30 câu Toán Học Lớp 9 – Chương VIII. Xác suất của biến cố trong một số mô hình xác suất đơn giản

Giải thích: Không gian mẫu Ω = {1, 2, 3, 4, 5}. Các số lẻ trong không gian mẫu là {1, 3, 5}. Vậy biến cố A = {1, 3, 5}. Số phần tử của biến cố A là 3.

Giải thích: Khi gieo một con xúc xắc 6 mặt cân đối, các kết quả có thể xảy ra là các mặt có số chấm từ 1 đến 6. Do đó, không gian mẫu Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Giải thích: Không gian mẫu Ω khi gieo hai đồng xu là: {SS, SN, NS, NN}, với S là mặt sấp, N là mặt ngửa. Tổng cộng có 4 kết quả có thể xảy ra.
Biến cố A: "Có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa" bao gồm các kết quả: {SN, NS, NN}. Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố A.
Xác suất của biến cố A là P(A) = (Số kết quả thuận lợi cho A) / (Tổng số kết quả có thể) = ³/₄.

Giải thích: Tổng số viên bi trong hộp là: 4 (xanh) + 3 (đỏ) + 3 (vàng) = 10 viên.
Số viên bi xanh là 4.
Xác suất để lấy được viên bi xanh là: P(bi xanh) = (Số bi xanh) / (Tổng số bi) = ⁴/₁₀ = ²/₅.

Giải thích: Không gian mẫu Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Tổng cộng có 10 kết quả có thể xảy ra.
Các số nguyên tố từ 1 đến 10 là các số chỉ có hai ước là 1 và chính nó. Đó là: {2, 3, 5, 7}.
Có 4 số nguyên tố trong các số từ 1 đến 10.
Xác suất để rút được tấm thẻ ghi số nguyên tố là: P = (Số số nguyên tố) / (Tổng số thẻ) = ⁴/₁₀ = ²/₅.

Giải thích: Mỗi lần gieo một đồng xu cân đối có 2 kết quả có thể xảy ra (Sấp hoặc Ngửa). Khi gieo ba lần liên tiếp, số phần tử của không gian mẫu Ω là 2 × 2 × 2 = 8. Các kết quả cụ thể là: SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN (trong đó S là mặt sấp, N là mặt ngửa).

Giải thích: Tổng số viên bi trong hộp là 7 (bi trắng) + 5 (bi đen) = 12 viên bi. Số viên bi trắng là 7. Xác suất để lấy được viên bi trắng là số viên bi trắng chia cho tổng số viên bi: P(bi trắng) = ⁷/₁₂.

Giải thích: Các quả bóng được đánh số từ 1 đến 8 là {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Biến cố A là 'Rút được quả bóng ghi số lớn hơn 5'. Các số lớn hơn 5 trong tập hợp này là 6, 7, 8. Vậy, các phần tử của biến cố A là {6, 7, 8}.

Giải thích: Khi gieo một con xúc xắc 6 mặt hai lần liên tiếp, không gian mẫu Ω có 6 × 6 = 36 phần tử (các cặp số (a, b) với a, b ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}).
Các tổng số chấm có thể có là từ 1+1=2 đến 6+6=12.
Các số nguyên tố trong khoảng [2, 12] là: 2, 3, 5, 7, 11.
Gọi A là biến cố 'Tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt là số nguyên tố'. Ta liệt kê các kết quả thuận lợi cho A:
- Tổng là 2: (1, 1) - có 1 cách.
- Tổng là 3: (1, 2), (2, 1) - có 2 cách.
- Tổng là 5: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) - có 4 cách.
- Tổng là 7: (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) - có 6 cách.
- Tổng là 11: (5, 6), (6, 5) - có 2 cách.
Tổng số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: 1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15 cách.
Xác suất của biến cố A là P(A) = ^{(Số kết quả thuận lợi cho A)}/_{(Tổng số kết quả có thể)} = ¹⁵/₃₆ = ⁵/₁₂.

