30 câu Toán Học Lớp 11 – Chương V. Giới hạn. Hàm số liên tục

Giải thích: Ta có u_n = √(n² + 2n) - n. Đây là dạng ∞ - ∞.
Để khử dạng vô định này, ta nhân và chia với biểu thức liên hợp:
u_n = (√(n² + 2n) - n) × (√(n² + 2n) + n) / (√(n² + 2n) + n)
= ( (n² + 2n) - n² ) / (√(n² + 2n) + n)
= 2n / (√(n² + 2n) + n)
Chia cả tử và mẫu cho n:
= 2 / (√( (n² + 2n)/n² ) + n/n )
= 2 / (√(1 + 2/n) + 1)
Khi n → +∞, 2/n → 0.
Vậy lim u_n = lim_n→+∞ 2 / (√(1 + 2/n) + 1) = 2 / (√(1 + 0) + 1) = 2 / (1 + 1) = 2/2 = 1.

Giải thích: Đây là giới hạn của một dãy số dạng phân thức khi n → +∞. Để tính giới hạn này, ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của n trong mẫu, tức là n³.
lim_n→+∞ (n³ - 2n + 1) / (2n³ + n² - 3)
= lim_n→+∞ ( (n³/n³) - (2n/n³) + (1/n³) ) / ( (2n³/n³) + (n²/n³) - (3/n³) )
= lim_n→+∞ (1 - 2/n² + 1/n³) / (2 + 1/n - 3/n³)
Khi n → +∞, các số hạng 2/n², 1/n³, 1/n, 3/n³ đều tiến về 0.
Vậy giới hạn của dãy số là (1 - 0 + 0) / (2 + 0 - 0) = 1/2.

Giải thích: Đây là giới hạn của hàm số dạng phân thức khi x → +∞. Để tính giới hạn này, ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của x trong mẫu, tức là x².
lim_x→+∞ (3x² - x + 1) / (x² + 2x - 5)
= lim_x→+∞ ( (3x²/x²) - (x/x²) + (1/x²) ) / ( (x²/x²) + (2x/x²) - (5/x²) )
= lim_x→+∞ (3 - 1/x + 1/x²) / (1 + 2/x - 5/x²)
Khi x → +∞, các số hạng 1/x, 1/x², 2/x, 5/x² đều tiến về 0.
Vậy giới hạn của hàm số là (3 - 0 + 0) / (1 + 0 - 0) = 3/1 = 3.

Giải thích: Khi thay x = 0 vào biểu thức, ta được dạng vô định 0/0.
Để khử dạng vô định này, ta nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của tử số: (√(x + 1) + 1).
lim_x→0 (√(x + 1) - 1) / x
= lim_x→0 [ (√(x + 1) - 1) × (√(x + 1) + 1) ] / [ x × (√(x + 1) + 1) ]
= lim_x→0 [ (x + 1) - 1² ] / [ x(√(x + 1) + 1) ]
= lim_x→0 x / [ x(√(x + 1) + 1) ]
Với x ≠ 0, ta có thể rút gọn x ở tử và mẫu:
= lim_x→0 1 / (√(x + 1) + 1)
Bây giờ, thay x = 0 vào biểu thức đã rút gọn:
= 1 / (√(0 + 1) + 1) = 1 / (√1 + 1) = 1 / (1 + 1) = 1/2.

Giải thích: Để hàm số f(x) liên tục tại x = 2, ta cần có lim_x→2 f(x) = f(2).
1. Tính f(2): Theo định nghĩa của hàm số, f(2) = m.
2. Tính lim_x→2 f(x): Vì x → 2 (nhưng x ≠ 2), ta sử dụng biểu thức đầu tiên của f(x).
lim_x→2 (x² - 4) / (x - 2)
Đây là dạng vô định 0/0. Ta phân tích tử số:
lim_x→2 (x - 2)(x + 2) / (x - 2)
Với x ≠ 2, ta có thể rút gọn (x - 2) ở tử và mẫu:
lim_x→2 (x + 2)
Thay x = 2 vào biểu thức đã rút gọn:
= 2 + 2 = 4.
Để hàm số liên tục tại x = 2, ta phải có lim_x→2 f(x) = f(2), tức là 4 = m.
Vậy m = 4.

