30 câu Toán Học Lớp 12 – Chương 2. Vecto và hệ trục tọa độ trong không gian

Giải thích: Ta có AB + AD = AC (theo quy tắc hình bình hành).
Do đó, u = AC + AA'.
Vì ABCD.A'B'C'D' là hình lập phương, nên ACC'A' là hình chữ nhật.
Áp dụng quy tắc hình bình hành cho hình chữ nhật ACC'A', ta có AC + AA' = AC'.
Vậy u = AC'.
Độ dài của vecto u chính là độ dài đường chéo chính của hình lập phương.
Ta có AC = √(AB² + AD²) = √(a² + a²) = a√2.
Đường chéo chính AC' = √(AC² + CC'²) = √((a√2)² + a²) = √(2a² + a²) = √(3a²) = a√3.
Vậy |u| = a√3.

Giải thích: Để ABCD là hình bình hành, ta cần có vecto AB = vecto DC.
Tọa độ vecto AB = (0 - 1; 1 - (-2); 2 - 3) = (-1; 3; -1).
Gọi D có tọa độ (x_D; y_D; z_D).
Tọa độ vecto DC = (-1 - x_D; -1 - y_D; 1 - z_D).
Vì AB = DC nên ta có hệ phương trình:
-1 = -1 - x_D ⇒ x_D = 0
3 = -1 - y_D ⇒ y_D = -4
-1 = 1 - z_D ⇒ z_D = 2
Vậy tọa độ điểm D là (0; -4; 2).

Giải thích: Tích vô hướng của hai vecto a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂) được tính bằng công thức:
a.b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂.
Áp dụng vào bài toán, ta có:
a.b = (1)(2) + (2)(-1) + (-1)(3)
a.b = 2 - 2 - 3
a.b = -3.

Giải thích: Để chứng minh, ta có thể sử dụng phương pháp chèn điểm:
Ta có:
MN = MA + AD + DN (1)
MN = MB + BC + CN (2)
Cộng hai đẳng thức (1) và (2) vế theo vế, ta được:
2MN = (MA + MB) + (AD + BC) + (DN + CN)
Vì M là trung điểm của AB nên MA + MB = 0.
Vì N là trung điểm của CD nên DN + CN = 0 (hay ND + NC = 0).
Thay vào biểu thức trên, ta được:
2MN = 0 + (AD + BC) + 0
2MN = AD + BC
Vậy MN = ¹/₂(AD + BC).

Giải thích: Để tính diện tích tam giác ABC, ta sử dụng công thức: S_ABC = ¹/₂ |[AB, AC]|, với [AB, AC] là tích có hướng của hai vecto AB và AC.
1. Tính tọa độ vecto AB:
AB = (0 - 1; 2 - 0; 0 - 0) = (-1; 2; 0).
2. Tính tọa độ vecto AC:
AC = (0 - 1; 0 - 0; 3 - 0) = (-1; 0; 3).
3. Tính tích có hướng [AB, AC]:
[AB, AC] = ( (2)(3) - (0)(0); (0)(-1) - (-1)(3); (-1)(0) - (2)(-1) )
[AB, AC] = (6 - 0; 0 - (-3); 0 - (-2))
[AB, AC] = (6; 3; 2).
4. Tính độ dài của vecto tích có hướng:
|[AB, AC]| = √(6² + 3² + 2²) = √(36 + 9 + 4) = √49 = 7.
5. Diện tích tam giác ABC là:
S_ABC = ¹/₂ * 7 = 3.5.

Giải thích: Ta có AK = AC + CK.
Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên AC = AB + AD.
Vì K là trung điểm của CC' nên CK = ¹/₂CC'.
Mà CC' = AA' (do là các cạnh song song và bằng nhau của hình hộp).
Do đó CK = ¹/₂AA'.
Vậy AK = AB + AD + ¹/₂AA'.

