40 câu Toán Học Lớp 11 – Chương IV. Quan hệ song song trong không gian

Giải thích: Mỗi ba điểm không thẳng hàng xác định một mặt phẳng duy nhất. Với bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng, ta có thể chọn 3 điểm từ 4 điểm để tạo thành một mặt phẳng. Số cách chọn là tổ hợp chập 3 của 4, tức là C³₄ = 4. Các mặt phẳng đó là (ABC), (ABD), (ACD), (BCD).

Giải thích: Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD), ta cần tìm hai điểm chung của chúng. Điểm chung thứ nhất là S. Điểm chung thứ hai là giao điểm của hai đường chéo AC và BD trong mặt phẳng đáy ABCD. Theo đề bài, O là giao điểm của AC và BD. Vậy, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) có hai điểm chung là S và O. Do đó, giao tuyến của chúng là đường thẳng SO.

Giải thích: A. Đây là một định lí quan trọng về hai đường thẳng song song: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
B. Hai đường thẳng không có điểm chung có thể song song hoặc chéo nhau.
C. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba có thể song song, cắt nhau hoặc chéo nhau.
D. Mệnh đề này đúng, nếu hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng thì chúng chỉ có thể cắt nhau hoặc song song, không thể chéo nhau.

Giải thích: Xét tam giác SAB có M là trung điểm của SA và N là trung điểm của SB. Do đó, MN là đường trung bình của tam giác SAB. Theo tính chất đường trung bình, MN song song với AB và MN = ¹/₂ AB.
Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD.
Theo đề bài, CD = 12 cm, suy ra AB = 12 cm.
Vậy, MN = ¹/₂ × 12 = 6 cm.

Giải thích: Vì ABCD là hình thang với AB // CD và M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC nên MN là đường trung bình của hình thang ABCD.
Theo tính chất của đường trung bình hình thang, MN song song với AB.
Mặt khác, đường thẳng AB nằm trong mặt phẳng (SAB).
Vì MN song song với AB và MN không nằm trong mặt phẳng (SAB) (do M, N không thuộc (SAB)), nên MN song song với mặt phẳng (SAB).

Giải thích: Trong hình lăng trụ ABC.A'B'C', cạnh A'B' song song với cạnh AB (tính chất lăng trụ). Vì đường thẳng AB nằm trong mặt phẳng (ABC) và đường thẳng A'B' không nằm trong mặt phẳng (ABC), nên theo định nghĩa, đường thẳng A'B' song song với mặt phẳng (ABC).

Giải thích: Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC), ta cần tìm hai điểm chung của chúng.
1. Điểm S là điểm chung thứ nhất (S thuộc cả (SAD) và (SBC)).
2. Trong mặt phẳng đáy (ABCD), đường thẳng AD thuộc (SAD) và đường thẳng BC thuộc (SBC). Vì AD và BC cắt nhau tại điểm I (theo giả thiết), nên I là điểm chung thứ hai (I thuộc AD nên I thuộc (SAD); I thuộc BC nên I thuộc (SBC)).
Vậy, giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng SI.

Giải thích: Trong hình hộp ABCD.A'B'C'D':
A. Ta có AB // CD (vì ABCD là hình bình hành) và CD // C'D' (vì CDD'C' là hình bình hành). Suy ra AB // C'D'. Mệnh đề này đúng.
B. Ta có A'D' // AD (vì ADD'A' là hình bình hành) và AD // BC (vì ABCD là hình bình hành). Suy ra A'D' // BC. Mệnh đề này đúng.
C. Ta có AC là đường chéo của mặt phẳng (ABCD) và A'C' là đường chéo của mặt phẳng (A'B'C'D'). Vì (ABCD) // (A'B'C'D'), và chúng cùng nằm trong mặt phẳng (ACC'A'), nên AC // A'C'. Mệnh đề này đúng.
D. Đường thẳng AC nằm trong mặt phẳng (ABCD). Đường thẳng B'D' nằm trong mặt phẳng (A'B'C'D'). Hai mặt phẳng này song song với nhau. Đồng thời, AC và B'D' không song song với nhau (vì nếu song song thì chúng sẽ cùng song song với giao tuyến của (ABCD) và một mặt phẳng chứa B'D' nào đó, hoặc chúng tạo thành một hình bình hành, điều này không đúng). Do đó, AC và B'D' là hai đường thẳng chéo nhau. Mệnh đề AC // B'D' là SAI.

