thích: Sử dụng các quy tắc của lôgarit:
P = log_a(b²c) = log_a(b²) + log_ac
P = 2log_ab + log_ac
Thay các giá trị đã cho vào biểu thức:
P = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7.

Giải thích: Để hàm số xác định, cần có hai điều kiện:
1. Biểu thức trong lôgarit phải dương: x - 1 > 0 ⇒ x > 1.
2. Biểu thức dưới dấu căn phải không âm: log₂(x - 1) ≥ 0.
Vì cơ số 2 > 1, bất phương trình log₂(x - 1) ≥ 0 tương đương với x - 1 ≥ 2⁰, tức là x - 1 ≥ 1 ⇒ x ≥ 2.
Kết hợp cả hai điều kiện x > 1 và x ≥ 2, ta được x ≥ 2.
Vậy tập xác định của hàm số là [2, +∞).

Giải thích: Điều kiện xác định của phương trình là:
x - 2 > 0 ⇒ x > 2
x + 1 > 0 ⇒ x > -1
Kết hợp lại, ta có x > 2.
Áp dụng quy tắc log_ab - log_ac = log_a(b/c), ta được:
log₃(^{(x - 2)}/_{(x + 1)}) = -1
Chuyển về dạng mũ:
^{(x - 2)}/_{(x + 1)} = 3^{-1
(x - 2)}/_{(x + 1)} = ¹/₃
Nhân chéo:
3(x - 2) = 1(x + 1)
3x - 6 = x + 1
2x = 7
x = ⁷/₂
Kiểm tra điều kiện: x = ⁷/₂ = 3.5 > 2, thỏa mãn. Vậy nghiệm của phương trình là x = ⁷/₂.

Giải thích: Bất phương trình đã cho là (¹/₃)^2x-1 < 9.
Ta có thể viết lại ¹/₃ = 3^-1 và 9 = 3².
Vậy bất phương trình trở thành (3^-1)^2x-1 < 3²
3^-(2x-1) < 3²
3^1-2x < 3²
Vì cơ số của lũy thừa là 3 (lớn hơn 1), nên ta có thể so sánh số mũ mà không đổi chiều bất phương trình:
1 - 2x < 2
-2x < 2 - 1
-2x < 1
Chia cả hai vế cho -2 và đổi chiều bất phương trình:
x > ^-1/₂
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (^-1/₂, +∞).

Giải thích: Ta có các công thức lũy thừa:
(ⁿ√a)^m = a^m/n
Áp dụng vào biểu thức P:
P = (2^1/3)⁶ + (3^1/4)⁸
P = 2^(1/3)×6 + 3^(1/4)×8
P = 2² + 3²
P = 4 + 9
P = 13

Giải thích: Ta có công thức đổi cơ số của lôgarit: log_xy = 1 / log_yx.
Từ giả thiết: log₂5 = a ⇒ log₅2 = 1/a.
Và log₃5 = b ⇒ log₅3 = 1/b.
Để tính log₆5, ta đổi về cơ số 5:
log₆5 = 1 / log₅6
Áp dụng tính chất lôgarit của một tích: log_x(yz) = log_xy + log_xz.
log₅6 = log₅(2 × 3) = log₅2 + log₅3
Thay các giá trị đã biết vào:
log₅6 = 1/a + 1/b = (b + a) / (ab)
Vậy, log₆5 = 1 / [(b + a) / (ab)] = ab / (a + b).

Giải thích: Xét hàm số y = log_ax với a = 2 (cơ số a > 1):
A. Tập xác định của hàm số lôgarit log_ax là x > 0, tức là D = (0, +∞). Mệnh đề này ĐÚNG.
B. Với cơ số a = 2 > 1, hàm số y = log₂x là hàm số đồng biến trên tập xác định của nó. Mệnh đề này ĐÚNG.
C. Khi x = 1, y = log₂1 = 0. Vậy đồ thị hàm số đi qua điểm (1, 0). Mệnh đề này ĐÚNG.
D. Tập giá trị của hàm số lôgarit y = log_ax là toàn bộ tập số thực R, tức là (-∞, +∞). Mệnh đề này SAI. Tập giá trị (0, +∞) là tập giá trị của hàm số mũ y = a^x.