Giải thích: Để tính giới hạn của dãy số có dạng phân thức chứa lũy thừa của n, ta chia cả tử và mẫu cho cơ số lớn nhất ở mẫu, là 3ⁿ.
u_n = (2ⁿ + 3ⁿ⁺¹) / (3ⁿ - 2ⁿ⁺¹)
u_n = (2ⁿ + 3 × 3ⁿ) / (3ⁿ - 2 × 2ⁿ)
Chia cả tử và mẫu cho 3ⁿ:
= lim_n→+∞ [ (2ⁿ/3ⁿ) + 3 ] / [ 1 - 2 × (2ⁿ/3ⁿ) ]
= lim_n→+∞ [ (2/3)ⁿ + 3 ] / [ 1 - 2 × (2/3)ⁿ ]
Vì lim_n→+∞ (2/3)ⁿ = 0.
Vậy, giới hạn của dãy số là (0 + 3) / (1 - 2 × 0) = 3 / 1 = 3.

Giải thích: Đây là dạng vô định 0/0 khi x = 1. Ta cần phân tích tử và mẫu thành nhân tử để rút gọn.
Tử số: x³ - 1 = (x - 1)(x² + x + 1)
Mẫu số: x² + x - 2 = (x - 1)(x + 2)
Vậy, lim_x→1 (x³ - 1) / (x² + x - 2) = lim_x→1 [ (x - 1)(x² + x + 1) ] / [ (x - 1)(x + 2) ]
= lim_x→1 (x² + x + 1) / (x + 2)
Thay x = 1 vào biểu thức đã rút gọn:
= (1² + 1 + 1) / (1 + 2) = 3 / 3 = 1.

Giải thích: Để hàm số liên tục tại x = 2, ta phải có lim_x→2 f(x) = f(2).
Ta có f(2) = m + 1.
Tính giới hạn lim_x→2 f(x):
lim_x→2 (x² - 5x + 6) / (x - 2)
Đây là dạng vô định 0/0 khi x = 2. Ta phân tích tử số:
x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
Vậy, lim_x→2 [ (x - 2)(x - 3) ] / (x - 2) = lim_x→2 (x - 3)
Thay x = 2 vào, ta được 2 - 3 = -1.
Để hàm số liên tục tại x = 2, ta phải có m + 1 = -1.
Suy ra m = -1 - 1 = -2.

Giải thích: Đây là dạng vô định ∞ - ∞. Ta sử dụng công thức nhân liên hợp cho căn bậc ba: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²).
Đặt a = ³√(n³ + n²) và b = n.
u_n = [ (³√(n³ + n²) - n) × (³√(n³ + n²)² + n × ³√(n³ + n²) + n²) ] / [ ³√(n³ + n²)² + n × ³√(n³ + n²) + n² ]
Tử số trở thành: (n³ + n²) - n³ = n².
Mẫu số là: ³√(n³ + n²)² + n × ³√(n³ + n²) + n²
Để đơn giản hóa mẫu số, ta đặt n ra ngoài căn:
Mẫu số = n²³√(1 + 1/n)² + n × n³√(1 + 1/n) + n²
= n²³√(1 + 1/n)² + n²³√(1 + 1/n) + n²
Chia cả tử và mẫu cho n²:
u_n = 1 / [ ³√(1 + 1/n)² + ³√(1 + 1/n) + 1 ]
Khi n → +∞, 1/n → 0.
Vậy lim_n→+∞ u_n = 1 / [ ³√(1 + 0)² + ³√(1 + 0) + 1 ] = 1 / (1 + 1 + 1) = 1/3.