Giải thích: Gọi M là điểm trên trục Oz. Khi đó M có tọa độ là (0; 0; z).
Theo đề bài, M cách đều hai điểm A(1, 2, 0) và B(-1, 0, 4), tức là MA = MB.
Điều này tương đương với MA² = MB².
MA² = (1 - 0)² + (2 - 0)² + (0 - z)² = 1² + 2² + (-z)² = 1 + 4 + z² = 5 + z².
MB² = (-1 - 0)² + (0 - 0)² + (4 - z)² = (-1)² + 0² + (4 - z)² = 1 + (16 - 8z + z²) = 17 - 8z + z².
Cho MA² = MB²:
5 + z² = 17 - 8z + z²
5 = 17 - 8z
8z = 17 - 5
8z = 12
z = ¹²/₈ = ³/₂.
Vậy tọa độ điểm M là (0; 0; ³/₂).

Giải thích: Hai vecto u và v vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0.
u.v = 0
(3)(m) + (-2)(1) + (1)(-4) = 0
3m - 2 - 4 = 0
3m - 6 = 0
3m = 6
m = 2.

Giải thích: Tọa độ trọng tâm G(x_G; y_G; z_G) của tam giác ABC được tính bằng công thức:
x_G = (x_A + x_B + x_C) / 3
y_G = (y_A + y_B + y_C) / 3
z_G = (z_A + z_B + z_C) / 3
Thay số vào:
x_G = (1 + 4 + (-2)) / 3 = (5 - 2) / 3 = 3 / 3 = 1.
y_G = (-3 + 0 + 6) / 3 = 3 / 3 = 1.
z_G = (2 + (-1) + 4) / 3 = (1 + 4) / 3 = 5 / 3.
Vậy tọa độ trọng tâm G là (1; 1; ⁵/₃).

Giải thích: Cosin góc giữa hai vecto a và b được tính bằng công thức:
cos(a, b) = (a.b) / (|a| . |b|)
1. Tính tích vô hướng a.b:
   a.b = (2)(0) + (-2)(3) + (1)(4) = 0 - 6 + 4 = -2.
2. Tính độ dài vecto a:
   |a| = √(2² + (-2)² + 1²) = √(4 + 4 + 1) = √9 = 3.
3. Tính độ dài vecto b:
   |b| = √(0² + 3² + 4²) = √(0 + 9 + 16) = √25 = 5.
4. Tính cosin góc:
   cos(a, b) = (-2) / (3 × 5) = ^-2/₁₅.

Giải thích: Ta có các mối quan hệ vecto trong hình lăng trụ và theo định nghĩa trung điểm: - vec(B'A') = vec(BA) (vì ABCD.A'B'C'D' là lăng trụ, nên đáy trên và đáy dưới song song và bằng nhau, các cạnh bên song song và bằng nhau). - M là trung điểm của BC, nên vec(AM) = ¹/₂(vec(AB) + vec(AC)). - M là trung điểm của BC, nên vec(CM) = ¹/₂vec(CB). Ta cũng biết vec(CB) = vec(AB) - vec(AC). Do đó, vec(CM) = ¹/₂(vec(AB) - vec(AC)). Bây giờ, ta tính tổng các vecto: vec(AM) + vec(B'A') + vec(CM) = [¹/₂(vec(AB) + vec(AC))] + [-vec(AB)] + [¹/₂(vec(AB) - vec(AC))] = ¹/₂vec(AB) + ¹/₂vec(AC) - vec(AB) + ¹/₂vec(AB) - ¹/₂vec(AC) = (¹/₂ - 1 + ¹/₂)vec(AB) + (¹/₂ - ¹/₂)vec(AC) = 0 * vec(AB) + 0 * vec(AC) = vec(0). Vậy, tổng các vecto đã cho bằng vecto không.

Giải thích: Điểm B đối xứng với A(x_A, y_A, z_A) qua mặt phẳng (Oxy) sẽ có tọa độ là B(x_A, y_A, -z_A). Với điểm A(2, -1, 3), tọa độ điểm B đối xứng với A qua mặt phẳng (Oxy) là B(2, -1, -3).

