30 câu Toán Học Lớp 11 – Chương IX. Đạo hàm

Giải thích: Vận tốc tức thời của vật là đạo hàm của phương trình quãng đường theo thời gian:
v(t) = s'(t) = (3t² - 2t + 1)' = 6t - 2.
Tại thời điểm t = 2 giây, vận tốc tức thời là:
v(2) = 6(2) - 2 = 12 - 2 = 10 m/s.

Giải thích: Áp dụng quy tắc đạo hàm của một thương (^u/_v)' = ^{(u'v - uv')}/_v².
Với u = x² - 3x, ta có u' = 2x - 3.
Với v = x + 1, ta có v' = 1.
Vậy, y' = ^{[(2x - 3)(x + 1) - (x2 - 3x)(1)]}/_{(x + 1)²}
y' = ^{[2x2 + 2x - 3x - 3 - x2 + 3x]}/_{(x + 1)²}
y' = ^{[x2 + 2x - 3]}/_{(x + 1)²}.

Giải thích: Đầu tiên, tính đạo hàm cấp một:
f'(x) = (x³ - 2x² + 5x - 1)' = 3x² - 4x + 5.
Tiếp theo, tính đạo hàm cấp hai bằng cách lấy đạo hàm của f'(x):
f''(x) = (3x² - 4x + 5)' = 6x - 4.

Giải thích: Theo định nghĩa đạo hàm, f'(x₀) = lim_Δx→0 ^{[f(x₀ + Δx) - f(x₀)]}/_Δx.
Tại x₀ = 1:
f(1) = 1² - 2(1) = 1 - 2 = -1.
f(1 + Δx) = (1 + Δx)² - 2(1 + Δx) = 1 + 2Δx + (Δx)² - 2 - 2Δx = (Δx)² - 1.
Vậy, f'(1) = lim_Δx→0 ^{[(Δx)2 - 1 - (-1)]}/_Δx
f'(1) = lim_Δx→0 ^(Δx)2/_Δx
f'(1) = lim_Δx→0 Δx = 0.

Giải thích: Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp (uⁿ)' = n.u^n-1.u'.
Với u = 2x + 1 và n = 3.
Ta có u' = (2x + 1)' = 2.
Vậy, y' = 3(2x + 1)^3-1 . (2x + 1)'
y' = 3(2x + 1)² . 2
y' = 6(2x + 1)².

Giải thích: Theo định nghĩa, đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀, kí hiệu là f'(x₀), chính là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm M(x₀, f(x₀)).

Giải thích: Để tính đạo hàm của hàm số f(x) = 2x² - 3 tại điểm x bất kỳ bằng định nghĩa, ta dùng công thức:
f'(x) = lim_Δx→0 [f(x + Δx) - f(x)] / Δx
Ta có:
f(x + Δx) = 2(x + Δx)² - 3 = 2(x² + 2xΔx + (Δx)²) - 3 = 2x² + 4xΔx + 2(Δx)² - 3
f(x + Δx) - f(x) = (2x² + 4xΔx + 2(Δx)² - 3) - (2x² - 3)
= 4xΔx + 2(Δx)²
= Δx(4x + 2Δx)
Vậy:
f'(x) = lim_Δx→0 [Δx(4x + 2Δx)] / Δx
= lim_Δx→0 (4x + 2Δx)
Khi Δx → 0, thì 2Δx → 0.
Do đó, f'(x) = 4x.

Giải thích: Ta có thể viết lại hàm số y = x√x = x . x^1/2 = x^{1 + 1/2} = x^3/2.
Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm số lũy thừa (xⁿ)' = nx^n-1, ta được:
y' = (x^3/2)' = ³/₂x^{3/2 - 1} = ³/₂x^1/2 = ³/₂√x.

Giải thích: Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp (sin(u))' = u'cos(u), với u = 3x - π/4.
Ta có u' = (3x - π/4)' = 3.
Vậy, y' = 3cos(3x - π/4).

Giải thích: Đầu tiên, ta tính đạo hàm cấp một f'(x).
f(x) = (x - 1)^-1
f'(x) = -1 * (x - 1)^-1-1 * (x - 1)' = -1 * (x - 1)^-2 * 1 = -(x - 1)^-2 = ^-1/_{(x - 1)}².

Tiếp theo, ta tính đạo hàm cấp hai f''(x).
f''(x) = (-(x - 1)^-2)'
= -(-2) * (x - 1)^-2-1 * (x - 1)'
= 2 * (x - 1)^-3 * 1
= 2(x - 1)^-3 = ²/_{(x - 1)}³.