Giải thích: Hàm số f(x) là các hàm đa thức trên các khoảng (-∞, 1) và [1, +∞), nên chúng liên tục trên các khoảng này.
Để hàm số liên tục trên R, ta chỉ cần đảm bảo hàm số liên tục tại điểm nối x = 1.
Điều kiện liên tục tại x = 1 là: lim_x→1^- f(x) = lim_x→1⁺ f(x) = f(1).
1. Tính f(1): f(1) = 1² + a(1) + 1 = 1 + a + 1 = a + 2.
2. Tính giới hạn trái: lim_x→1^- f(x) = lim_x→1^- (2x + 3) = 2(1) + 3 = 5.
3. Tính giới hạn phải: lim_x→1⁺ f(x) = lim_x→1⁺ (x² + ax + 1) = 1² + a(1) + 1 = a + 2.
Để hàm số liên tục tại x = 1, ta cần có a + 2 = 5.
Giải phương trình, ta được a = 5 - 2 = 3.

Giải thích: Ta có u_n = √(n² + 5n) - √(n² + n). Đây là dạng vô định ∞ - ∞. Để khử dạng vô định này, ta nhân và chia cho biểu thức liên hợp: u_n = [ (n² + 5n) - (n² + n) ] / [ √(n² + 5n) + √(n² + n) ] u_n = (4n) / [ √(n² + 5n) + √(n² + n) ] Chia cả tử và mẫu cho n: u_n = 4 / [ √(n² + 5n)/n + √(n² + n)/n ] u_n = 4 / [ √(1 + 5/n) + √(1 + 1/n) ] Khi n → +∞, ta có 5/n → 0 và 1/n → 0. Vậy lim_n→+∞ u_n = 4 / (√(1 + 0) + √(1 + 0)) = 4 / (1 + 1) = 4 / 2 = 2.

Giải thích: Ta có lim_n→+∞ (3 ⋅ 5ⁿ - 2ⁿ⁺¹) / (2 ⋅ 5ⁿ + 3ⁿ). Viết lại biểu thức: lim_n→+∞ (3 ⋅ 5ⁿ - 2 ⋅ 2ⁿ) / (2 ⋅ 5ⁿ + 3ⁿ). Đây là dạng vô định ∞/∞. Ta chia cả tử và mẫu cho 5ⁿ (cơ số lớn nhất): lim_n→+∞ [ (3 ⋅ 5ⁿ)/5ⁿ - (2 ⋅ 2ⁿ)/5ⁿ ] / [ (2 ⋅ 5ⁿ)/5ⁿ + 3ⁿ/5ⁿ ] = lim_n→+∞ [ 3 - 2 ⋅ (2/5)ⁿ ] / [ 2 + (3/5)ⁿ ] Vì |2/5| < 1 và |3/5| < 1, nên lim_n→+∞ (2/5)ⁿ = 0 và lim_n→+∞ (3/5)ⁿ = 0. Vậy giới hạn của dãy số là (3 - 2 ⋅ 0) / (2 + 0) = 3 / 2.

Giải thích: Khi x → -∞, ta có dạng vô định ∞ - ∞. Ta nhân và chia cho biểu thức liên hợp: lim_x→-∞ (√(x² - 3x) + x) = lim_x→-∞ [ (x² - 3x) - x² ] / [ √(x² - 3x) - x ] = lim_x→-∞ (-3x) / [ √(x²(1 - 3/x)) - x ] Vì x → -∞, nên x < 0. Do đó, √(x²) = |x| = -x. = lim_x→-∞ (-3x) / [ -x√(1 - 3/x) - x ] = lim_x→-∞ (-3x) / [ -x(√(1 - 3/x) + 1) ] Chia cả tử và mẫu cho -x: = lim_x→-∞ 3 / [ √(1 - 3/x) + 1 ] Khi x → -∞, 3/x → 0. Vậy giới hạn bằng 3 / (√(1 - 0) + 1) = 3 / (1 + 1) = 3 / 2.