Giải thích: Tổng số học sinh trong lớp là 25 học sinh. Số học sinh nữ là 15 học sinh. Khi chọn ngẫu nhiên 1 học sinh, số kết quả có thể là 25. Số kết quả thuận lợi cho biến cố 'học sinh được chọn là nữ' là 15. Vậy, xác suất để học sinh được chọn là nữ là P(nữ) = ¹⁵/₂₅ = ³/₅.

Giải thích: Không gian mẫu Ω khi gieo một con xúc xắc 6 mặt là {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Biến cố A: "Số chấm xuất hiện trên mặt trên là số chia hết cho 3" bao gồm các kết quả {3, 6}.
Vậy, số phần tử của biến cố A là 2.

Giải thích: Tổng số bi trong hộp là 6 (xanh) + 4 (đỏ) = 10 viên bi.
Số cách chọn ngẫu nhiên 2 viên bi từ 10 viên bi là C(10, 2) = (10 × 9) / (2 × 1) = 45 cách. Đây là số phần tử của không gian mẫu Ω.

Biến cố A: "Lấy được 2 viên bi cùng màu".
Để lấy được 2 viên bi cùng màu, có hai trường hợp:
1. Chọn 2 viên bi màu xanh: Số cách chọn là C(6, 2) = (6 × 5) / (2 × 1) = 15 cách.
2. Chọn 2 viên bi màu đỏ: Số cách chọn là C(4, 2) = (4 × 3) / (2 × 1) = 6 cách.
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 15 + 6 = 21 cách.

Xác suất của biến cố A là P(A) = (Số kết quả thuận lợi) / (Tổng số kết quả có thể) = 21/45.
Rút gọn phân số, ta được 21/45 = 7/15.

Giải thích: Mỗi lần gieo một đồng xu cân đối có 2 kết quả có thể xảy ra (Sấp hoặc Ngửa).
Khi gieo đồng xu 4 lần liên tiếp, số kết quả có thể xảy ra trong không gian mẫu là 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁴ = 16.

Giải thích: Tổng số học sinh là 7 (nam) + 5 (nữ) = 12 học sinh.
Số cách chọn ngẫu nhiên 2 học sinh từ 12 học sinh là C(12, 2) = (12 × 11) / (2 × 1) = 66 cách. Đây là số phần tử của không gian mẫu Ω.

Biến cố A: "Chọn được 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ".
Số cách chọn 1 học sinh nam từ 7 học sinh nam là C(7, 1) = 7 cách.
Số cách chọn 1 học sinh nữ từ 5 học sinh nữ là C(5, 1) = 5 cách.
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 7 × 5 = 35 cách.

Xác suất của biến cố A là P(A) = (Số kết quả thuận lợi) / (Tổng số kết quả có thể) = 35/66.

Giải thích: Không gian mẫu Ω bao gồm các ô số {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Số phần tử của không gian mẫu là 8.
Biến cố A: "Mũi tên dừng lại ở ô ghi số lớn hơn 6". Các kết quả thuận lợi cho biến cố A là {7, 8}. Số phần tử của biến cố A là 2.
Xác suất của biến cố A là P(A) = (Số kết quả thuận lợi) / (Tổng số kết quả có thể) = 2/8 = 1/4.

Giải thích: Khi gieo một đồng xu cân đối, có 2 kết quả có thể xảy ra (Mặt ngửa hoặc Mặt sấp).
Khi gieo một con xúc xắc 6 mặt cân đối, có 6 kết quả có thể xảy ra (1, 2, 3, 4, 5 hoặc 6 chấm).
Vì đây là hai phép thử độc lập, số phần tử của không gian mẫu Ω là tích số kết quả của từng phép thử: 2 × 6 = 12.