Giải thích: Phương trình đã cho là: 2^x+1 = 5^x
Áp dụng tính chất lũy thừa a^m+n = a^m ⋅ aⁿ:
2^x ⋅ 2¹ = 5^x
2 ⋅ 2^x = 5^x
Chia cả hai vế cho 2^x (vì 2^x > 0):
2 = 5^x / 2^x
2 = (5/2)^x
Để tìm x, ta lấy lôgarit cơ số 10 (hoặc lôgarit tự nhiên ln) cả hai vế:
log(2) = log((5/2)^x)
Áp dụng tính chất log(A^B) = B ⋅ log(A):
log(2) = x ⋅ log(5/2)
x = log(2) / log(5/2)
Áp dụng tính chất log(A/B) = log(A) - log(B):
x = log(2) / (log(5) - log(2))

Giải thích: Để giải bất phương trình log_0.5(x² - 3x + 2) ≥ -1, ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức lôgarit.
Biểu thức trong lôgarit phải lớn hơn 0: x² - 3x + 2 > 0.
Giải phương trình bậc hai x² - 3x + 2 = 0 ta được nghiệm x = 1 và x = 2.
Vì hệ số của x² là 1 > 0, nên x² - 3x + 2 > 0 khi x 2. (Điều kiện (*))

Bước 2: Giải bất phương trình.
log_0.5(x² - 3x + 2) ≥ -1
Vì cơ số của lôgarit là 0.5 (0 < 0.5 < 1), khi bỏ lôgarit, chiều của bất phương trình sẽ ĐẢO NGƯỢC.
x² - 3x + 2 ≤ (0.5)^-1
x² - 3x + 2 ≤ 2
x² - 3x ≤ 0
Phân tích thành nhân tử: x(x - 3) ≤ 0
Giải bất phương trình này, ta được 0 ≤ x ≤ 3. (Điều kiện (**))

Bước 3: Kết hợp các điều kiện.
Kết hợp điều kiện (*) và (**):
(x 2) VÀ (0 ≤ x ≤ 3)
Ta xét các khoảng:
- Với x < 1 và 0 ≤ x ≤ 3: Ta có 0 ≤ x < 1.
- Với x > 2 và 0 ≤ x ≤ 3: Ta có 2 < x ≤ 3.
Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là [0, 1) ∪ (2, 3].

Giải thích: Ta có các quy tắc lũy thừa: (a^m)ⁿ = a^m⋅n và a^m / aⁿ = a^m-n.
Áp dụng quy tắc, ta có:
P = (x^√3)^√27 / x⁸
P = x^{√3 ⋅ √27} / x⁸
P = x^{√(3 ⋅ 27)} / x⁸
P = x^√81 / x⁸
P = x⁹ / x⁸
P = x^9-8
P = x¹ = x.
Vậy biểu thức rút gọn là x.

Giải thích: Từ log_ab = 3, ta suy ra b = a³.
Hoặc, ta có log_ba = 1 / log_ab = 1/3.
Biểu thức cần tính là P = log_b(a⁴b^-1).
Áp dụng các quy tắc lôgarit:
P = log_b(a⁴) + log_b(b^-1)
P = 4 log_ba + (-1) log_bb
P = 4 log_ba - 1
Thay log_ba = 1/3 vào, ta được:
P = 4 ⋅ (1/3) - 1
P = 4/3 - 1
P = 4/3 - 3/3
P = 1/3.
Vậy giá trị của biểu thức P là 1/3.

