30 câu Toán Học Lớp 11 – Chương VIII. Các quy tắc tính xác suất

Giải thích:

• Biến cố A là "Lần gieo thứ nhất xuất hiện mặt 6 chấm". P(A) = ¹/₆.
• Biến cố B là "Lần gieo thứ hai xuất hiện mặt 6 chấm". P(B) = ¹/₆.
• Biến cố A∩B là "Cả hai lần gieo đều xuất hiện mặt 6 chấm". P(A∩B) = ¹/₃₆.
• Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia. Trong trường hợp gieo xúc xắc hai lần, kết quả của lần gieo thứ nhất không ảnh hưởng đến kết quả của lần gieo thứ hai, nên A và B là hai biến cố độc lập.
• Để kiểm tra độc lập, ta so sánh P(A∩B) với P(A) × P(B). Ta có P(A) × P(B) = ¹/₆ × ¹/₆ = ¹/₃₆. Vì P(A∩B) = P(A) × P(B) = ¹/₃₆, nên A và B là hai biến cố độc lập.
• A và B không phải là biến cố xung khắc vì A∩B = {(6,6)} ≠ ∅.
• Công thức P(A∪B) = P(A) + P(B) chỉ đúng khi A và B xung khắc. Trong trường hợp này, P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = ¹/₆ + ¹/₆ - ¹/₃₆ = ¹¹/₃₆ ≠ ¹/₆ + ¹/₆.
• P(A∩B) = P(A) + P(B) là sai.

Giải thích: Gọi A là biến cố "Học sinh thích môn Toán". Ta có P(A) = 60% = 0,60.
Gọi B là biến cố "Học sinh thích môn Lý". Ta có P(B) = 45% = 0,45.
Biến cố "Học sinh thích cả hai môn Toán và Lý" là biến cố giao A∩B. Ta có P(A∩B) = 25% = 0,25.
Biến cố "Học sinh thích ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Lý" là biến cố hợp A∪B.
Theo công thức cộng xác suất cho hai biến cố bất kì, ta có:
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
Thay số vào, ta được:
P(A∪B) = 0,60 + 0,45 - 0,25 = 1,05 - 0,25 = 0,80.
Vậy, xác suất để học sinh đó thích ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Lý là 0,80.

Giải thích: Gọi A' là biến cố "Sản phẩm từ dây chuyền A bị lỗi". Ta có P(A') = 0,05.
Gọi B' là biến cố "Sản phẩm từ dây chuyền B bị lỗi". Ta có P(B') = 0,03.
Vì hai dây chuyền sản xuất A và B hoạt động độc lập, nên hai biến cố A' và B' là độc lập.
Biến cố "Cả hai sản phẩm được chọn đều là sản phẩm lỗi" là biến cố giao A'∩B'.
Theo công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập, ta có:
P(A'∩B') = P(A') × P(B')
Thay số vào, ta được:
P(A'∩B') = 0,05 × 0,03 = 0,0015.
Vậy, xác suất để cả hai sản phẩm đều là sản phẩm lỗi là 0,0015.

Giải thích: Gọi A là biến cố "Xạ thủ A bắn trúng mục tiêu". Ta có P(A) = 0,7.
Gọi B là biến cố "Xạ thủ B bắn trúng mục tiêu". Ta có P(B) = 0,8.
Vì hai xạ thủ bắn một cách độc lập, nên A và B là hai biến cố độc lập.
Chúng ta cần tìm xác suất để có ít nhất một xạ thủ bắn trúng mục tiêu, tức là P(A∪B).
Có hai cách để giải bài toán này:
Cách 1: Sử dụng công thức cộng xác suất.
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
Vì A và B độc lập, P(A∩B) = P(A) × P(B) = 0,7 × 0,8 = 0,56.
Vậy, P(A∪B) = 0,7 + 0,8 - 0,56 = 1,5 - 0,56 = 0,94.
Cách 2: Sử dụng biến cố đối.
Biến cố đối của "có ít nhất một xạ thủ bắn trúng" là "cả hai xạ thủ đều bắn trượt".
Gọi A' là biến cố "Xạ thủ A bắn trượt". P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0,7 = 0,3.
Gọi B' là biến cố "Xạ thủ B bắn trượt". P(B') = 1 - P(B) = 1 - 0,8 = 0,2.
Vì A và B độc lập, nên A' và B' cũng độc lập.
Xác suất để cả hai xạ thủ đều bắn trượt là P(A'∩B') = P(A') × P(B') = 0,3 × 0,2 = 0,06.
Xác suất để có ít nhất một xạ thủ bắn trúng là 1 - P(A'∩B') = 1 - 0,06 = 0,94.
Vậy, xác suất để có ít nhất một xạ thủ bắn trúng mục tiêu là 0,94.