Giải thích: Tổng số quả bóng trong hộp là 15.
Số quả bóng màu đỏ là 5.
Số quả bóng màu xanh là 4.
Số quả bóng màu vàng là: 15 - 5 - 4 = 6 (quả).
Gọi A là biến cố "Lấy được quả bóng màu vàng".
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 6.
Tổng số kết quả có thể xảy ra là 15.
Xác suất của biến cố A là P(A) = (Số kết quả thuận lợi) / (Tổng số kết quả) = 6/15 = 2/5.

Giải thích: Tổng số các số tự nhiên từ 1 đến 20 là 20 số. Do đó, số phần tử của không gian mẫu Ω là n(Ω) = 20.
Gọi A là biến cố "Số được chọn là số chẵn và là bội của 3".
Một số vừa là số chẵn vừa là bội của 3 thì số đó phải là bội của 6 (vì 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau).
Các số là bội của 6 trong khoảng từ 1 đến 20 là: 6, 12, 18.
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là n(A) = 3.
Xác suất của biến cố A là P(A) = n(A) / n(Ω) = 3/20.

Giải thích: Tổng số học sinh trong lớp là 30.
Số học sinh giỏi là 12.
Số học sinh không phải là học sinh giỏi (tức là học sinh khá hoặc trung bình) là: 10 (học sinh khá) + 8 (học sinh trung bình) = 18 học sinh.
Gọi A là biến cố "Học sinh được chọn không phải là học sinh giỏi".
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 18.
Tổng số kết quả có thể xảy ra là 30.
Xác suất của biến cố A là P(A) = (Số kết quả thuận lợi) / (Tổng số kết quả) = 18/30 = 3/5.

Giải thích: Tổng số viên bi trong hộp là: 5 (đỏ) + 3 (xanh) = 8 viên bi.
Số cách chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi từ 8 viên bi là: C(8,2) = (8 × 7) / (2 × 1) = 28 cách. Đây là số phần tử của không gian mẫu n(Ω).
Gọi A là biến cố "Lấy được ít nhất một viên bi đỏ".
Biến cố đối của A là Ā: "Không lấy được viên bi đỏ nào", tức là cả 2 viên bi lấy được đều là bi xanh.
Số cách chọn 2 viên bi xanh từ 3 viên bi xanh là: C(3,2) = (3 × 2) / (2 × 1) = 3 cách. Đây là số kết quả thuận lợi cho biến cố Ā.
Xác suất của biến cố Ā là P(Ā) = n(Ā) / n(Ω) = 3/28.
Xác suất của biến cố A là P(A) = 1 - P(Ā) = 1 - 3/28 = 25/28.

Giải thích: Đây là một bài toán chọn có thứ tự (chỉnh hợp).
Chúng ta có 4 chữ cái: V, I, E, T.
Chọn 2 chữ cái khác nhau và xếp theo thứ tự.
Số cách chọn chữ cái thứ nhất là 4.
Số cách chọn chữ cái thứ hai (khác chữ cái thứ nhất) là 3.
Vậy, số phần tử của không gian mẫu là 4 × 3 = 12.
Hoặc sử dụng công thức chỉnh hợp: P(n, k) = n! / (n-k)!
P(4, 2) = 4! / (4-2)! = 4! / 2! = (4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1) = 12.

Giải thích: Không gian mẫu của phép thử gieo xúc xắc là Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Biến cố A: "Số chấm xuất hiện là số lẻ". Các phần tử của A là A = {1, 3, 5}.
Biến cố B: "Số chấm xuất hiện là ước của 6". Các ước của 6 là 1, 2, 3, 6. Vậy các phần tử của B là B = {1, 2, 3, 6}.
Biến cố A ∩ B (A giao B) là biến cố mà cả A và B đều xảy ra, tức là số chấm xuất hiện vừa là số lẻ, vừa là ước của 6.
Các phần tử chung của A và B là {1, 3}.
Vậy, A ∩ B = {1, 3}.