Giải thích: Để viết phương trình tiếp tuyến y = f'(x₀)(x - x₀) + f(x₀), ta cần tính: 1. Giá trị của hàm số tại x₀: f(1) = 1³ - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0. Vậy điểm tiếp xúc là (1; 0). 2. Đạo hàm của hàm số: f'(x) = (x³ - 3x + 2)' = 3x² - 3. 3. Hệ số góc của tiếp tuyến tại x₀: f'(1) = 3(1)² - 3 = 3 - 3 = 0. Phương trình tiếp tuyến là: y - 0 = 0(x - 1) => y = 0.

Giải thích: Áp dụng quy tắc đạo hàm của một tích (uv)' = u'v + uv' với u = x² và v = cos(x). Ta có: * u' = (x²)' = 2x * v' = (cos(x))' = -sin(x) Vậy, y' = (2x) · cos(x) + x² · (-sin(x)) = 2x cos(x) - x² sin(x).

Giải thích: Để tìm đạo hàm cấp hai, ta tính đạo hàm cấp một trước: 1. Đạo hàm cấp một: f'(x) = ((2x - 1)³)' Áp dụng công thức (uⁿ)' = n · u^n-1 · u' với u = 2x - 1 và n = 3. f'(x) = 3 · (2x - 1)^3-1 · (2x - 1)' = 3 · (2x - 1)² · 2 = 6(2x - 1)². 2. Đạo hàm cấp hai: f''(x) = (6(2x - 1)²)' Áp dụng công thức c · (uⁿ)' = c · n · u^n-1 · u' với c = 6, u = 2x - 1 và n = 2. f''(x) = 6 · 2 · (2x - 1)^2-1 · (2x - 1)' = 12 · (2x - 1)¹ · 2 = 24(2x - 1).

Giải thích: Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp (tan(u))' = u' / cos²(u) hoặc u' · sec²(u) với u = 3x. Ta có u' = (3x)' = 3. Vậy, y' = 3 / cos²(3x). Lưu ý rằng sec²(3x) = 1/cos²(3x), nên đáp án B và C là tương đương về mặt giá trị.

Giải thích: Để tính đạo hàm cấp hai, ta thực hiện hai bước: 1. Tính đạo hàm cấp một f'(x): Áp dụng quy tắc đạo hàm của một tích (uv)' = u'v + uv' với u = x và v = sin(x). u' = (x)' = 1 v' = (sin(x))' = cos(x) f'(x) = 1 · sin(x) + x · cos(x) = sin(x) + x cos(x). 2. Tính đạo hàm cấp hai f''(x) = (f'(x))': f''(x) = (sin(x) + x cos(x))' f''(x) = (sin(x))' + (x cos(x))' f''(x) = cos(x) + [(x)' · cos(x) + x · (cos(x))'] f''(x) = cos(x) + [1 · cos(x) + x · (-sin(x))] f''(x) = cos(x) + cos(x) - x sin(x) f''(x) = 2cos(x) - x sin(x).

Giải thích: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀ chính là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x₀.
Ta có y = f(x) = x³ - 2x + 1.
Đạo hàm của hàm số là f'(x) = 3x² - 2.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại x₀ = -1 là f'(-1).
f'(-1) = 3(-1)² - 2 = 3(1) - 2 = 3 - 2 = 1.
Vậy, hệ số góc của tiếp tuyến là 1.

Giải thích: Theo định nghĩa đạo hàm tại một điểm:
f'(x₀) = lim_x→x0 [f(x) - f(x₀)] / (x - x₀)
Với f(x) = ¹/_x và x₀ = 2, ta có f(x₀) = f(2) = ¹/₂.
f'(2) = lim_x→2 [¹/_x - ¹/₂] / (x - 2)
f'(2) = lim_x→2 [(2 - x) / (2x)] / (x - 2)
f'(2) = lim_x→2 [-(x - 2) / (2x)] / (x - 2)
f'(2) = lim_x→2 [-1 / (2x)]
Thay x = 2 vào, ta được f'(2) = -1 / (2 × 2) = -¹/₄.

Giải thích: Ta có hàm số y = x√(x + 1). Đây là dạng đạo hàm của một tích (u.v)' = u'v + uv'.
Đặt u = x và v = √(x + 1) = (x + 1)^1/2.
Khi đó u' = 1.
v' = ¹/₂ (x + 1)^{1/2 - 1} × (x + 1)' = ¹/₂ (x + 1)^-1/2 × 1 = ¹/_{(2√(x + 1))}.
Áp dụng công thức đạo hàm của tích:
y' = u'v + uv'
y' = 1 × √(x + 1) + x × ¹/_{(2√(x + 1))}
y' = √(x + 1) + ^x/_{(2√(x + 1))}
Để cộng hai phân thức, ta quy đồng mẫu số:
y' = [√(x + 1) × 2√(x + 1) + x] / (2√(x + 1))
y' = [2(x + 1) + x] / (2√(x + 1))
y' = (2x + 2 + x) / (2√(x + 1))
y' = (3x + 2) / (2√(x + 1)).