Giải thích: Để xác định vị trí tương đối của đường thẳng MN và mặt phẳng (ABCD), ta xét tam giác SAC.
Vì M là trung điểm của SA và N là trung điểm của SC (theo giả thiết), nên MN là đường trung bình của tam giác SAC.
Theo tính chất đường trung bình trong tam giác, MN song song với cạnh đáy AC (MN // AC).
Mặt khác, đường thẳng AC nằm trong mặt phẳng (ABCD).
Vì MN // AC và AC nằm trong (ABCD) và MN không nằm trong (ABCD), nên theo định lí về đường thẳng song song với mặt phẳng, đường thẳng MN song song với mặt phẳng (ABCD).

Giải thích: Đây là một định lí quan trọng về giao tuyến của ba mặt phẳng.
Định lí phát biểu rằng: Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy tại một điểm, hoặc đôi một song song với nhau.

Giải thích: Theo tiên đề Euclid trong hình học không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Giải thích: Để chứng minh IJ song song với mặt phẳng (SBC), ta cần chứng minh IJ song song với một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (SBC).
1. Theo giả thiết, đường thẳng d đi qua I và song song với AD, cắt SD tại J. Do đó, tứ giác ADJI là hình thang (hoặc IJ // AD theo định lí Talet trong tam giác SAD với đường thẳng d song song với AD). Vậy IJ // AD.
2. Vì ABCD là hình bình hành nên AD // BC.
3. Từ (1) và (2), suy ra IJ // BC (tính chất bắc cầu của quan hệ song song).
4. Mà đường thẳng BC nằm trong mặt phẳng (SBC).
5. Do đó, theo định nghĩa đường thẳng song song với mặt phẳng, ta kết luận IJ // (SBC).

Giải thích: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P), thì qua mỗi điểm M thuộc (P), ta có thể kẻ một đường thẳng duy nhất b nằm trong (P) và song song với a. Vì có vô số điểm M trong mặt phẳng (P), nên sẽ có vô số đường thẳng nằm trong (P) song song với đường thẳng a.

Giải thích: Để chứng minh MN song song với B'C', ta thực hiện các bước sau:
1. Xét tam giác ABC: M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC (theo giả thiết). Do đó, MN là đường trung bình của tam giác ABC.
2. Theo tính chất đường trung bình của tam giác, MN song song với cạnh đáy BC, tức là MN // BC.
3. Trong hình lăng trụ ABC.A'B'C', các cạnh bên song song và bằng nhau, các mặt bên là hình bình hành. Cụ thể, tứ giác BCC'B' là hình bình hành. Do đó, BC song song với B'C', tức là BC // B'C'.
4. Từ MN // BC và BC // B'C' (tính chất bắc cầu của quan hệ song song), ta suy ra MN // B'C'.
Vậy, đường thẳng MN song song với đường thẳng B'C'.

Giải thích: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) và đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P), thì a và b không có điểm chung vì a không cắt (P) và b nằm trong (P).
Trong không gian, hai đường thẳng không có điểm chung có thể song song hoặc chéo nhau.
1. Trường hợp a song song với b: Điều này xảy ra khi có một đường thẳng c trong (P) mà c // a, và b trùng hoặc song song với c.
2. Trường hợp a chéo với b: Điều này xảy ra khi b không song song với a và b cũng không cắt a (vì a không cắt (P)). Ví dụ, nếu a song song với một đường thẳng d trong (P), và b là một đường thẳng khác trong (P) cắt d, thì b sẽ chéo với a.
Do đó, a và b có thể song song hoặc chéo nhau.

Giải thích: Vì M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB nên MN là đường trung bình của tam giác SAB. Do đó MN // AB. Vì P, Q lần lượt là trung điểm của SC, SD nên PQ là đường trung bình của tam giác SCD. Do đó PQ // CD. Mà theo đề bài đáy ABCD là hình thang với AB // CD. Từ MN // AB và PQ // CD, cùng với AB // CD, suy ra MN // PQ (tính chất bắc cầu của đường thẳng song song).

