30 câu Toán Học Lớp 9 – Chương IV. Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Giải thích: Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC, ta có BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Suy ra BC = √25 = 5cm.
Tỉ số lượng giác của góc nhọn C được định nghĩa là sinC = cạnh đối/cạnh huyền = AB/BC = 3/5.

Giải thích: Trong tam giác vuông ABC tại A, ta có:
AB = BC × sinC
AB = 10 × sin30°
AB = 10 × 0.5
AB = 5cm.

Giải thích: Trong tam giác vuông ABC có đường cao AH, ta có hệ thức: AH² = BH × HC.
Thay số vào, ta được: AH² = 4 × 9 = 36.
Suy ra AH = √36 = 6cm.

Giải thích: Vì α là góc nhọn nên cosα > 0.
Ta có công thức sin²α + cos²α = 1.
Suy ra cos²α = 1 - sin²α = 1 - (³/₅)² = 1 - ⁹/₂₅ = ¹⁶/₂₅.
Do đó, cosα = √ (¹⁶/₂₅) = ⁴/₅.
Giá trị của tanα được tính bằng công thức tanα = sinα / cosα = (³/₅) / (⁴/₅) = ³/₄.

Giải thích: Gọi h là chiều cao cột điện (h = 15m) và L là độ dài bóng của cột điện (L = 15√3 m).
Gọi α là góc tạo bởi tia nắng mặt trời và mặt đất (góc nâng).
Trong tam giác vuông tạo bởi cột điện, bóng của nó và tia nắng mặt trời, ta có:
tanα = cạnh đối / cạnh kề = h / L
tanα = 15 / (15√3) = 1/√3.
Vì tanα = 1/√3, suy ra α = 30°.

Giải thích: Ta có hệ thức cơ bản sin²α + cos²α = 1.
Thay cosα = ⁴/₅ vào, ta được:
sin²α + (⁴/₅)² = 1
sin²α + ¹⁶/₂₅ = 1
sin²α = 1 - ¹⁶/₂₅
sin²α = ²⁵/₂₅ - ¹⁶/₂₅
sin²α = ⁹/₂₅
Vì α là góc nhọn nên sinα > 0.
Vậy sinα = √⁹/₂₅ = ³/₅.

Giải thích: Trong tam giác MNP vuông tại M, ta có tỉ số lượng giác của góc P là:
tanP = ^{cạnh đối}/_{cạnh kề} = ^MN/_MP
Thay số vào: tanP = ⁶/_6√3 = ¹/_√3
Mà tan30° = ¹/_√3.
Vậy, số đo góc P là 30°.

Giải thích: Trong tam giác DEF vuông tại D, ta có thể tính độ dài cạnh huyền EF bằng định lí Pythagore:
EF² = DE² + DF²
EF² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
EF = √100 = 10cm.
Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông: Tích hai cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền và đường cao tương ứng.
DE × DF = EF × DH
6 × 8 = 10 × DH
48 = 10 × DH
DH = ⁴⁸/₁₀ = 4.8cm.

Giải thích: Gọi chiều dài của thang là L = 8m.
Gọi khoảng cách từ chân thang đến tường là D = 4m.
Gọi góc tạo bởi thang và mặt đất là α.
Trong tam giác vuông được tạo bởi thang, tường và mặt đất, ta có:
cosα = ^{cạnh kề}/_{cạnh huyền} = ^D/_L
cosα = ⁴/₈ = ¹/₂
Từ đó, ta suy ra α = 60°.

Giải thích: Ta có các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt:
sin30° = ¹/₂
cos60° = ¹/₂
tan45° = 1
Thay các giá trị này vào biểu thức A:
A = 2 × (¹/₂) + 3 × (¹/₂) - 1
A = 1 + ³/₂ - 1
A = ³/₂

Giải thích: Trong tam giác vuông ABC tại A, hai góc nhọn B và C là hai góc phụ nhau. Do đó, ta có hệ thức sinB = cosC. Vì sinB = 0.6, nên cosC = 0.6.

Giải thích: Trong tam giác vuông MNP tại M, ta có: cosP = MP / NP. Từ đó, MP = NP × cosP. Thay số: MP = 12 × cos60° = 12 × 0.5 = 6cm. Vậy độ dài cạnh MP là 6.0cm.