Giải thích: Để hàm số f(x) liên tục tại x = 4, ta cần có lim_x→4 f(x) = f(4). Bước 1: Tính f(4). Theo định nghĩa, f(4) = 3m + 1. Bước 2: Tính lim_x→4 f(x). Khi x ≠ 4, f(x) = (x² - 16) / (x - 4). lim_x→4 (x² - 16) / (x - 4) = lim_x→4 (x - 4)(x + 4) / (x - 4) = lim_x→4 (x + 4) (vì x ≠ 4 nên x - 4 ≠ 0, ta có thể rút gọn) = 4 + 4 = 8. Bước 3: Đặt lim_x→4 f(x) = f(4) để tìm m. 3m + 1 = 8 3m = 7 m = 7/3. Vậy, để hàm số liên tục tại x = 4, giá trị của m là 7/3.

Giải thích: Để xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 2, ta cần kiểm tra ba điều kiện: f(2) xác định, lim_x→2 f(x) tồn tại và lim_x→2 f(x) = f(2). Trước hết, tại x = 2, mẫu số |x - 2| = |2 - 2| = 0, nên f(2) không xác định. Điều này đủ để kết luận hàm số không liên tục tại x = 2 (loại A). Tiếp theo, ta xét giới hạn của hàm số khi x → 2: Tính giới hạn bên phải: lim_x→2⁺ f(x) = lim_x→2⁺ (x² - 4) / (x - 2) (vì x > 2 nên x - 2 > 0, do đó |x - 2| = x - 2) = lim_x→2⁺ (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = lim_x→2⁺ (x + 2) = 2 + 2 = 4. Tính giới hạn bên trái: lim_x→2^- f(x) = lim_x→2^- (x² - 4) / (-(x - 2)) (vì x < 2 nên x - 2 < 0, do đó |x - 2| = -(x - 2)) = lim_x→2^- (x - 2)(x + 2) / (-(x - 2)) = lim_x→2^- -(x + 2) = -(2 + 2) = -4. Vì lim_x→2⁺ f(x) = 4 và lim_x→2^- f(x) = -4, nên lim_x→2⁺ f(x) ≠ lim_x→2^- f(x). Do đó, giới hạn lim_x→2 f(x) không tồn tại. Đây là lý do chính xác và đầy đủ nhất cho việc hàm số không liên tục tại x = 2.

Giải thích: Dãy số u_n là tổng của n+1 số hạng đầu tiên của một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu a = 1 và công bội q = ¹/₂. Tổng n+1 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là S_n+1 = a(1 - qⁿ⁺¹) / (1 - q). Trong trường hợp này, S_n+1 = 1 ⋅ (1 - (¹/₂)ⁿ⁺¹) / (1 - ¹/₂) = (1 - (¹/₂)ⁿ⁺¹) / (¹/₂) = 2 ⋅ (1 - (¹/₂)ⁿ⁺¹). Khi n → +∞, (¹/₂)ⁿ⁺¹ → 0. Vậy, lim u_n = lim [2 ⋅ (1 - (¹/₂)ⁿ⁺¹)] = 2 ⋅ (1 - 0) = 2.

Giải thích: Ta có thể viết lại biểu thức: (n! + n) / ((n+1)! - n²) = (n! + n) / ((n+1)n! - n²) Chia cả tử và mẫu cho n!: = (1 + n/n!) / ((n+1) - n²/n!) Khi n → +∞: n/n! = n / (n ⋅ (n-1)!) = 1 / (n-1)! → 0. n²/n! = n² / (n ⋅ (n-1)!) = n / (n-1)! → 0. (Vì bậc của n ở tử nhỏ hơn 'bậc' của n! ở mẫu) Vậy, lim_n→+∞ (1 + n/n!) / ((n+1) - n²/n!) = (1 + 0) / (+∞ - 0) = 1 / +∞ = 0.