Giải thích: Theo đề bài, ta có MN // AB. Mà đường thẳng AB nằm trong mặt phẳng (ABCD) (vì AB là một cạnh của đáy hình bình hành ABCD). Theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng: Nếu một đường thẳng song song với một đường thẳng khác nằm trong một mặt phẳng, thì đường thẳng đó song song với mặt phẳng chứa đường thẳng kia. Vậy, MN song song với mặt phẳng (ABCD).

Giải thích: Xét các trường hợp sau: 1. Nếu a và b cùng nằm trong một mặt phẳng, thì (P) và (Q) có thể trùng nhau (chính là mặt phẳng chứa a và b). 2. Nếu a và b nằm trong hai mặt phẳng song song riêng biệt (ví dụ, hai mặt của một hình hộp), thì (P) và (Q) song song với nhau. 3. Nếu a và b nằm trong hai mặt phẳng không song song và không trùng nhau (ví dụ, mặt đáy và một mặt bên của hình lăng trụ, trong đó a là cạnh đáy và b là cạnh bên song song với a), thì (P) và (Q) sẽ cắt nhau. Giao tuyến của chúng sẽ song song với a và b (theo định lý về giao tuyến của hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song). Vậy, vị trí tương đối giữa (P) và (Q) có thể là song song, cắt nhau hoặc trùng nhau.

Giải thích: Vì M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB nên MN là đường trung bình của tam giác SAB. Do đó, MN // AB. Mặt khác, đáy ABCD là hình bình hành nên AB // CD. Từ MN // AB và AB // CD, suy ra MN // CD. Mà đường thẳng CD nằm trong mặt phẳng (SCD). Theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng: Nếu một đường thẳng song song với một đường thẳng khác nằm trong một mặt phẳng, thì đường thẳng đó song song với mặt phẳng chứa đường thẳng kia. Vậy, MN song song với mặt phẳng (SCD).

Giải thích: Chúng ta phân tích từng mệnh đề: * **A. Nếu b // a thì b và a đồng phẳng.** Hai đường thẳng song song luôn xác định một mặt phẳng, nghĩa là chúng đồng phẳng. Mệnh đề này ĐÚNG. * **B. Nếu b cắt a thì b và a đồng phẳng.** Nếu đường thẳng b cắt đường thẳng a tại một điểm, thì hai đường thẳng đó đồng phẳng. Tuy nhiên, theo giả thiết, đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) và không nằm trong (P). Đường thẳng b nằm trong (P). Nếu b cắt a, điều đó có nghĩa là a phải cắt (P) (tại giao điểm của a và b). Điều này mâu thuẫn với giả thiết a // (P). Do đó, b không thể cắt a. Mệnh đề này SAI vì nó đưa ra một điều kiện không thể xảy ra. * **C. Nếu b chéo a thì b và a không đồng phẳng.** Hai đường thẳng chéo nhau theo định nghĩa là hai đường thẳng không song song và không cắt nhau, và chúng không nằm trong cùng một mặt phẳng. Mệnh đề này ĐÚNG. * **D. Không có đường thẳng nào trong (P) cắt a.** Vì a // (P) và a không nằm trong (P), nên a không có điểm chung nào với (P). Do đó, a không thể cắt bất kỳ đường thẳng nào nằm trong (P). Mệnh đề này ĐÚNG. Vậy, mệnh đề SAI là B.

Giải thích: Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD. Theo giả thiết, MN // AB. Từ đó suy ra MN // CD (tính chất bắc cầu của quan hệ song song). Vì đường thẳng CD nằm trong mặt phẳng (SCD) và đường thẳng MN không nằm trong mặt phẳng (SCD) (do M không thuộc (SCD)), nên MN song song với mặt phẳng (SCD).