Giải thích: Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vecto vec(AB) và vec(AC) (hoặc vec(BC)) cùng phương với nhau. Đầu tiên, tính tọa độ của vecto vec(AB) và vec(AC): - vec(AB) = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (3 - 1; 0 - 2; 2 - (-1)) = (2; -2; 3). - vec(AC) = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (m - 1; n - 2; 4 - (-1)) = (m - 1; n - 2; 5). Để vec(AB) và vec(AC) cùng phương, phải tồn tại một số thực k sao cho vec(AC) = k * vec(AB). Điều này dẫn đến hệ phương trình: 1) m - 1 = 2k 2) n - 2 = -2k 3) 5 = 3k Từ phương trình (3), ta tìm được k: k = ⁵/₃. Thay giá trị k vào phương trình (1) và (2): - Từ (1): m - 1 = 2 * (⁵/₃) = ¹⁰/₃ => m = 1 + ¹⁰/₃ = ³/₃ + ¹⁰/₃ = ¹³/₃. - Từ (2): n - 2 = -2 * (⁵/₃) = -¹⁰/₃ => n = 2 - ¹⁰/₃ = ⁶/₃ - ¹⁰/₃ = -⁴/₃. Cuối cùng, tính giá trị của m + n: m + n = ¹³/₃ + (-⁴/₃) = ^{13 - 4}/₃ = ⁹/₃ = 3.

Giải thích: Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB được tính bằng công thức trung bình cộng tọa độ các điểm đầu mút: I = ( (x_A + x_B)/2; (y_A + y_B)/2; (z_A + z_B)/2 ) Với A(2, 3, -1) và B(4, 1, 5), ta có: x_I = (2 + 4)/2 = 6/2 = 3 y_I = (3 + 1)/2 = 4/2 = 2 z_I = (-1 + 5)/2 = 4/2 = 2 Vậy, tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là (3; 2; 2).

Giải thích: Vecto v cùng hướng với vecto u nghĩa là vec(v) = k * vec(u) với k là một số thực dương (k > 0). Bước 1: Tính độ dài của vecto u. |vec(u)| = √(x_u² + y_u² + z_u²) = √(2² + (-3)² + 6²) |vec(u)| = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7. Bước 2: Tìm hệ số k. Độ dài của vecto v là |vec(v)| = 14. Vì vec(v) = k * vec(u) và k > 0, nên |vec(v)| = k * |vec(u)|. Thay các giá trị đã biết vào: 14 = k * 7. Suy ra k = 14/7 = 2. Bước 3: Tính tọa độ của vecto v. vec(v) = k * vec(u) = 2 * (2; -3; 6) vec(v) = (2*2; 2*(-3); 2*6) = (4; -6; 12). Vậy, tọa độ của vecto v là (4; -6; 12).

Giải thích: Ta có các mối quan hệ vector sau:
- vec(A'M) = 1/2 vec(A'B') (do M là trung điểm A'B').
- Vì ABC.A'B'C' là hình lăng trụ, nên vec(A'B') = vec(AB).
Do đó, vec(A'M) = 1/2 vec(AB).
Ba vector vec(AB), vec(AC), vec(A'M) đồng phẳng nếu một vector có thể biểu diễn tuyến tính qua hai vector còn lại (với điều kiện hai vector kia không cùng phương).
Ta thấy vec(A'M) = 1/2 vec(AB) + 0 . vec(AC). Điều này có nghĩa là vec(A'M) nằm trong mặt phẳng tạo bởi vec(AB) và vec(AC) (nếu vec(AB) và vec(AC) không cùng phương, điều này đúng vì ABC là một tam giác).
Vậy, ba vector vec(AB), vec(AC), vec(A'M) đồng phẳng.

Giải thích: Vì B đối xứng với A qua điểm M, nên M là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Gọi B có tọa độ là (x_B, y_B, z_B).
Áp dụng công thức tọa độ trung điểm:
x_M = (x_A + x_B)/2 => 1 = (3 + x_B)/2 => 2 = 3 + x_B => x_B = -1
y_M = (y_A + y_B)/2 => 0 = (-2 + y_B)/2 => 0 = -2 + y_B => y_B = 2
z_M = (z_A + z_B)/2 => -1 = (4 + z_B)/2 => -2 = 4 + z_B => z_B = -6
Vậy, tọa độ điểm B là (-1; 2; -6).