Giải thích: Ta có hàm số y = cos²(2x - π/6). Đây là hàm hợp dạng uⁿ với u = cos(2x - π/6) và n = 2.
Áp dụng công thức (uⁿ)' = n.u^n-1.u'.
y' = 2 × cos^2-1(2x - π/6) × [cos(2x - π/6)]'
y' = 2 × cos(2x - π/6) × [-sin(2x - π/6) × (2x - π/6)']
y' = 2 × cos(2x - π/6) × [-sin(2x - π/6) × 2]
y' = -4 × sin(2x - π/6) × cos(2x - π/6)
Sử dụng công thức lượng giác sin(2α) = 2sinαcosα:
y' = -2 × [2sin(2x - π/6)cos(2x - π/6)]
y' = -2 × sin(2 × (2x - π/6))
y' = -2sin(4x - π/3).

Giải thích: Để tìm đạo hàm cấp hai, ta cần tính đạo hàm cấp một trước.
f(x) = sin(^x/₂ + π/3)
Áp dụng công thức (sin u)' = u'cos u, với u = ^x/₂ + π/3.
u' = (^x/₂ + π/3)' = ¹/₂.
f'(x) = ¹/₂ cos(^x/₂ + π/3).
Bây giờ, ta tính đạo hàm cấp hai, tức là đạo hàm của f'(x).
Áp dụng công thức (cos u)' = -u'sin u, với u = ^x/₂ + π/3 và hệ số ¹/₂.
f''(x) = ¹/₂ × [-sin(^x/₂ + π/3) × (^x/₂ + π/3)']
f''(x) = ¹/₂ × [-sin(^x/₂ + π/3) × ¹/₂]
f''(x) = -¹/₄ sin(^x/₂ + π/3).

Giải thích: Để tìm hệ số góc của tiếp tuyến, ta cần tính đạo hàm của hàm số tại điểm đó.
Đạo hàm của hàm số f(x) = x³ - x² + 2 là f'(x) = 3x² - 2x.
Hệ số góc của tiếp tuyến tại x₀ = -2 là f'(-2).
f'(-2) = 3(-2)² - 2(-2) = 3(4) + 4 = 12 + 4 = 16.
Vậy, hệ số góc của tiếp tuyến là 16.

Giải thích: Áp dụng quy tắc đạo hàm của một thương (u/v)' = (u'v - uv')/v².
Đặt u = x + 2 và v = √(x - 1).
Khi đó, u' = 1.
v' = (√(x - 1))' = ¹/_{2√(x - 1)}.
y' = ^{[1 · √(x - 1) - (x + 2) · 1/_{2√(x - 1)}]}/_{(√(x - 1))²}
y' = ^{[√(x - 1) - (x + 2)/_{2√(x - 1)}]}/_{(x - 1)}
Quy đồng tử số:
y' = ^{[2(x - 1)/_{2√(x - 1)} - (x + 2)/_{2√(x - 1)}]}/_{(x - 1)}
y' = ^{[2(x - 1) - (x + 2)]}/_{[2√(x - 1) · (x - 1)]}
y' = ^{(2x - 2 - x - 2)}/_{[2(x - 1)^3/2]}
y' = ^{(x - 4)}/_{[2(x - 1)√(x - 1)]} hoặc ^{(x - 4)}/_{[2(x - 1)^3/2]}.

Giải thích: Đầu tiên, tính đạo hàm cấp một f'(x):
f'(x) = (x²)'sin(x) + x²(sin(x))' (áp dụng quy tắc đạo hàm của tích (uv)' = u'v + uv')
f'(x) = 2x sin(x) + x² cos(x).

Tiếp theo, tính đạo hàm cấp hai f''(x) bằng cách đạo hàm f'(x):
f''(x) = (2x sin(x))' + (x² cos(x))'
Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích cho từng thành phần:
(2x sin(x))' = (2x)'sin(x) + 2x(sin(x))' = 2 sin(x) + 2x cos(x).
(x² cos(x))' = (x²)'cos(x) + x²(cos(x))' = 2x cos(x) - x² sin(x).
Cộng hai kết quả lại:
f''(x) = (2 sin(x) + 2x cos(x)) + (2x cos(x) - x² sin(x))
f''(x) = 2 sin(x) + 4x cos(x) - x² sin(x)
f''(x) = (2 - x²)sin(x) + 4x cos(x).