Giải thích: Để chứng minh mặt phẳng (ABC) song song với mặt phẳng (A'B'C'), ta cần chứng minh rằng có hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng này song song với mặt phẳng kia. Trong hình lăng trụ ABC.A'B'C': 1. Các cạnh bên của hình lăng trụ song song với nhau, ví dụ AA' // BB' và BB' // CC'. 2. Theo tính chất của hình lăng trụ, các cạnh tương ứng của hai mặt đáy song song, tức là A'B' // AB, A'C' // AC và B'C' // BC. Xét mặt phẳng (A'B'C'): * Đường thẳng A'B' song song với đường thẳng AB. Mà đường thẳng AB nằm trong mặt phẳng (ABC). Do đó A'B' // (ABC). * Đường thẳng A'C' song song với đường thẳng AC. Mà đường thẳng AC nằm trong mặt phẳng (ABC). Do đó A'C' // (ABC). Vì hai đường thẳng A'B' và A'C' cắt nhau tại A' và cùng song song với mặt phẳng (ABC), nên mặt phẳng (A'B'C') song song với mặt phẳng (ABC).

Giải thích: Vì hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau, chúng không có điểm chung. Nếu một đường thẳng Δ cắt mặt phẳng (P), điều đó có nghĩa là Δ xuyên qua mặt phẳng (P). Do (P) và (Q) song song và không có điểm chung, đường thẳng Δ không thể song song với (Q) và cũng không thể nằm trong (Q). Do đó, đường thẳng Δ phải cắt mặt phẳng (Q).

Giải thích: Để chứng minh MNPQ là hình bình hành, ta sẽ chứng minh các cặp cạnh đối của nó song song. 1. Vì mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (SAB) cắt (α) theo giao tuyến MN, cắt (ABCD) theo giao tuyến AB, nên MN // AB (tính chất giao tuyến của hai mặt phẳng song song bị cắt bởi mặt phẳng thứ ba). 2. Tương tự, mặt phẳng (SCD) cắt (α) theo giao tuyến PQ, cắt (ABCD) theo giao tuyến CD. Do đó PQ // CD. 3. Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD. Từ MN // AB và PQ // CD, suy ra MN // PQ (tính chất bắc cầu). 4. Mặt phẳng (SAD) cắt (α) theo giao tuyến MQ, cắt (ABCD) theo giao tuyến AD. Do đó MQ // AD. 5. Mặt phẳng (SBC) cắt (α) theo giao tuyến NP, cắt (ABCD) theo giao tuyến BC. Do đó NP // BC. 6. Vì ABCD là hình bình hành nên AD // BC. Từ MQ // AD và NP // BC, suy ra MQ // NP (tính chất bắc cầu). Từ các kết quả trên, tứ giác MNPQ có các cặp cạnh đối song song (MN // PQ và MQ // NP), do đó MNPQ là hình bình hành.

Giải thích: 1. Trong tam giác ABC, vì M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA, nên tam giác MNP là tam giác trung bình của tam giác ABC. Điều này có nghĩa là mặt phẳng (MNP) chứa tam giác MNP và nằm hoàn toàn trong mặt phẳng (ABC). 2. Theo tính chất của hình lăng trụ, hai mặt đáy (ABC) và (A'B'C') song song với nhau. 3. Vì mặt phẳng (MNP) nằm trong mặt phẳng (ABC), và mặt phẳng (ABC) song song với mặt phẳng (A'B'C'), nên mặt phẳng (MNP) cũng song song với mặt phẳng (A'B'C'). (Một mặt phẳng nằm trong một mặt phẳng khác và mặt phẳng đó song song với một mặt phẳng thứ ba thì mặt phẳng ban đầu cũng song song với mặt phẳng thứ ba, trừ trường hợp trùng nhau. Ở đây, (MNP) không thể trùng với (A'B'C') vì nó nằm trong mặt đáy dưới).

Giải thích: Theo định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng: Nếu hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) song song với nhau, và mặt phẳng (R) cắt (P) theo giao tuyến a, thì (R) cũng phải cắt (Q) theo một giao tuyến b. Hơn nữa, hai giao tuyến a và b phải song song với nhau. Do đó, đáp án đúng là B.