Giải thích: Để tính diện tích tam giác ABC, ta sử dụng công thức diện tích dựa trên tích có hướng của hai vector.
Đầu tiên, tính tọa độ các vector vec(AB) và vec(AC):
vec(AB) = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (2 - 1; 1 - 0; -1 - 2) = (1; 1; -3)
vec(AC) = (x_C - x_A; y_C - y_A; z_C - z_A) = (0 - 1; 3 - 0; 1 - 2) = (-1; 3; -1)
Tiếp theo, tính tích có hướng của vec(AB) và vec(AC):
[vec(AB), vec(AC)] = ((1)(-1) - (-3)(3); (-3)(-1) - (1)(-1); (1)(3) - (1)(-1))
= (-1 + 9; 3 + 1; 3 + 1) = (8; 4; 4)
Độ dài của vector tích có hướng này là:
|[vec(AB), vec(AC)]| = √(8² + 4² + 4²) = √(64 + 16 + 16) = √(96)
= √(16 × 6) = 4√6
Diện tích tam giác ABC được tính bằng công thức:
S_ABC = 1/2 |[vec(AB), vec(AC)]| = 1/2 × 4√6 = 2√6.
Vậy, diện tích tam giác ABC là 2√6.

Giải thích: Gọi điểm M nằm trên trục Oy có tọa độ là (0, y, 0).
Gốc tọa độ O có tọa độ là (0, 0, 0).
Điểm A có tọa độ là (3, -1, 2).
Vì M cách đều gốc tọa độ O và điểm A, nên ta có OM = MA, hay OM² = MA².
Tính OM²:
OM² = (0 - 0)² + (y - 0)² + (0 - 0)² = y²
Tính MA²:
MA² = (0 - 3)² + (y - (-1))² + (0 - 2)² = (-3)² + (y + 1)² + (-2)²
= 9 + (y² + 2y + 1) + 4 = y² + 2y + 14
Cho OM² = MA²:
y² = y² + 2y + 14
0 = 2y + 14
2y = -14
y = -7
Vậy, tọa độ điểm M là (0; -7; 0).

Giải thích: Để tính thể tích của tứ diện ABCD, ta sử dụng công thức thể tích dựa trên tích hỗn tạp của ba vector cạnh xuất phát từ một đỉnh.
Chọn A làm đỉnh, ta tính các vector vec(AB), vec(AC), vec(AD):
vec(AB) = (0 - 1; 2 - 0; 0 - 0) = (-1; 2; 0)
vec(AC) = (0 - 1; 0 - 0; 3 - 0) = (-1; 0; 3)
vec(AD) = (1 - 1; 1 - 0; 1 - 0) = (0; 1; 1)
Tính tích có hướng của vec(AC) và vec(AD):
[vec(AC), vec(AD)] = ((0)(1) - (3)(1); (3)(0) - (-1)(1); (-1)(1) - (0)(0))
= (0 - 3; 0 + 1; -1 - 0) = (-3; 1; -1)
Tính tích vô hướng của vec(AB) với [vec(AC), vec(AD)] (tích hỗn tạp):
vec(AB) . [vec(AC), vec(AD)] = (-1)(-3) + (2)(1) + (0)(-1)
= 3 + 2 + 0 = 5
Thể tích tứ diện ABCD được tính bằng công thức:
V_ABCD = 1/6 |vec(AB) . [vec(AC), vec(AD)]| = 1/6 |5| = 5/6.
Vậy, thể tích của tứ diện ABCD là 5/6.

Giải thích: Gọi O là một điểm bất kỳ trong không gian. Khi đó, tọa độ trọng tâm G của tam giác BCD được xác định bởi công thức vec(OG) = ¹/₃(vec(OB) + vec(OC) + vec(OD)). Ta có vec(AG) = vec(OG) - vec(OA). Thay biểu thức của vec(OG) vào, ta được: vec(AG) = ¹/₃(vec(OB) + vec(OC) + vec(OD)) - vec(OA) vec(AG) = ¹/₃((vec(OB) - vec(OA)) + (vec(OC) - vec(OA)) + (vec(OD) - vec(OA))) vec(AG) = ¹/₃(vec(AB) + vec(AC) + vec(AD)).