Giải thích: Gọi A là biến cố "Bi lấy từ hộp thứ nhất là bi đỏ".
Tổng số bi trong hộp thứ nhất là 5 (đỏ) + 3 (xanh) = 8 bi.
Số bi đỏ trong hộp thứ nhất là 5.
Vậy, xác suất P(A) = ⁵/₈.

Gọi B là biến cố "Bi lấy từ hộp thứ hai là bi đỏ".
Tổng số bi trong hộp thứ hai là 4 (đỏ) + 6 (xanh) = 10 bi.
Số bi đỏ trong hộp thứ hai là 4.
Vậy, xác suất P(B) = ⁴/₁₀ = ²/₅.

Vì việc lấy bi từ hai hộp là độc lập với nhau, nên hai biến cố A và B là độc lập.
Biến cố "Cả hai bi lấy ra đều là bi đỏ" là biến cố giao A∩B.
Theo công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập, ta có:
P(A∩B) = P(A) × P(B)
Thay số vào, ta được:
P(A∩B) = ⁵/₈ × ²/₅ = ^{(5 × 2)}/_{(8 × 5)} = ¹⁰/₄₀ = ¹/₄.
Vậy, xác suất để cả hai bi lấy ra đều là bi đỏ là ¹/₄.

Giải thích: Tập hợp các kết quả của không gian mẫu Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Các biến cố:
- A: "Thẻ rút được là số chẵn" ⇒ A = {2, 4, 6, 8, 10}.
- B: "Thẻ rút được là số nguyên tố" ⇒ B = {2, 3, 5, 7}.
- C: "Thẻ rút được là số lớn hơn 7" ⇒ C = {8, 9, 10}.

Xét các cặp biến cố:
- A ∩ B = {2} ≠ ∅. Vậy A và B không xung khắc.
- A ∩ C = {8, 10} ≠ ∅. Vậy A và C không xung khắc.
- B ∩ C = ∅. Vậy B và C là hai biến cố xung khắc.
- Các biến cố A, B, C không độc lập (ví dụ, nếu thẻ là số nguyên tố (B), thì không thể là số lớn hơn 7 và không chẵn (trừ số 2), ảnh hưởng đến xác suất của C và A).

Giải thích: Gọi A là biến cố người được chọn sử dụng sản phẩm X. P(A) = 0.40.
Gọi B là biến cố người được chọn sử dụng sản phẩm Y. P(B) = 0.35.
Biến cố người được chọn sử dụng cả hai sản phẩm X và Y là A ∩ B. P(A ∩ B) = 0.15.
Xác suất để người đó sử dụng ít nhất một trong hai sản phẩm X hoặc Y là P(A ∪ B).
Áp dụng công thức cộng xác suất: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).
P(A ∪ B) = 0.40 + 0.35 - 0.15 = 0.75 - 0.15 = 0.60.
Vậy xác suất cần tìm là 0.60.

Giải thích: Gọi A là biến cố cảm biến thứ nhất hoạt động tốt. P(A) = 0,9.
Gọi B là biến cố cảm biến thứ hai hoạt động tốt. P(B) = 0,85.
Vì hai cảm biến hoạt động độc lập, xác suất để cả hai cảm biến đều hoạt động tốt là P(A ∩ B).
Áp dụng công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
P(A ∩ B) = 0,9 × 0,85 = 0,765.

Giải thích: Gọi A là biến cố thí sinh trả lời đúng câu hỏi thứ nhất. P(A) = 0,7.
Gọi B là biến cố thí sinh trả lời đúng câu hỏi thứ hai. P(B) = 0,6.
Biến cố thí sinh đạt yêu cầu là "trả lời đúng ít nhất một trong hai câu hỏi", tức là A ∪ B.
Vì hai biến cố A và B độc lập, nên các biến cố đối A̅ (trả lời sai câu 1) và B̅ (trả lời sai câu 2) cũng độc lập.
P(A̅) = 1 - P(A) = 1 - 0,7 = 0,3.
P(B̅) = 1 - P(B) = 1 - 0,6 = 0,4.
Biến cố đối của A ∪ B là (A ∪ B)̅ = A̅ ∩ B̅, tức là "thí sinh trả lời sai cả hai câu hỏi".
Do A̅ và B̅ độc lập, P(A̅ ∩ B̅) = P(A̅) × P(B̅) = 0,3 × 0,4 = 0,12.
Xác suất để thí sinh đạt yêu cầu là P(A ∪ B) = 1 - P(A̅ ∩ B̅) = 1 - 0,12 = 0,88.