Giải thích: Tổng số bi trong túi là 6 (xanh) + 4 (đỏ) = 10 viên.
Số cách chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi từ 10 viên bi là số phần tử của không gian mẫu:
n(Ω) = C(10, 2) = ^{10 × 9}/₂ = 45 cách.
Gọi A là biến cố "2 viên bi được chọn có màu khác nhau" (tức là 1 bi xanh và 1 bi đỏ).
Số cách chọn 1 viên bi xanh từ 6 viên bi xanh là C(6, 1) = 6 cách.
Số cách chọn 1 viên bi đỏ từ 4 viên bi đỏ là C(4, 1) = 4 cách.
Số cách chọn 2 viên bi có màu khác nhau là n(A) = C(6, 1) × C(4, 1) = 6 × 4 = 24 cách.
Xác suất của biến cố A là P(A) = ^n(A)/_n(Ω) = ²⁴/₄₅ = ⁸/₁₅.

Giải thích: Tổng số bi trong hộp là 15 viên.
Xác suất để lấy ngẫu nhiên một viên bi ra khỏi hộp là bi vàng là ¹/₅.
Số bi vàng = Tổng số bi × Xác suất lấy bi vàng = 15 × ¹/₅ = 3 viên.
Số bi còn lại (bi xanh và bi đỏ) = Tổng số bi - Số bi vàng = 15 - 3 = 12 viên.
Theo đề bài, số bi xanh gấp đôi số bi đỏ.
Gọi số bi đỏ là x. Thì số bi xanh là 2x.
Tổng số bi xanh và bi đỏ là x + 2x = 3x.
Ta có phương trình: 3x = 12.
Giải phương trình, ta được x = ¹²/₃ = 4.
Vậy, trong hộp có 4 viên bi đỏ.

Giải thích: Tổng số học sinh trong lớp là 40.
Số học sinh nam là 15.
Số học sinh nữ là 40 - 15 = 25.
Số cách chọn ngẫu nhiên 3 học sinh từ 40 học sinh là số phần tử của không gian mẫu:
n(Ω) = C(40, 3) = ^{40 × 39 × 38}/_{3 × 2 × 1} = 40 × 13 × 19 = 9880 cách.
Gọi A là biến cố "Trong 3 học sinh được chọn có ít nhất một học sinh nữ".
Để tính xác suất của biến cố A, ta có thể sử dụng biến cố đối Ā: "Không có học sinh nữ nào được chọn" (tức là cả 3 học sinh được chọn đều là nam).
Số cách chọn 3 học sinh nam từ 15 học sinh nam là:
n(Ā) = C(15, 3) = ^{15 × 14 × 13}/_{3 × 2 × 1} = 5 × 7 × 13 = 455 cách.
Xác suất của biến cố đối Ā là P(Ā) = ^n(Ā)/_n(Ω) = ⁴⁵⁵/₉₈₈₀.
Rút gọn phân số: ⁴⁵⁵/₉₈₈₀ = ^{(5 × 91)}/_{(5 × 1976)} = ⁹¹/₁₉₇₆.
Xác suất của biến cố A là P(A) = 1 - P(Ā) = 1 - ⁹¹/₁₉₇₆ = ^{1976 - 91}/₁₉₇₆ = ¹⁸⁸⁵/₁₉₇₆.

Giải thích: Các kết quả có thể xảy ra khi lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 thẻ (không hoàn lại) từ 3 thẻ được đánh số 1, 2, 3 là các cặp số có thứ tự (thẻ thứ nhất, thẻ thứ hai) và các thẻ phải khác nhau:

• Lần 1 lấy thẻ số 1, lần 2 có thể lấy thẻ số 2 hoặc số 3: (1, 2), (1, 3)
• Lần 1 lấy thẻ số 2, lần 2 có thể lấy thẻ số 1 hoặc số 3: (2, 1), (2, 3)
• Lần 1 lấy thẻ số 3, lần 2 có thể lấy thẻ số 1 hoặc số 2: (3, 1), (3, 2)

Vậy, không gian mẫu Ω gồm các phần tử: {(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2)}. Số phần tử của không gian mẫu Ω là 6. Đây chính là số chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử, A²₃ = 3 × 2 = 6.