Giải thích: Xét hàm số y = log_0.2x:
A. Cơ số a = 0.2, thỏa mãn 0 < a < 1. Do đó, hàm số y = log_0.2x là hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó. Mệnh đề A sai.
B. Tập giá trị của hàm số lôgarit y = log_ax (với a > 0, a ≠ 1) là ℝ (hay (-∞, +∞)). Mệnh đề B sai.
C. Để kiểm tra đồ thị hàm số có đi qua điểm (5, -1) hay không, ta thay x = 5 vào hàm số:
y = log_0.25 = log_1/55 = log_5^-15 = -1 log₅5 = -1 ⋅ 1 = -1.
Vậy đồ thị hàm số đi qua điểm (5, -1). Mệnh đề C đúng.
D. Tập xác định của hàm số y = log_ax là D = (0, +∞). Mệnh đề D sai.

Giải thích: Phương trình đã cho là 4^x - 6 ⋅ 2^x + 8 = 0.
Ta có thể viết lại 4^x = (2²)^x = (2^x)².
Đặt t = 2^x. Vì 2^x > 0 với mọi x, nên t > 0.
Khi đó, phương trình trở thành:
t² - 6t + 8 = 0
Đây là một phương trình bậc hai. Ta có thể giải bằng cách phân tích thành nhân tử hoặc dùng công thức nghiệm.
Sử dụng phân tích thành nhân tử: (t - 2)(t - 4) = 0
Suy ra t - 2 = 0 hoặc t - 4 = 0.
Từ đó, t = 2 hoặc t = 4.
Vì t = 2^x, ta có hai trường hợp:
1. 2^x = 2 ⇒ 2^x = 2¹ ⇒ x = 1.
2. 2^x = 4 ⇒ 2^x = 2² ⇒ x = 2.
Cả hai nghiệm x = 1 và x = 2 đều thỏa mãn điều kiện t > 0.
Vậy tập nghiệm của phương trình là {1; 2}.

Giải thích: Để giải bất phương trình log₃(x - 5) ≤ 2, trước hết cần xác định điều kiện xác định của lôgarit:
x - 5 > 0 ⇒ x > 5.
Bất phương trình đã cho có cơ số là 3 (3 > 1), nên khi bỏ lôgarit, chiều của bất phương trình không đổi:
log₃(x - 5) ≤ 2
log₃(x - 5) ≤ log₃(3²)
log₃(x - 5) ≤ log₃9
x - 5 ≤ 9
x ≤ 14.
Kết hợp với điều kiện xác định x > 5, ta được tập nghiệm là 5 < x ≤ 14.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là khoảng (5, 14].

Giải thích: Để so sánh các số A, B, C, ta đưa chúng về cùng cơ số. Ta có: - A = 2^√3 ≈ 2^1.732 - B = 4^1.5 = (2²)^1.5 = 2^{2 × 1.5} = 2³ - C = 8^1.2 = (2³)^1.2 = 2^{3 × 1.2} = 2^3.6 Vì hàm số mũ y = 2^x có cơ số 2 > 1 nên nó là hàm đồng biến trên R. Do đó, để so sánh các giá trị A, B, C, ta chỉ cần so sánh các số mũ của chúng. Ta có: √3 ≈ 1.732. So sánh các số mũ: 1.732 < 3 < 3.6. Suy ra: 2^1.732 < 2³ < 2^3.6. Vậy, A < B < C.

Giải thích: Để tính log_abcx, ta sử dụng công thức đổi cơ số lôgarit. Từ các giả thiết đã cho, ta có thể chuyển đổi cơ số lôgarit về cơ số x: - log_ax = 2 ⇒ log_xa = ¹/_logax = ¹/₂ - log_bx = 3 ⇒ log_xb = ¹/_logbx = ¹/₃ - log_cx = 4 ⇒ log_xc = ¹/_logcx = ¹/₄ Bây giờ, ta tính log_abcx bằng cách chuyển về cơ số x: log_abcx = ¹/_logx(abc) Áp dụng tính chất lôgarit của một tích, ta có: log_x(abc) = log_xa + log_xb + log_xc log_x(abc) = ¹/₂ + ¹/₃ + ¹/₄ Để cộng các phân số này, ta tìm mẫu số chung nhỏ nhất là 12: log_x(abc) = ⁶/₁₂ + ⁴/₁₂ + ³/₁₂ = ^{(6 + 4 + 3)}/₁₂ = ¹³/₁₂ Cuối cùng, thay vào biểu thức ban đầu: log_abcx = ¹/_(¹³/12) = ¹²/₁₃.