Giải thích: Ta biết giới hạn cơ bản lim_u→0 (sin u / u) = 1 và lim_u→0 (tan u / u) = 1. Biểu thức đã cho là lim_x→0 (tan(2x) / x). Để sử dụng giới hạn cơ bản, ta nhân và chia cho 2: lim_x→0 (tan(2x) / x) = lim_x→0 (2 ⋅ tan(2x) / (2x)) Đặt u = 2x. Khi x → 0 thì u → 0. Giới hạn trở thành lim_u→0 (2 ⋅ tan u / u) = 2 ⋅ lim_u→0 (tan u / u) = 2 ⋅ 1 = 2.

Giải thích: Để hàm số f(x) liên tục tại x = 1, ta cần có lim_x→1 f(x) = f(1). 1. f(1) = k. 2. lim_x→1 f(x) = lim_x→1 (√(x + 3) - 2) / (x - 1). Đây là dạng vô định 0/0. Ta nhân liên hợp với (√(x + 3) + 2): lim_x→1 [(√(x + 3) - 2)(√(x + 3) + 2)] / [(x - 1)(√(x + 3) + 2)] = lim_x→1 [(x + 3) - 4] / [(x - 1)(√(x + 3) + 2)] = lim_x→1 (x - 1) / [(x - 1)(√(x + 3) + 2)] = lim_x→1 1 / (√(x + 3) + 2) = 1 / (√(1 + 3) + 2) = 1 / (√4 + 2) = 1 / (2 + 2) = 1 / 4. Để hàm số liên tục tại x = 1, ta phải có k = ¹/₄.

Giải thích: Để hàm số f(x) liên tục tại x = 3, cần thỏa mãn điều kiện lim_x→3 f(x) = f(3). 1. Tính f(3): f(3) = a + 2. 2. Tính lim_x→3 f(x): lim_x→3 (x² - 4x + 3) / (x - 3) Đây là dạng vô định 0/0. Ta phân tích tử thức: x² - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3). Vậy, lim_x→3 (x - 1)(x - 3) / (x - 3) = lim_x→3 (x - 1). lim_x→3 (x - 1) = 3 - 1 = 2. Để hàm số liên tục tại x = 3, ta phải có a + 2 = 2. Suy ra a = 0.

Giải thích: Ta có thể viết mỗi số hạng dưới dạng hiệu: ¹/_(k(k+1)) = ¹/_k - ¹/_(k+1).
Vậy u_n = (1 - ¹/₂) + (¹/₂ - ¹/₃) + ... + (¹/_n - ¹/_(n+1)).
Đây là tổng rút gọn (telescoping sum), các số hạng trung gian sẽ triệt tiêu lẫn nhau:
u_n = 1 - ¹/_(n+1).
Khi n → +∞, ¹/_(n+1) → 0.
Do đó, lim u_n = lim (1 - ¹/_(n+1)) = 1 - 0 = 1.

Giải thích: Khi thay x = 2 vào biểu thức, ta được dạng vô định ⁰/₀.
Ta phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử:
Tử số: x² - 4 = (x - 2)(x + 2).
Mẫu số: x² - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2).
Vậy, lim_x→2 (x² - 4) / (x² - 3x + 2) = lim_x→2 [(x - 2)(x + 2)] / [(x - 1)(x - 2)].
Vì x → 2 nên x ≠ 2, ta có thể rút gọn (x - 2) ở cả tử và mẫu:
= lim_x→2 (x + 2) / (x - 1).
Bây giờ thay x = 2 vào biểu thức đã rút gọn:
= (2 + 2) / (2 - 1) = 4 / 1 = 4.