Giải thích: Phép chiếu song song có các tính chất cơ bản sau:
1. Biến đường thẳng thành đường thẳng (hoặc điểm).
2. Biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau).
3. Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
4. Tỉ số độ dài hai đoạn thẳng nằm trên một đường thẳng (hoặc trên hai đường thẳng song song) được bảo toàn.
5. Biến hình bình hành thành hình bình hành.

Giải thích: Để xác định vị trí tương đối của mặt phẳng (MNPQ) và mặt phẳng (ABCD), ta xét các đường thẳng trong (MNPQ):
1. MN là đường trung bình của tam giác SAB, suy ra MN // AB.
2. MQ là đường trung bình của tam giác SAD, suy ra MQ // AD.
Vì MN và MQ là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng (MNPQ), và chúng lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau AB và AD trong mặt phẳng (ABCD), nên theo định lý, mặt phẳng (MNPQ) song song với mặt phẳng (ABCD). Đáp án đúng là B.

Giải thích: Trong phép chiếu song song, hình biểu diễn của một hình bình hành là một hình bình hành. Vì các mặt của hình hộp là các hình bình hành, nên khi chiếu song song, chúng sẽ được biểu diễn là các hình bình hành trên mặt phẳng chiếu. Các cạnh song song của hình hộp vẫn được biểu diễn bằng các đoạn thẳng song song trên hình chiếu.

Giải thích: Vì mặt phẳng (P) đi qua M và song song với (ABCD), và M là trung điểm của SA, nên theo định lý Thales trong không gian (hoặc tính chất của thiết diện song song), mặt phẳng (P) sẽ tạo ra thiết diện MNPQ mà MNPQ đồng dạng với ABCD với tỉ số đồng dạng k = SM/SA = ¹/₂.
Cụ thể:
Trong ΔSAB, vì MN // AB và M là trung điểm SA, N là trung điểm SB. Do đó, MN = ¹/₂ AB.
Trong ΔSCD, vì PQ // CD và M là trung điểm SA, Q là trung điểm SD, P là trung điểm SC. Do đó, PQ = ¹/₂ CD.
Vậy, MN = ¹/₂ AB và PQ = ¹/₂ CD. Đáp án đúng là A.

Giải thích: Để hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau, điều kiện đủ là mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau a và b, đồng thời cả hai đường thẳng này đều song song với mặt phẳng (Q).
- Các phương án A, B không đủ vì hai đường thẳng đó có thể không cắt nhau hoặc nếu chúng song song thì mặt phẳng (P) vẫn có thể cắt (Q).
- Phương án D cũng không đủ vì hai mặt phẳng vẫn có thể cắt nhau.

Giải thích: Trong phép chiếu song song, tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng (hoặc hai đường thẳng song song) được bảo toàn. Vì M nằm trên AB và AM = ¹/₄ AB, nên ảnh M' sẽ nằm trên A'B' và A'M' = ¹/₄ A'B'. Do đó, tỉ số A'M'/A'B' = ¹/₄.

Giải thích: Theo định lí về mặt phẳng song song, qua một điểm không nằm trên một mặt phẳng cho trước, có duy nhất một mặt phẳng đi qua điểm đó và song song với mặt phẳng đã cho.

Giải thích: Phép chiếu song song biến các đường thẳng song song thành các đường thẳng song song. Vì hình chữ nhật có các cặp cạnh đối song song, nên ảnh của nó qua phép chiếu song song sẽ là một hình có các cặp cạnh đối song song. Do đó, ảnh của hình chữ nhật ABCD là một hình bình hành.

Giải thích: Xét tam giác ABC, MN là đường trung bình nên MN // BC. Do đó, MN // (BCD).
Xét tam giác ABD, M là trung điểm AB, P là điểm trên AD sao cho AP = ¹/₂ PD, tức là AD = 3AP. Vì vậy MP không song song với BD (theo định lí Talet đảo).
Vì MN // (BCD) nhưng MP không song song với (BCD) (do MP cắt mặt phẳng chứa BD), nên mặt phẳng (MNP) sẽ cắt mặt phẳng (BCD).
(Nếu P là trung điểm AD thì (MNP) sẽ song song với (BCD) nhưng ở đây P không phải trung điểm).