Giải thích: Hàm số y = log₃(4 - 2^x) xác định khi và chỉ khi biểu thức trong lôgarit lớn hơn 0. Tức là: 4 - 2^x > 0 Chuyển 2^x sang vế phải: 4 > 2^x Viết 4 dưới dạng lũy thừa của 2: 2² > 2^x Vì cơ số của hàm số mũ là 2 (2 > 1), hàm số mũ y = 2^t là hàm đồng biến. Do đó, khi so sánh các giá trị, ta có thể so sánh các số mũ mà không cần đảo chiều bất đẳng thức: 2 > x Vậy, tập xác định của hàm số là D = (-∞, 2).

Giải thích: Phương trình đã cho có thể viết lại như sau: (3²)^x - 3^x ⋅ 3¹ + 2 = 0 (3^x)² - 3 ⋅ 3^x + 2 = 0 Đặt t = 3^x. Vì 3^x luôn dương với mọi x, nên điều kiện là t > 0. Khi đó, phương trình trở thành phương trình bậc hai theo t: t² - 3t + 2 = 0 Ta có thể giải phương trình này bằng cách phân tích thành nhân tử: (t - 1)(t - 2) = 0 Suy ra t = 1 hoặc t = 2. Cả hai giá trị t = 1 và t = 2 đều thỏa mãn điều kiện t > 0. Trường hợp 1: t = 1 3^x = 1 3^x = 3⁰ x = 0 Trường hợp 2: t = 2 3^x = 2 x = log₃2 Vậy, các nghiệm của phương trình là x = 0 và x = log₃2. Sắp xếp theo thứ tự tăng dần, ta được 0, log₃2.

Giải thích: Để bất phương trình log_1/2(x - 3) > -2 có nghĩa, biểu thức trong lôgarit phải lớn hơn 0: x - 3 > 0 ⇒ x > 3 (Đây là điều kiện xác định của bất phương trình) Tiếp theo, ta giải bất phương trình: log_1/2(x - 3) > -2 Chuyển số -2 về dạng lôgarit cơ số 1/2: -2 = log_1/2((1/2)^-2) = log_1/2(1 / (1/2)²) = log_1/2(1 / (1/4)) = log_1/2(4). Vậy bất phương trình trở thành: log_1/2(x - 3) > log_1/2(4) Vì cơ số của lôgarit là 1/2 (0 < 1/2 < 1), nên khi bỏ dấu lôgarit, chiều của bất phương trình phải đảo ngược: x - 3 < 4 x 3 với nghiệm x < 7, ta được tập nghiệm của bất phương trình là 3 < x < 7. Hay viết dưới dạng khoảng là (3, 7).

Giải thích: Áp dụng các quy tắc lũy thừa: - (a^m)ⁿ = a^mn - a^m / aⁿ = a^m-n - (ab)ⁿ = aⁿbⁿ Bước 1: Rút gọn từng thừa số trong biểu thức P. (x^1/2y^-1/3)⁶ = x^(1/2)⋅6y^(-1/3)⋅6 = x³y^-2 (x^-1y²)² = x^(-1)⋅2y^(2)⋅2 = x^-2y⁴ Bước 2: Thay kết quả vào biểu thức P và rút gọn. P = (x³y^-2) / (x^-2y⁴) P = x^{3 - (-2)}y^{-2 - 4} P = x^{3 + 2}y^-6 P = x⁵y^-6