Giải thích: Hàm số f(x) = ¹/_{(sin x)} là một hàm phân thức. Để hàm số này xác định và liên tục, mẫu số phải khác 0.
Tức là sin x ≠ 0.
Phương trình sin x = 0 có các nghiệm là x = kπ, với k là một số nguyên (k ∈ Z).
Tại các điểm này, hàm số không xác định, do đó nó không liên tục.
Các đáp án khác không phải là tất cả các điểm làm cho sin x = 0.

Giải thích: Đây là dạng vô định ∞ ⋅ (∞ - ∞). Ta sẽ nhân liên hợp với biểu thức trong ngoặc:
lim_n→+∞ n(√(n² + 1) - n)
= lim_n→+∞ n ⋅ [ (√(n² + 1) - n)(√(n² + 1) + n) ] / [ √(n² + 1) + n ]
= lim_n→+∞ n ⋅ [ (n² + 1) - n² ] / [ √(n² + 1) + n ]
= lim_n→+∞ n ⋅ [ 1 ] / [ √(n² + 1) + n ]
= lim_n→+∞ n / [ √(n²(1 + ¹/_n²)) + n ]
= lim_n→+∞ n / [ n√(1 + ¹/_n²) + n ]
Rút n ra khỏi mẫu số:
= lim_n→+∞ n / [ n(√(1 + ¹/_n²) + 1) ]
= lim_n→+∞ 1 / [ √(1 + ¹/_n²) + 1 ]
Khi n → +∞, ¹/_n² → 0.
Vậy, giới hạn bằng 1 / [ √(1 + 0) + 1 ] = 1 / (1 + 1) = 1/2.

Giải thích: Để hàm số liên tục trên R, nó phải liên tục tại mọi điểm. Các hàm thành phần là các đa thức, nên chúng liên tục trên các khoảng xác định của chúng. Ta chỉ cần xét tính liên tục tại các điểm nối x = 1 và x = 2.

1. Tại x = 1:
Điều kiện liên tục tại x = 1 là lim_x→1- f(x) = lim_x→1+ f(x) = f(1).
f(1) = a(1)² + b = a + b.
lim_x→1- f(x) = lim_x→1- (x + 2a) = 1 + 2a.
lim_x→1+ f(x) = lim_x→1+ (ax² + b) = a(1)² + b = a + b.
Để hàm số liên tục tại x = 1, ta phải có 1 + 2a = a + b.
⇒ a - b = -1 (1)

2. Tại x = 2:
Điều kiện liên tục tại x = 2 là lim_x→2- f(x) = lim_x→2+ f(x) = f(2).
f(2) = 3(2) - 2b = 6 - 2b.
lim_x→2- f(x) = lim_x→2- (ax² + b) = a(2)² + b = 4a + b.
lim_x→2+ f(x) = lim_x→2+ (3x - 2b) = 3(2) - 2b = 6 - 2b.
Để hàm số liên tục tại x = 2, ta phải có 4a + b = 6 - 2b.
⇒ 4a + 3b = 6 (2)

3. Giải hệ phương trình:
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình:
{ a - b = -1
{ 4a + 3b = 6

Từ phương trình (1), ta rút b theo a: b = a + 1.
Thế vào phương trình (2):
4a + 3(a + 1) = 6
4a + 3a + 3 = 6
7a = 3
a = ³/₇

Thay a = ³/₇ vào b = a + 1:
b = ³/₇ + 1 = ³/₇ + ⁷/₇ = ¹⁰/₇

Vậy, các giá trị cần tìm là a = ³/₇ và b = ¹⁰/₇.

Giải thích: Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức của hai đa thức khi n → +∞, ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của n trong mẫu. Ở đây, lũy thừa cao nhất là n².
lim_n→+∞ (3n² - 2n + 1) / (5n² + 4n - 3)
= lim_n→+∞ ( (3n²/n²) - (2n/n²) + (1/n²) ) / ( (5n²/n²) + (4n/n²) - (3/n²) )
= lim_n→+∞ (3 - ²/_n + ¹/_n²) / (5 + ⁴/_n - ³/_n²)
Khi n → +∞, các số hạng ²/_n, ¹/_n², ⁴/_n, ³/_n² đều tiến về 0.
Vậy, giới hạn bằng (3 - 0 + 0) / (5 + 0 - 0) = ³/₅.