Giải thích: Vì điểm M nằm trên mặt phẳng (Oxy) nên tọa độ của M có dạng M(x, y, 0). Theo đề bài, M cách đều ba điểm A, B, C, tức là MA = MB = MC. Từ đó suy ra MA² = MB² = MC². MA² = (x - 1)² + (y - 0)² + (0 - 0)² = (x - 1)² + y² MB² = (x - 0)² + (y - 2)² + (0 - 0)² = x² + (y - 2)² MC² = (x - 0)² + (y - 0)² + (0 - 3)² = x² + y² + 9 Từ MA² = MB², ta có: (x - 1)² + y² = x² + (y - 2)² x² - 2x + 1 + y² = x² + y² - 4y + 4 -2x + 1 = -4y + 4 2x - 4y = -3 (1) Từ MA² = MC², ta có: (x - 1)² + y² = x² + y² + 9 x² - 2x + 1 + y² = x² + y² + 9 -2x + 1 = 9 -2x = 8 x = -4 Thay x = -4 vào phương trình (1): 2(-4) - 4y = -3 -8 - 4y = -3 -4y = 5 y = -⁵/₄ Vậy tọa độ điểm M là (-4; -⁵/₄; 0).

Giải thích: Trước hết, ta tính tọa độ của vecto b + c: vec(b) + vec(c) = (m + 0; 3 + (-1); 1 + 2) = (m; 2; 3). Để vecto a vuông góc với vecto b + c, tích vô hướng của chúng phải bằng 0: vec(a) ⋅ (vec(b) + vec(c)) = 0 (1)(m) + (m)(2) + (-2)(3) = 0 m + 2m - 6 = 0 3m = 6 m = 2.

Giải thích: Đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O(0, 0, 0) và có vecto chỉ phương vec(u) = (2, -1, 2). Phương trình tham số của đường thẳng d là: x = 2t y = -t z = 2t Vì H là hình chiếu vuông góc của A lên d, nên H thuộc d. Do đó, tọa độ của H có dạng H(2t, -t, 2t) cho một giá trị t nào đó. Tính vecto AH: vec(AH) = (2t - 1; -t - 2; 2t - (-3)) = (2t - 1; -t - 2; 2t + 3). Vì AH vuông góc với đường thẳng d, nên vecto AH vuông góc với vecto chỉ phương vec(u) của d. Do đó, tích vô hướng của chúng bằng 0: vec(AH) ⋅ vec(u) = 0 (2t - 1)(2) + (-t - 2)(-1) + (2t + 3)(2) = 0 4t - 2 + t + 2 + 4t + 6 = 0 9t + 6 = 0 9t = -6 t = -⁶/₉ = -²/₃ Thay giá trị t = -²/₃ vào tọa độ của H: H(2(-²/₃); -(-²/₃); 2(-²/₃)) H(-⁴/₃; ²/₃; -⁴/₃). Vậy tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm A lên đường thẳng d là (-⁴/₃; ²/₃; -⁴/₃).

Giải thích: Để kiểm tra tính thẳng hàng của ba điểm A, B, C, ta xét các vecto vec(AB) và vec(BC). vec(AB) = (2 - 1; 0 - (-1); 1 - 2) = (1; 1; -1) vec(BC) = (4 - 2; 2 - 0; -1 - 1) = (2; 2; -2) Ta thấy vec(BC) = 2 ⋅ vec(AB). Điều này chứng tỏ hai vecto vec(AB) và vec(BC) cùng phương. Vì chúng có một điểm chung là B, nên ba điểm A, B, C thẳng hàng. Mặt khác, vì vec(BC) = 2 ⋅ vec(AB) và hệ số 2 là số dương, hai vecto này cùng hướng. Điều này có nghĩa là B nằm giữa A và C. Để kiểm tra B có phải là trung điểm của AC hay không, ta cần vec(AB) = vec(BC). Tuy nhiên, vec(BC) = 2 ⋅ vec(AB) nên B không phải là trung điểm của AC. Vậy, khẳng định đúng là ba điểm A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A và C.