Giải thích: Ta có log_x2 = A. Cần biểu diễn log_2x8 theo A. Bước 1: Áp dụng công thức đổi cơ số log_ba = log_ca / log_cb. Ta chọn cơ số 2 để đưa về log₂x. log_2x8 = log₂8 / log₂(2x) Bước 2: Sử dụng các quy tắc lôgarit cơ bản. log₂8 = 3 (vì 2³ = 8) log₂(2x) = log₂2 + log₂x = 1 + log₂x Bước 3: Thay vào biểu thức và mối quan hệ giữa log_x2 và log₂x. log_2x8 = 3 / (1 + log₂x) Từ log_x2 = A, ta có log₂x = 1 / log_x2 = 1/A. Bước 4: Thay log₂x = 1/A vào biểu thức và rút gọn. log_2x8 = 3 / (1 + 1/A) log_2x8 = 3 / ((A+1)/A) log_2x8 = 3A / (A+1)

Giải thích: Xét hàm số y = 3^x - 1: A. Tiệm cận ngang của hàm số y = a^x + b là đường thẳng y = b. Trong trường hợp này, a = 3 và b = -1. Do đó, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y = -1. Mệnh đề A sai. B. Đồ thị hàm số cắt trục tung khi x = 0. Thay x = 0 vào hàm số, ta được y = 3⁰ - 1 = 1 - 1 = 0. Vậy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0, 0). Mệnh đề B sai. C. Hàm số y = a^x với a > 1 là hàm số đồng biến trên tập xác định ℝ. Ở đây, cơ số a = 3 > 1, nên hàm số y = 3^x đồng biến. Việc trừ đi 1 chỉ làm dịch chuyển đồ thị xuống dưới 1 đơn vị theo trục tung mà không làm thay đổi tính đồng biến của hàm số. Vậy, hàm số y = 3^x - 1 đồng biến trên tập xác định ℝ. Mệnh đề C đúng. D. Tập giá trị của hàm số y = 3^x là (0, +∞). Do đó, tập giá trị của hàm số y = 3^x - 1 là (-1, +∞). Mệnh đề D sai.

Giải thích: Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình. Để các biểu thức lôgarit có nghĩa, ta phải có: x + 1 > 0 ⇒ x > -1 x - 1 > 0 ⇒ x > 1 Kết hợp hai điều kiện trên, ta được điều kiện xác định của phương trình là x > 1. Bước 2: Áp dụng công thức lôgarit để rút gọn phương trình. Sử dụng công thức log_ab + log_ac = log_a(bc): log₂((x+1)(x-1)) = 3 log₂(x² - 1) = 3 Bước 3: Chuyển phương trình lôgarit về dạng phương trình mũ. x² - 1 = 2³ x² - 1 = 8 x² = 9 Bước 4: Giải phương trình bậc hai và kiểm tra điều kiện. Từ x² = 9, ta có x = 3 hoặc x = -3. So sánh với điều kiện xác định x > 1: - x = 3 thỏa mãn điều kiện x > 1. - x = -3 không thỏa mãn điều kiện x > 1. Vậy, nghiệm của phương trình là x = 3.

Giải thích: Hàm số y = log₂(x / (x - 2)) xác định khi biểu thức trong lôgarit lớn hơn 0. Tức là, ta cần giải bất phương trình: x / (x - 2) > 0 Để giải bất phương trình này, ta xét dấu của tử số và mẫu số: - Tử số x = 0 khi x = 0. - Mẫu số x - 2 = 0 khi x = 2. Lập bảng xét dấu cho biểu thức x / (x - 2): | Khoảng | (-∞, 0) | (0, 2) | (2, +∞) | |--------------|---------|--------|---------| | Dấu của x | - | + | + | | Dấu của x - 2| - | - | + | | Dấu của x/(x-2)| + | - | + | Từ bảng xét dấu, ta thấy biểu thức x / (x - 2) > 0 khi x thuộc khoảng (-∞, 0) hoặc (2, +∞). Vậy, tập xác định của hàm số là D = (-∞, 0) ∪ (2, +∞).