Giải thích: Khi x → +∞, ta có dạng vô định ∞/∞. Ta chia cả tử và mẫu cho x.
lim_x→+∞ (√(x² + 2x) + x) / (3x - 1)
= lim_x→+∞ (√(x²(1 + ²/_x)) + x) / (3x - 1)
= lim_x→+∞ (|x|√(1 + ²/_x) + x) / (3x - 1)
Vì x → +∞ nên |x| = x.
= lim_x→+∞ (x√(1 + ²/_x) + x) / (3x - 1)
= lim_x→+∞ (x(√(1 + ²/_x) + 1)) / (x(3 - ¹/_x))
= lim_x→+∞ (√(1 + ²/_x) + 1) / (3 - ¹/_x)
Khi x → +∞, ²/_x → 0 và ¹/_x → 0.
Vậy, giới hạn bằng (√(1 + 0) + 1) / (3 - 0) = (1 + 1) / 3 = ²/₃.

Giải thích: Để hàm số f(x) liên tục tại x = 2, ta cần có lim_x→2 f(x) = f(2).
Ta có f(2) = a.
Tính giới hạn của hàm số khi x → 2:
lim_x→2 f(x) = lim_x→2 (sin(x - 2)) / (x - 2)
Đặt t = x - 2. Khi x → 2, thì t → 0.
Giới hạn trở thành lim_t→0 (sin t) / t. Đây là một giới hạn cơ bản, và giá trị của nó là 1.
Vậy, lim_x→2 f(x) = 1.
Để hàm số liên tục tại x = 2, ta phải có a = 1.

Giải thích: Ta có thể tách giới hạn của tổng thành tổng các giới hạn (nếu các giới hạn thành phần tồn tại):
lim_n→+∞ u_n = lim_n→+∞ [ (n³ - 2n² + 1) / (2n³ + n - 5) + (n² + 3n) / (n² - 4) ]
= lim_n→+∞ (n³ - 2n² + 1) / (2n³ + n - 5) + lim_n→+∞ (n² + 3n) / (n² - 4)

Tính giới hạn thứ nhất: lim_n→+∞ (n³ - 2n² + 1) / (2n³ + n - 5)
Chia cả tử và mẫu cho n³ (lũy thừa cao nhất của n):
= lim_n→+∞ (1 - ²/_n + ¹/_n³) / (2 + ¹/_n² - ⁵/_n³)
= (1 - 0 + 0) / (2 + 0 - 0) = ¹/₂.

Tính giới hạn thứ hai: lim_n→+∞ (n² + 3n) / (n² - 4)
Chia cả tử và mẫu cho n² (lũy thừa cao nhất của n):
= lim_n→+∞ (1 + ³/_n) / (1 - ⁴/_n²)
= (1 + 0) / (1 - 0) = 1.

Vậy, giới hạn của dãy số u_n là ¹/₂ + 1 = ³/₂.

Giải thích: Hàm số f(x) là hàm phân thức. Một hàm phân thức liên tục trên miền xác định của nó. Miền xác định của hàm số f(x) là tập hợp tất cả các giá trị của x mà mẫu số khác 0.
Mẫu số là x² - 4x + 3.
Ta cần tìm các giá trị của x để x² - 4x + 3 = 0.
Giải phương trình bậc hai: x² - 4x + 3 = 0
Có thể phân tích thành nhân tử: (x - 1)(x - 3) = 0.
Vậy, x = 1 hoặc x = 3.
Hàm số không xác định tại x = 1 và x = 3.
Do đó, hàm số liên tục trên các khoảng mà x ≠ 1 và x ≠ 3. Đó là các khoảng: (-∞; 1), (1; 3) và (3; +∞).