Giải thích: Gọi T là biến cố bắn trúng mục tiêu, S là biến cố bắn trượt mục tiêu.
P(T) = 0,8.
P(S) = 1 - P(T) = 1 - 0,8 = 0,2.
Xạ thủ bắn trúng đúng 2 viên đạn trong 3 lần bắn có các trường hợp sau (do các lần bắn độc lập):
1. Trúng - Trúng - Trượt (TTS): P(TTS) = P(T) × P(T) × P(S) = 0,8 × 0,8 × 0,2 = 0,128.
2. Trúng - Trượt - Trúng (TST): P(TST) = P(T) × P(S) × P(T) = 0,8 × 0,2 × 0,8 = 0,128.
3. Trượt - Trúng - Trúng (STT): P(STT) = P(S) × P(T) × P(T) = 0,2 × 0,8 × 0,8 = 0,128.
Vì các trường hợp này là xung khắc, xác suất để bắn trúng đúng 2 viên đạn là tổng xác suất của các trường hợp trên:
P(đúng 2 viên trúng) = 0,128 + 0,128 + 0,128 = 3 × 0,128 = 0,384.

Giải thích:

• Số học sinh giỏi Toán: n(A) = 25. P(A) = ²⁵/₄₀ = ⁵/₈.
• Số học sinh giỏi Lý: n(B) = 20. P(B) = ²⁰/₄₀ = ¹/₂.
• Số học sinh giỏi cả Toán và Lý: n(A∩B) = 10. P(A∩B) = ¹⁰/₄₀ = ¹/₄.
• Để kiểm tra tính độc lập: P(A)P(B) = (⁵/₈) × (¹/₂) = ⁵/₁₆. Vì P(A∩B) = ¹/₄ ≠ ⁵/₁₆, nên A và B không độc lập. (A sai)
• Để kiểm tra tính xung khắc: Vì A∩B ≠ ∅ (có 10 học sinh giỏi cả hai môn), nên A và B không xung khắc. (B sai)
• Biến cố A∪B là "Học sinh được chọn giỏi ít nhất một môn (Toán hoặc Lý)". Biến cố đối của A∪B, ký hiệu là (A∪B)̅, là "Học sinh được chọn không giỏi môn nào". (C đúng)
• Biến cố A∩B là "Học sinh được chọn giỏi cả Toán và Lý". Phát biểu "Học sinh được chọn giỏi cả Toán hoặc Lý" thường được hiểu là A∪B. (D sai)

Giải thích:

• Gọi A là biến cố "Học sinh đọc tiểu thuyết". P(A) = 0,6.
• Gọi B là biến cố "Học sinh đọc truyện tranh". P(B) = 0,3.
• Theo đề bài, không có học sinh nào đọc cả tiểu thuyết và truyện tranh, tức là A và B là hai biến cố xung khắc. Do đó, P(A∩B) = 0.
• Xác suất để học sinh đó đọc ít nhất một trong hai loại sách trên là xác suất của biến cố hợp A∪B.
• Áp dụng công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc: P(A∪B) = P(A) + P(B).
• P(A∪B) = 0,6 + 0,3 = 0,9.

Giải thích:

• Gọi S là biến cố "tung được mặt sấp" và N là biến cố "tung được mặt ngửa".
• Xác suất tung được mặt sấp là P(S) = 0,5.
• Xác suất tung được mặt ngửa là P(N) = 1 - P(S) = 1 - 0,5 = 0,5.
• Vì các lần tung là độc lập, để tung được mặt sấp đúng 1 lần trong 3 lần, có các trường hợp sau:
  • Lần 1 sấp, Lần 2 ngửa, Lần 3 ngửa (SNN): P(SNN) = P(S) × P(N) × P(N) = 0,5 × 0,5 × 0,5 = 0,125.
  • Lần 1 ngửa, Lần 2 sấp, Lần 3 ngửa (NSN): P(NSN) = P(N) × P(S) × P(N) = 0,5 × 0,5 × 0,5 = 0,125.
  • Lần 1 ngửa, Lần 2 ngửa, Lần 3 sấp (NNS): P(NNS) = P(N) × P(N) × P(S) = 0,5 × 0,5 × 0,5 = 0,125.
• Vì các trường hợp này là xung khắc, xác suất để tung được mặt sấp đúng 1 lần là tổng xác suất của các trường hợp trên:
• P(đúng 1 sấp) = 0,125 + 0,125 + 0,125 = 3 × 0,125 = 0,375.

Giải thích:

• Gọi A' là biến cố "Máy A hoạt động tốt" và B' là biến cố "Máy B hoạt động tốt".
• Theo đề bài: P(A') = 0,95 và P(B') = 0,9.
• Biến cố "Máy A không hoạt động tốt" là A'̅, với P(A'̅) = 1 - P(A') = 1 - 0,95 = 0,05.
• Biến cố "Máy B không hoạt động tốt" là B'̅, với P(B'̅) = 1 - P(B') = 1 - 0,9 = 0,1.
• Ta cần tính xác suất để có ít nhất một máy không hoạt động tốt, tức là P(A'̅ ∪ B'̅).
• Cách 1: Sử dụng biến cố đối.
  • Biến cố đối của "ít nhất một máy không hoạt động tốt" là "cả hai máy đều hoạt động tốt". Ký hiệu là (A'̅ ∪ B'̅)̅ = A' ∩ B'.
  • Vì hai máy hoạt động độc lập, nên P(A' ∩ B') = P(A') × P(B') = 0,95 × 0,9 = 0,855.
  • Vậy P(A'̅ ∪ B'̅) = 1 - P(A' ∩ B') = 1 - 0,855 = 0,145.
• Cách 2: Sử dụng công thức cộng xác suất.
  • Vì A' và B' độc lập, nên A'̅ và B'̅ cũng độc lập.
  • P(A'̅ ∪ B'̅) = P(A'̅) + P(B'̅) - P(A'̅ ∩ B'̅).
  • P(A'̅ ∩ B'̅) = P(A'̅) × P(B'̅) = 0,05 × 0,1 = 0,005.
  • P(A'̅ ∪ B'̅) = 0,05 + 0,1 - 0,005 = 0,15 - 0,005 = 0,145.

Giải thích:

• Gọi W là biến cố "Người đó thắng" trong một lần chơi.
• Thắng có nghĩa là rơi vào ô "Thắng lớn" (TL) hoặc "Thắng nhỏ" (TN).
• Vì các ô là các kết quả xung khắc trong một lần quay, xác suất thắng trong một lần chơi là:
• P(W) = P(TL) + P(TN) = 0,1 + 0,2 = 0,3.
• Người đó chơi hai lần độc lập. Gọi W₁ là biến cố thắng lần thứ nhất và W₂ là biến cố thắng lần thứ hai.
• Vì hai lần chơi độc lập, xác suất để người đó thắng cả hai lần là P(W₁ ∩ W₂) = P(W₁) × P(W₂).
• P(W₁ ∩ W₂) = 0,3 × 0,3 = 0,09.

Giải thích:

• A là biến cố “Viên bi lấy ra có màu đỏ”. B là biến cố “Viên bi lấy ra có màu xanh”.
• Hai biến cố A và B là xung khắc vì không thể đồng thời xảy ra (một viên bi không thể vừa đỏ vừa xanh). Do đó, chúng không thể là biến cố độc lập (trừ trường hợp xác suất của một trong hai biến cố bằng 0). Phát biểu A sai.
• B là biến cố “Viên bi lấy ra có màu xanh”. C là biến cố “Viên bi lấy ra có màu vàng”.
• Hai biến cố B và C là xung khắc vì không thể đồng thời xảy ra (một viên bi không thể vừa xanh vừa vàng). Phát biểu B đúng.
• A là biến cố “Viên bi lấy ra có màu đỏ”. D là biến cố “Viên bi lấy ra không phải màu đỏ”.
• Hai biến cố A và D là hai biến cố đối nhau. Biến cố đối không độc lập (trừ trường hợp xác suất của một trong hai biến cố bằng 0 hoặc 1). Phát biểu C sai.
• C là biến cố “Viên bi lấy ra có màu vàng”. D là biến cố “Viên bi lấy ra không phải màu đỏ” (nghĩa là màu xanh hoặc vàng).
• Biến cố C và D không xung khắc vì có thể đồng thời xảy ra (viên bi màu vàng cũng là viên bi không phải màu đỏ). Phát biểu D sai.