Giải thích: Trong tam giác vuông ABC có đường cao AH, ta có hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền: AB² = BH × BC. Thay số: AB² = 3.6 × 10 = 36. Lấy căn bậc hai, ta được AB = √36 = 6cm.

Giải thích: Ta có cotα = cosα/sinα = 2, suy ra cosα = 2sinα. Áp dụng hệ thức cơ bản sin²α + cos²α = 1, ta thay cosα = 2sinα vào: sin²α + (2sinα)² = 1 sin²α + 4sin²α = 1 5sin²α = 1 sin²α = 1/5 Vì α là góc nhọn nên sinα > 0, vậy sinα = √(1/5) = 1/√5 = √5/5. Từ đó, cosα = 2sinα = 2√5/5. Giá trị của biểu thức A = sinα + cosα = √5/5 + 2√5/5 = 3√5/5. Sử dụng máy tính, 3√5/5 ≈ 3 × 2.236067977 / 5 ≈ 6.708203931 / 5 ≈ 1.341640786. Làm tròn đến 2 chữ số thập phân, ta được A ≈ 1.34.

Giải thích: Gọi h' là chiều cao từ tầm mắt người quan sát đến đỉnh cột cờ. Gọi d là khoảng cách từ người đến cột cờ, d = 20m. Góc nâng là 35°. Trong tam giác vuông tạo bởi mắt người, điểm trên cột cờ ngang tầm mắt và đỉnh cột cờ, ta có: tan35° = h' / d h' = d × tan35° = 20 × tan35°. Sử dụng máy tính: tan35° ≈ 0.7002. h' ≈ 20 × 0.7002 = 14.004 m. Chiều cao của cột cờ H là tổng của h' và chiều cao mắt người so với mặt đất. H = h' + 1.6m = 14.004 + 1.6 = 15.604 m. Làm tròn đến mét gần nhất, chiều cao cột cờ là 16m.

Giải thích: Vì α là góc nhọn nên 90° - α cũng là góc nhọn. Ta có hệ thức giữa các tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau: cos(90° - α) = sinα. Theo đề bài, cos(90° - α) = ³/₅, suy ra sinα = ³/₅. Dựa vào công thức sin²α + cos²α = 1, ta có: cos²α = 1 - sin²α = 1 - (³/₅)² = 1 - ⁹/₂₅ = ¹⁶/₂₅. Vì α là góc nhọn nên cosα > 0. Do đó, cosα = √¹⁶/₂₅ = ⁴/₅. Thay giá trị sinα và cosα vào biểu thức, ta được: 5sinα + 2cosα = 5 × ³/₅ + 2 × ⁴/₅ = 3 + ⁸/₅ = ¹⁵/₅ + ⁸/₅ = ²³/₅. Vậy giá trị của biểu thức là ²³/₅.

Giải thích: Gọi h là độ cao của khinh khí cầu so với mặt đất (h = 100m). Gọi x là khoảng cách từ điểm chiếu của khinh khí cầu xuống mặt đất đến người quan sát. Góc nâng là 40°. Trong tam giác vuông tạo bởi khinh khí cầu, điểm chiếu của nó trên mặt đất và vị trí người quan sát, ta có: tan(góc nâng) = Đối / Kề = h / x tan(40°) = 100 / x Suy ra x = 100 / tan(40°). Sử dụng máy tính, tan(40°) ≈ 0.8391. x ≈ 100 / 0.8391 ≈ 119.176. Làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất, ta được x ≈ 119.2m. Vậy khoảng cách từ điểm chiếu của khinh khí cầu xuống mặt đất đến người quan sát là khoảng 119.2 mét.

Giải thích: Trong tam giác vuông PQR vuông tại P, PH là đường cao. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có: PQ² = HQ × QR Thay số vào, ta được: 6² = 3.6 × QR 36 = 3.6 × QR QR = 36 / 3.6 = 10 cm. Độ dài đoạn HR là: HR = QR - HQ = 10 - 3.6 = 6.4 cm. Áp dụng hệ thức lượng cho cạnh góc vuông PR: PR² = HR × QR PR² = 6.4 × 10 = 64. PR = √64 = 8 cm. Vậy độ dài cạnh PR là 8cm.