Giải thích: Vận tốc tức thời của quả bóng tại thời điểm t là đạo hàm của hàm độ cao h(t) theo thời gian t.
Theo định nghĩa đạo hàm, vận tốc tức thời tại t = 1 giây là v(1) = h'(1) = lim_Δt→0 ^{[h(1 + Δt) - h(1)]}/_Δt.
1. Tính h(1):
  h(1) = -5(1)² + 20(1) + 1 = -5 + 20 + 1 = 16 (mét).
2. Tính h(1 + Δt):
  h(1 + Δt) = -5(1 + Δt)² + 20(1 + Δt) + 1
  = -5(1 + 2Δt + (Δt)²) + 20 + 20Δt + 1
  = -5 - 10Δt - 5(Δt)² + 20 + 20Δt + 1
  = 16 + 10Δt - 5(Δt)².
3. Tính h(1 + Δt) - h(1):
  h(1 + Δt) - h(1) = (16 + 10Δt - 5(Δt)²) - 16 = 10Δt - 5(Δt)².
4. Lập tỉ số và lấy giới hạn:
  ^{[h(1 + Δt) - h(1)]}/_Δt = ^{[10Δt - 5(Δt)2]}/_Δt = 10 - 5Δt.
  v(1) = lim_Δt→0 (10 - 5Δt) = 10 - 5(0) = 10.
Vậy, vận tốc tức thời của quả bóng tại thời điểm t = 1 giây là 10 m/s.

Giải thích: Đây là dạng đạo hàm của hàm hợp √(u), với u = x² + 4x.
Công thức đạo hàm của √(u) là (√(u))' = ^u'/_2√(u).
Bước 1: Tính đạo hàm của u.
  u' = (x² + 4x)' = 2x + 4.
Bước 2: Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp.
  y' = ^{(2x + 4)}/_{2√(x² + 4x)}.
Bước 3: Rút gọn biểu thức.
  y' = ^{2(x + 2)}/_{2√(x² + 4x)} = ^{(x + 2)}/_{√(x² + 4x)}.

Giải thích: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại điểm x₀ thì hàm số đó phải liên tục tại điểm x₀. Đây là một định lý quan trọng về mối quan hệ giữa tính liên tục và khả năng lấy đạo hàm.

Giải thích: Theo định nghĩa đạo hàm, f'(x) = lim_Δx→0 ^{[f(x + Δx) - f(x)]}/_Δx.
Ta có:
f(x + Δx) - f(x) = [(x + Δx)³ - 1] - [x³ - 1]
= x³ + 3x²Δx + 3x(Δx)² + (Δx)³ - 1 - x³ + 1
= 3x²Δx + 3x(Δx)² + (Δx)³
Vậy f'(x) = lim_Δx→0 ^{[3x2Δx + 3x(Δx)2 + (Δx)3]}/_Δx
= lim_Δx→0 [3x² + 3xΔx + (Δx)²]
= 3x² + 3x(0) + (0)² = 3x².

Giải thích: Áp dụng công thức đạo hàm của một thương: (^u/_v)' = ^{(u'v - uv')}/_v².
Với u = x² - 3x + 1 ⇒ u' = 2x - 3.
Với v = x + 2 ⇒ v' = 1.
Khi đó, y' = ^{[(2x - 3)(x + 2) - (x2 - 3x + 1)(1)]}/_{(x + 2)²}
= ^{[ (2x2 + 4x - 3x - 6) - (x2 - 3x + 1) ]}/_{(x + 2)²}
= ^{[ 2x2 + x - 6 - x2 + 3x - 1 ]}/_{(x + 2)²}
= ^{(x2 + 4x - 7)}/_{(x + 2)²}.

Giải thích: Áp dụng công thức đạo hàm của tích: (uv)' = u'v + uv'.
Với u = x² + 1 ⇒ u' = 2x.
Với v = sin(2x) ⇒ v' = (sin(2x))' = cos(2x) ⋅ (2x)' = 2cos(2x).
Vậy y' = (2x)sin(2x) + (x² + 1)(2cos(2x))
= 2xsin(2x) + 2(x² + 1)cos(2x).

Giải thích: Đầu tiên, ta tính đạo hàm cấp một:
f'(x) = (cos(3x))'
= -sin(3x) ⋅ (3x)' (áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp)
= -sin(3x) ⋅ 3
= -3sin(3x).

Tiếp theo, ta tính đạo hàm cấp hai:
f''(x) = (-3sin(3x))'
= -3 ⋅ (sin(3x))'
= -3 ⋅ cos(3x) ⋅ (3x)' (áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp)
= -3 ⋅ cos(3x) ⋅ 3
= -9cos(3x).