Giải thích: Gọi A là biến cố học sinh thích bóng đá, B là biến cố học sinh thích bóng chuyền.
Theo đề bài, ta có:

• P(A) = 0.70
• P(B) = 0.45
• Xác suất học sinh không thích cả bóng đá lẫn bóng chuyền là 0.15. Điều này có nghĩa là xác suất học sinh thích ít nhất một trong hai môn (A∪B) là P(A∪B) = 1 - 0.15 = 0.85.

Áp dụng công thức cộng xác suất: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
Thay các giá trị đã biết vào công thức:
0.85 = 0.70 + 0.45 - P(A∩B)
0.85 = 1.15 - P(A∩B)
P(A∩B) = 1.15 - 0.85
P(A∩B) = 0.30
Vậy, xác suất để học sinh đó thích cả bóng đá và bóng chuyền là 0.30.

Giải thích: Gọi A là biến cố thắng trò chơi A, B là biến cố thắng trò chơi B.
Theo đề bài:

• P(A) = 0.65
• P(B) = 0.7

Xác suất thua trò chơi A là P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0.65 = 0.35.
Xác suất thua trò chơi B là P(B') = 1 - P(B) = 1 - 0.7 = 0.3.
Vì hai trò chơi là độc lập, xác suất để người đó thua cả hai trò chơi (A'∩B') là:
P(A'∩B') = P(A') × P(B') = 0.35 × 0.3 = 0.105.
Vậy đáp án đúng là 0,105. (Ôi, tôi tính nhầm đáp án A, nó phải là 0.105. Cần sửa lựa chọn đáp án.)

Let's re-evaluate options based on 0.105 as correct answer.
A. 0,0975
B. 0,2275
C. 0,9025
D. 0,105
Okay, option D is 0.105. So the correct answer is D. My initial calculation was correct for the explanation, just need to make sure the correct option is set.
Correct: D.

Giải thích: Gọi A_i là biến cố bộ phận thứ i hoạt động tốt. A'_i là biến cố bộ phận thứ i không hoạt động tốt.
Ta có:

• P(A₁) = 0.9 => P(A'₁) = 1 - 0.9 = 0.1
• P(A₂) = 0.8 => P(A'₂) = 1 - 0.8 = 0.2
• P(A₃) = 0.75 => P(A'₃) = 1 - 0.75 = 0.25

Để có đúng một bộ phận hoạt động tốt, có 3 trường hợp độc lập có thể xảy ra:

• Trường hợp 1: Bộ phận 1 hoạt động tốt, Bộ phận 2 và 3 không hoạt động tốt.
  P(A₁∩A'₂∩A'₃) = P(A₁) × P(A'₂) × P(A'₃) = 0.9 × 0.2 × 0.25 = 0.045
• Trường hợp 2: Bộ phận 2 hoạt động tốt, Bộ phận 1 và 3 không hoạt động tốt.
  P(A'₁∩A₂∩A'₃) = P(A'₁) × P(A₂) × P(A'₃) = 0.1 × 0.8 × 0.25 = 0.02
• Trường hợp 3: Bộ phận 3 hoạt động tốt, Bộ phận 1 và 2 không hoạt động tốt.
  P(A'₁∩A'₂∩A₃) = P(A'₁) × P(A'₂) × P(A₃) = 0.1 × 0.2 × 0.75 = 0.015

Xác suất để có đúng một bộ phận hoạt động tốt là tổng xác suất của 3 trường hợp trên (vì chúng xung khắc):
P(đúng 1 bộ phận tốt) = 0.045 + 0.02 + 0.015 = 0.08.

Wait, I made a calculation error. 0.045 + 0.02 + 0.015 = 0.08. Let me recheck.
0.9 * 0.2 * 0.25 = 0.18 * 0.25 = 0.045. Correct.
0.1 * 0.8 * 0.25 = 0.08 * 0.25 = 0.02. Correct.
0.1 * 0.2 * 0.75 = 0.02 * 0.75 = 0.015. Correct.
Sum: 0.045 + 0.020 + 0.015 = 0.080.
So the correct answer is 0.08. Let me update the correct field.
Correct: 0.08.