Giải thích: Vì x là góc nhọn, ta có sinx = 0.8 = ⁴/₅. Sử dụng công thức sin²x + cos²x = 1, ta tìm cosx: cos²x = 1 - sin²x = 1 - (0.8)² = 1 - 0.64 = 0.36. Vì x là góc nhọn nên cosx > 0. Do đó, cosx = √0.36 = 0.6. Bây giờ, ta tính tanx và cotx: tanx = sinx / cosx = 0.8 / 0.6 = ⁸/₆ = ⁴/₃. cotx = cosx / sinx = 0.6 / 0.8 = ⁶/₈ = ³/₄. Giá trị của biểu thức A là: A = tanx - cotx = ⁴/₃ - ³/₄ = ¹⁶/₁₂ - ⁹/₁₂ = ⁷/₁₂. Chuyển sang dạng số thập phân và làm tròn đến 2 chữ số: ⁷/₁₂ ≈ 0.5833... Làm tròn đến hai chữ số thập phân, A ≈ 0.58. Vậy giá trị của biểu thức A là 0.58.

Giải thích: Gọi H là chiều cao của ngọn hải đăng (H = 50m). Gọi D là khoảng cách từ chân ngọn hải đăng đến con thuyền. Góc hạ (góc nhìn xuống) từ đỉnh hải đăng đến thuyền là 25°. Góc này bằng với góc nâng (góc nhìn lên) từ thuyền đến đỉnh hải đăng (hai góc so le trong). Trong tam giác vuông tạo bởi ngọn hải đăng, chân hải đăng và con thuyền, ta có: tan(góc nâng) = Đối / Kề = H / D tan(25°) = 50 / D Suy ra D = 50 / tan(25°). Sử dụng máy tính, tan(25°) ≈ 0.4663. D ≈ 50 / 0.4663 ≈ 107.226... Làm tròn đến mét gần nhất, ta được D ≈ 107m. Vậy khoảng cách từ chân ngọn hải đăng đến con thuyền là khoảng 107 mét.

Giải thích: Trong khoảng từ 0° đến 90° (góc nhọn): - Giá trị của sinα tăng khi α tăng. - Giá trị của cosα giảm khi α tăng. - Giá trị của tanα tăng khi α tăng. - Giá trị của cotα giảm khi α tăng. Do đó, khẳng định 'tanα tăng khi α tăng' là đúng.

Giải thích: Gọi T là đỉnh ngọn hải đăng, H là chân ngọn hải đăng. Chiều cao TH = 60m. - Khi nhìn thuyền A với góc hạ 45°, ta có góc THA = 45°. Trong tam giác vuông THA, ta có: HA = TH / tan(THA) = 60 / tan(45°) = 60 / 1 = 60m. - Khi nhìn thuyền B với góc hạ 30°, ta có góc THB = 30°. Trong tam giác vuông THB, ta có: HB = TH / tan(THB) = 60 / tan(30°) = 60 / (1/√3) = 60√3 m. Khoảng cách giữa hai thuyền A và B là AB = HB - HA = 60√3 - 60 = 60(√3 - 1) m. Thay √3 ≈ 1.732, ta có AB ≈ 60(1.732 - 1) = 60 × 0.732 = 43.92m. Làm tròn đến mét gần nhất, ta được 44m.

Giải thích: Trong tam giác vuông ABC có đường cao AH, ta có hệ thức: AH² = BH × CH Thay số: 12² = 9 × CH 144 = 9 × CH CH = 144 / 9 = 16cm. Độ dài cạnh huyền BC = BH + CH = 9 + 16 = 25cm. Áp dụng hệ thức liên quan đến cạnh góc vuông và hình chiếu: AC² = CH × BC AC² = 16 × 25 = 400 AC = √400 = 20cm.