Giải thích:

• Tổng số thẻ trong hộp là 5 (xanh) + 7 (đỏ) = 12 thẻ.
• Số cách chọn ngẫu nhiên đồng thời 3 thẻ từ 12 thẻ là C³₁₂ = ^{(12 × 11 × 10)}/_{(3 × 2 × 1)} = 2 × 11 × 10 = 220 cách. Đây là số phần tử của không gian mẫu Ω.
• Gọi A là biến cố 'Trong 3 thẻ được chọn có đúng 2 thẻ đỏ'.
• Để chọn được đúng 2 thẻ đỏ, ta cần:
• Chọn 2 thẻ đỏ từ 7 thẻ đỏ: C²₇ = ^{(7 × 6)}/₂ = 21 cách.
• Chọn 1 thẻ xanh từ 5 thẻ xanh: C¹₅ = 5 cách.
• Số phần tử của biến cố A là n(A) = C²₇ × C¹₅ = 21 × 5 = 105 cách.
• Xác suất của biến cố A là P(A) = ^n(A)/_n(Ω) = ¹⁰⁵/₂₂₀.
• Rút gọn phân số: ¹⁰⁵/₂₂₀ = ^{(5 × 21)}/_{(5 × 44)} = ²¹/₄₄.

Giải thích:

• Không gian mẫu của phép thử gieo con xúc xắc 6 mặt là Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
• Biến cố A: 'Số chấm xuất hiện là số chẵn'. Các phần tử của A là A = {2, 4, 6}.
• Biến cố B: 'Số chấm xuất hiện là số lớn hơn 3'. Các phần tử của B là B = {4, 5, 6}.
• Biến cố A ∪ B (A hợp B) là biến cố 'Số chấm xuất hiện là số chẵn HOẶC số lớn hơn 3'.
• Để tìm các phần tử của A ∪ B, ta lấy tất cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B (hoặc cả hai).
• A ∪ B = {2, 4, 6} ∪ {4, 5, 6} = {2, 4, 5, 6}.

Giải thích:

• Tháng 3 có 31 ngày (từ ngày 1 đến ngày 31). Do đó, số phần tử của không gian mẫu Ω là n(Ω) = 31.
• Gọi A là biến cố 'Ngày được chọn là ngày chẵn và là số lớn hơn 15'.
• Các ngày trong tháng 3 thỏa mãn cả hai điều kiện trên là: 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30.
• Số phần tử của biến cố A là n(A) = 8.
• Xác suất của biến cố A là P(A) = ^n(A)/_n(Ω) = ⁸/₃₁.

Giải thích:

• Tổng số giáo viên trong trường là 12 (Toán) + 10 (Văn) + 8 (Tiếng Anh) = 30 giáo viên.
• Số cách chọn ngẫu nhiên 2 giáo viên từ 30 giáo viên là C²₃₀ = ^{(30 × 29)}/₂ = 15 × 29 = 435 cách. Đây là số phần tử của không gian mẫu Ω.
• Gọi A là biến cố '2 giáo viên được chọn dạy cùng một môn học'. Để biến cố A xảy ra, có 3 trường hợp:
• Chọn 2 giáo viên dạy Toán từ 12 giáo viên Toán: C²₁₂ = ^{(12 × 11)}/₂ = 66 cách.
• Chọn 2 giáo viên dạy Văn từ 10 giáo viên Văn: C²₁₀ = ^{(10 × 9)}/₂ = 45 cách.
• Chọn 2 giáo viên dạy Tiếng Anh từ 8 giáo viên Tiếng Anh: C²₈ = ^{(8 × 7)}/₂ = 28 cách.
• Tổng số cách để biến cố A xảy ra là n(A) = 66 + 45 + 28 = 139 cách.
• Xác suất của biến cố A là P(A) = ^n(A)/_n(Ω) = ¹³⁹/₄₃₅.