Giải thích: Gọi A là biến cố học sinh tham gia câu lạc bộ Tiếng Anh, B là biến cố học sinh tham gia câu lạc bộ Kỹ năng mềm.
Theo đề bài:

• P(A) = 0.80
• P(B) = 0.60
• Xác suất học sinh không tham gia bất kỳ câu lạc bộ nào là 0.10. Điều này có nghĩa là xác suất học sinh tham gia ít nhất một trong hai câu lạc bộ (A∪B) là P(A∪B) = 1 - 0.10 = 0.90.

Áp dụng công thức cộng xác suất: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
Thay các giá trị đã biết vào công thức:
0.90 = 0.80 + 0.60 - P(A∩B)
0.90 = 1.40 - P(A∩B)
P(A∩B) = 1.40 - 0.90
P(A∩B) = 0.50
Vậy, xác suất để học sinh đó tham gia cả hai câu lạc bộ là 0.50.

Giải thích: Không gian mẫu Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. |Ω| = 9.
Các biến cố:
A: "Tấm thẻ rút được là số chẵn" = {2, 4, 6, 8}. P(A) = 4/9.
B: "Tấm thẻ rút được là số chính phương" = {1, 4, 9}. P(B) = 3/9 = 1/3.
C: "Tấm thẻ rút được là số chia hết cho 3" = {3, 6, 9}. P(C) = 3/9 = 1/3.

Xét các phát biểu:
- A ∩ B = {4}. Vì A ∩ B ≠ ∅ nên A và B không xung khắc. (Loại A)
- B ∩ C = {9}. Vì B ∩ C ≠ ∅ nên B và C không xung khắc. (Loại C)
- A ∩ C = {6}. P(A ∩ C) = 1/9.
P(A) × P(C) = (4/9) × (1/3) = 4/27.
Vì P(A ∩ C) ≠ P(A) × P(C) (1/9 ≠ 4/27), nên A và C không độc lập. (Phát biểu D đúng, B sai)

Giải thích: Gọi A là biến cố "Lấy được bi đỏ" và B là biến cố "Lấy được bi vàng".
Tổng số bi là 15.
Số bi đỏ là 6, nên P(A) = 6/15.
Số bi vàng là 4, nên P(B) = 4/15.
Biến cố A và B là hai biến cố xung khắc vì một viên bi không thể vừa có màu đỏ vừa có màu vàng.
Xác suất để viên bi lấy ra có màu đỏ hoặc màu vàng là P(A∪B).
Theo công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc: P(A∪B) = P(A) + P(B).
P(A∪B) = 6/15 + 4/15 = 10/15 = 2/3.

Giải thích: Gọi A là biến cố "Đồng xu xuất hiện mặt sấp". P(A) = 1/2.
Gọi B là biến cố "Con xúc xắc xuất hiện mặt có số chấm là số nguyên tố".
Các mặt có số chấm là số nguyên tố trên con xúc xắc là {2, 3, 5}. Có 3 kết quả thuận lợi.
Tổng số kết quả có thể khi gieo xúc xắc là 6.
P(B) = 3/6 = 1/2.
Vì việc gieo đồng xu và gieo xúc xắc là hai hành động độc lập, nên xác suất để cả hai biến cố A và B cùng xảy ra là:
P(A∩B) = P(A) × P(B) = (1/2) × (1/2) = 1/4.

Giải thích: Gọi A là biến cố "Học sinh A giải được bài toán". P(A) = 0,7.
Gọi B là biến cố "Học sinh B giải được bài toán". P(B) = 0,6.
Vì A và B độc lập, nên:
P(A^c) là xác suất A không giải được bài toán = 1 - P(A) = 1 - 0,7 = 0,3.
P(B^c) là xác suất B không giải được bài toán = 1 - P(B) = 1 - 0,6 = 0,4.

Biến cố "Có đúng một học sinh giải được bài toán" có thể xảy ra theo hai trường hợp xung khắc:
1. A giải được và B không giải được: A ∩ B^c.
Xác suất của trường hợp này là P(A ∩ B^c) = P(A) × P(B^c) (do A và B^c độc lập).
P(A ∩ B^c) = 0,7 × 0,4 = 0,28.
2. A không giải được và B giải được: A^c ∩ B.
Xác suất của trường hợp này là P(A^c ∩ B) = P(A^c) × P(B) (do A^c và B độc lập).
P(A^c ∩ B) = 0,3 × 0,6 = 0,18.