Giải thích: Vì tam giác ABC cân tại A và H là trung điểm của BC, nên AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác ABC. Do đó, AH ⊥ BC. Tam giác AHB là tam giác vuông tại H. Ta có BH = BC / 2 = 12 / 2 = 6cm. Trong tam giác vuông AHB, áp dụng định lý Pytago: AH² + BH² = AB² AH² + 6² = 10² AH² + 36 = 100 AH² = 100 - 36 = 64 AH = √64 = 8cm. Giá trị của sinB trong tam giác vuông AHB là: sinB = Đối / Huyền = AH / AB = 8 / 10 = 0.8.

Giải thích: Trong tam giác ABC vuông tại A: Tổng ba góc trong tam giác là 180°, nên góc B = 180° - 90° - 30° = 60°. BD là đường phân giác của góc B, nên góc ABD = góc DBC = góc B / 2 = 60° / 2 = 30°. Xét tam giác ABD vuông tại A: Ta có tan(ABD) = AD / AB tan(30°) = AD / 6 AD = 6 × tan(30°) AD = 6 × (1/√3) = 6√3 / 3 = 2√3 cm.

Giải thích: Ta có tan70° = cot(90° - 70°) = cot20°.
Vậy, biểu thức A = tan20° ⋅ tan70° = tan20° ⋅ cot20°.
Vì tanα ⋅ cotα = 1 (với α là góc nhọn), nên tan20° ⋅ cot20° = 1.
Giá trị của biểu thức A là 1.

Giải thích: Gọi h là chiều cao mà đoạn đường dốc nâng lên so với mặt phẳng nằm ngang.
Chiều dài đoạn đường dốc là cạnh huyền của một tam giác vuông, và chiều cao h là cạnh đối diện với góc 12°.
Áp dụng tỉ số lượng giác sin, ta có: sin12° = h / 15.
Suy ra h = 15 ⋅ sin12°.
Sử dụng máy tính, sin12° ≈ 0.20791.
h ≈ 15 ⋅ 0.20791 ≈ 3.11865.
Làm tròn đến 2 chữ số thập phân, ta được h ≈ 3.12m.

Giải thích: 1. **Tính cạnh huyền BC:**
Trong tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Pythagore:
BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
BC = √100 = 10 cm.
2. **Tính đường cao AH:**
Trong tam giác vuông ABC, ta có hệ thức lượng: AB ⋅ AC = AH ⋅ BC.
Suy ra AH = (AB ⋅ AC) / BC = (6 ⋅ 8) / 10 = 48 / 10 = 4.8 cm.
3. **Tính độ dài AD:**
Trong tam giác vuông AHB (vuông tại H), HD là đường cao ứng với cạnh huyền AB (vì D là hình chiếu của H trên AB).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AHB: AH² = AD ⋅ AB.
Suy ra AD = AH² / AB = (4.8)² / 6 = 23.04 / 6 = 3.84 cm.

Giải thích: Gọi α là góc nghiêng của con đường so với mặt phẳng ngang.
Độ dốc 15% có nghĩa là tỉ số giữa chiều cao tăng thêm và quãng đường đi theo phương ngang là 15/100.
Trong một tam giác vuông, tỉ số này chính là tanα.
Vậy, tanα = 15 / 100 = 0.15.
Để tìm góc α, ta sử dụng hàm arctan (tan^-1):
α = arctan(0.15) ≈ 8.53076°.
Làm tròn đến độ gần nhất, ta được α ≈ 9°.

Giải thích: 1. **Kẻ đường cao:** Kẻ hai đường cao AH và BK từ A và B xuống đáy CD (H, K thuộc CD).
2. **Xác định các đoạn thẳng:** Vì ABCD là hình thang cân nên ABKH là hình chữ nhật và DH = KC.
Ta có HK = AB = 6cm.
Vì DH + HK + KC = CD, suy ra 2DH + HK = CD.
2DH + 6 = 12 => 2DH = 6 => DH = 3cm.
3. **Tính cạnh bên AD:**
Xét tam giác vuông AHD tại H. Ta có cosD = DH / AD.
Vì góc D = 60° và DH = 3cm, ta có:
cos60° = 3 / AD.
Mà cos60° = 1/2.
Vậy, 1/2 = 3 / AD => AD = 3 ⋅ 2 = 6cm.
Độ dài cạnh bên AD là 6cm.