Giải thích: Để xác định độ dài đoạn AB, ta kẻ một đường vuông góc từ một điểm trên Δ đến mặt phẳng kia.
Gọi B' là hình chiếu vuông góc của B lên mặt phẳng (P). Khi đó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) chính là độ dài đoạn BB', tức là BB' = d.
Vì BB' ⊥ (P), nên tam giác ABB' là tam giác vuông tại B'.
Góc giữa đường thẳng Δ (đoạn AB) và mặt phẳng (P) chính là góc ∠BAB' = α.
Trong tam giác vuông ABB' tại B', ta có: sin α = (cạnh đối) / (cạnh huyền) = BB' / AB.
Thay BB' = d vào, ta được: sin α = d / AB.
Từ đó, suy ra AB = d / sin α.

Giải thích: Phép chiếu song song có tính chất bảo toàn tỉ số của ba điểm thẳng hàng.
Vì M là trung điểm của AB, nên ta có tỉ số AM/AB = ¹/₂.
Khi chiếu song song, ảnh M' của M sẽ là điểm nằm trên đoạn A'B' và cũng bảo toàn tỉ số này, tức là A'M'/A'B' = AM/AB.
Do đó, A'M'/A'B' = ¹/₂.
Với A'B' = 12 cm, ta có A'M' = ¹/₂ × 12 = 6 cm.

Giải thích: Đây là nội dung của Định lý Thales trong không gian, hay còn gọi là định lý về các đoạn thẳng chắn bởi ba mặt phẳng song song.
Định lý phát biểu rằng: Nếu ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ với nhau.
Cụ thể, trên đường thẳng d, ta có các đoạn AB và BC. Trên đường thẳng d', ta có các đoạn A'B' và B'C'. Định lý Thales khẳng định tỉ số AB/BC sẽ bằng tỉ số A'B'/B'C'.

Giải thích: Các tính chất cơ bản của phép chiếu song song là:
A. Biến đường thẳng thành đường thẳng (hoặc một điểm nếu đường thẳng đó song song với phương chiếu). Mệnh đề A là đúng.
B. Biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau nếu chúng song song với phương chiếu). Mệnh đề B là đúng.
D. Bảo toàn tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng (hoặc trên hai đường thẳng song song). Mệnh đề D là đúng.
Mệnh đề C là SAI vì phép chiếu song song nói chung không bảo toàn độ dài của đoạn thẳng. Độ dài của ảnh có thể dài hơn, ngắn hơn hoặc bằng độ dài gốc tùy thuộc vào góc giữa đoạn thẳng và mặt phẳng chứa nó với mặt phẳng chiếu, cũng như phương chiếu. Chỉ trong trường hợp đoạn thẳng song song với mặt phẳng chiếu và phương chiếu không song song với đoạn thẳng đó thì độ dài của ảnh mới bằng độ dài gốc.

Giải thích: Để chứng minh mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (BCD), ta cần chứng minh mặt phẳng (MNP) chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này đều song song với mặt phẳng (BCD).

1. Xét đường thẳng MN:
- Trong tam giác ABC, M là trung điểm của AB và N là trung điểm của AC.
- Theo tính chất đường trung bình trong tam giác, MN song song với BC.
- Vì BC nằm trong mặt phẳng (BCD), suy ra MN song song với mặt phẳng (BCD).

2. Xét đường thẳng MP:
- Trong tam giác ABD, M là trung điểm của AB và P là trung điểm của AD.
- Theo tính chất đường trung bình trong tam giác, MP song song với BD.
- Vì BD nằm trong mặt phẳng (BCD), suy ra MP song song với mặt phẳng (BCD).

3. Kết luận:
- Mặt phẳng (MNP) chứa hai đường thẳng MN và MP.
- Hai đường thẳng MN và MP cắt nhau tại M.
- Cả hai đường thẳng MN và MP đều song song với mặt phẳng (BCD).
- Theo định lý về điều kiện để hai mặt phẳng song song, nếu một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này lần lượt song song với một mặt phẳng khác, thì hai mặt phẳng đó song song với nhau.
- Vậy, mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (BCD).