Giải thích: Để biểu diễn vecto MN, ta có thể viết: vec(MN) = vec(MA) + vec(AD) + vec(DN) (1) vec(MN) = vec(MB) + vec(BC) + vec(CN) (2) Cộng hai phương trình (1) và (2) vế theo vế: 2vec(MN) = (vec(MA) + vec(MB)) + vec(AD) + vec(BC) + (vec(DN) + vec(CN)) Vì M là trung điểm của AB nên vec(MA) + vec(MB) = vec(0). Vì N là trung điểm của CD nên vec(DN) + vec(CN) = vec(0). Do đó, 2vec(MN) = vec(AD) + vec(BC). Suy ra, vec(MN) = ¹/₂(vec(AD) + vec(BC)).

Giải thích: Để tứ giác ABCD là hình bình hành, ta phải có vec(AD) = vec(BC). Gọi D có tọa độ (x_D; y_D; z_D). vec(AD) = (x_D - 1; y_D - 2; z_D - 3). vec(BC) = (0 - 2; 1 - 0; 4 - 1) = (-2; 1; 3). Từ vec(AD) = vec(BC), ta có hệ phương trình: x_D - 1 = -2 => x_D = -1 y_D - 2 = 1 => y_D = 3 z_D - 3 = 3 => z_D = 6 Vậy tọa độ điểm D là (-1; 3; 6).

Giải thích: Để bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng, ba vecto vec(AB), vec(AC), vec(AD) phải đồng phẳng. Điều này có nghĩa là tích hỗn tạp của chúng bằng 0. Tính các vecto: vec(AB) = B - A = (2-1; 1-0; 0-1) = (1; 1; -1) vec(AC) = C - A = (0-1; 2-0; 3-1) = (-1; 2; 2) vec(AD) = D - A = (m-1; 1-0; 2-1) = (m-1; 1; 1) Tích hỗn tạp [vec(AB), vec(AC), vec(AD)] được tính bằng định thức: | 1 1 -1 | |-1 2 2 | |m-1 1 1 | = 1 * (2*1 - 2*1) - 1 * (-1*1 - 2*(m-1)) + (-1) * (-1*1 - 2*(m-1)) = 1 * (0) - 1 * (-1 - 2m + 2) - 1 * (-1 - 2m + 2) = 0 - (1 - 2m) - (1 - 2m) = -1 + 2m - 1 + 2m = 4m - 2 Để A, B, C, D đồng phẳng, tích hỗn tạp phải bằng 0: 4m - 2 = 0 4m = 2 m = ²/₄ = ¹/₂.

Giải thích: Đầu tiên, ta tính vecto u = a + b: vec(u) = (1 + m; -2 + 1; 3 - 1) = (1 + m; -1; 2). Độ dài của vecto u là |vec(u)| = √((1+m)² + (-1)² + 2²). Ta có |vec(u)| = √((1+m)² + 1 + 4) = √((1+m)² + 5). Theo đề bài, |vec(u)| = √14. Suy ra, √((1+m)² + 5) = √14. Bình phương hai vế: (1+m)² + 5 = 14 (1+m)² = 9 Có hai trường hợp: 1+m = 3 => m = 2 1+m = -3 => m = -4 Trong các phương án cho trước, giá trị m = 2 là đáp án đúng.

Giải thích: Để tam giác ABC vuông tại A, tích vô hướng của hai vecto vec(AB) và vec(AC) phải bằng 0. Tính các vecto: vec(AB) = B - A = (3-1; 0-2; 2-0) = (2; -2; 2) vec(AC) = C - A = (1-1; m-2; 1-0) = (0; m-2; 1) Tích vô hướng vec(AB) ⋅ vec(AC) = 0: (2)(0) + (-2)(m-2) + (2)(1) = 0 0 - 2m + 4 + 2 = 0 -2m + 6 = 0 -2m = -6 m = 3. Vậy giá trị của m để tam giác ABC vuông tại A là 3.