Xác suất để có đúng một học sinh giải được bài toán là tổng xác suất của hai trường hợp trên:
P(Đúng một học sinh giải được) = P(A ∩ B^c) + P(A^c ∩ B) = 0,28 + 0,18 = 0,46.

Giải thích: Xét từng phát biểu:
A. Nếu A và B xung khắc thì A∩B = ∅, suy ra P(A∩B) = 0. Theo công thức cộng xác suất, P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = P(A) + P(B). Phát biểu này đúng.
B. Đây là định nghĩa của hai biến cố độc lập. Phát biểu này đúng.
C. Nếu A và B xung khắc và P(A) > 0, P(B) > 0, thì P(A∩B) = 0. Tuy nhiên, P(A) × P(B) > 0. Do đó, P(A∩B) ≠ P(A) × P(B). Điều này có nghĩa là A và B không độc lập. Phát biểu này đúng.
D. Nếu A và B độc lập, công thức cộng xác suất là P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B). Vì A và B độc lập nên P(A∩B) = P(A) × P(B). Vậy, P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A) × P(B). Phát biểu P(A∪B) = P(A) + P(B) chỉ đúng khi A và B xung khắc (tức P(A∩B)=0), chứ không phải khi A và B độc lập (trừ trường hợp P(A) hoặc P(B) bằng 0, nhưng đề bài cho P(A)>0 và P(B)>0). Phát biểu này sai.

Giải thích: Không gian mẫu Ω có 12 viên bi.
Số viên bi đỏ: 5
Số viên bi xanh: 4
Số viên bi vàng: 3

Biến cố A: "Lấy được bi đỏ". A có 5 kết quả thuận lợi.
Biến cố B: "Lấy được bi xanh". B có 4 kết quả thuận lợi.
Biến cố C: "Lấy được bi không phải màu vàng" (tức là bi đỏ hoặc bi xanh). C có 5 + 4 = 9 kết quả thuận lợi.

Xác suất:
P(A) = 5/12
P(B) = 4/12 = 1/3
P(C) = 9/12 = 3/4

Xét các phát biểu:
A. A và B là hai biến cố độc lập?
A∩B là biến cố "Lấy được bi vừa đỏ vừa xanh", điều này không thể xảy ra khi chỉ lấy một viên bi. Vậy A∩B = ∅. Do đó P(A∩B) = 0.
Để A và B độc lập thì P(A∩B) = P(A) × P(B).
P(A) × P(B) = (5/12) × (4/12) = 20/144 ≠ 0.
Vì P(A∩B) ≠ P(A) × P(B) nên A và B không độc lập. Phát biểu A sai.

B. B và C là hai biến cố xung khắc?
B∩C là biến cố "Lấy được bi xanh và không phải màu vàng". Biến cố này chính là B (vì bi xanh hiển nhiên không phải màu vàng).
B∩C = B = {bi xanh}. P(B∩C) = P(B) = 1/3 ≠ 0.
Vì P(B∩C) ≠ 0 nên B và C không xung khắc (chúng có thể xảy ra đồng thời). Phát biểu B sai.

C. A và C là hai biến cố độc lập?
A∩C là biến cố "Lấy được bi đỏ và không phải màu vàng". Biến cố này chính là A (vì bi đỏ hiển nhiên không phải màu vàng).
P(A∩C) = P(A) = 5/12.
P(A) × P(C) = (5/12) × (9/12) = 45/144 = 5/16.
Vì P(A∩C) = 5/12 ≠ 5/16 = P(A) × P(C) nên A và C không độc lập. Phát biểu C sai.

D. A và B là hai biến cố xung khắc?
A∩B = ∅ (không thể lấy được bi vừa đỏ vừa xanh). Vì A∩B = ∅ nên A và B là hai biến cố xung khắc. Phát biểu D đúng.

Giải thích: Gọi A là biến cố "người đó ăn thịt đỏ". Ta có P(A) = 0,65.
Gọi B là biến cố "người đó ăn thịt gia cầm". Ta có P(B) = 0,50.
Biến cố "người đó không ăn cả thịt đỏ và thịt gia cầm" là A^c∩B^c. Ta có P(A^c∩B^c) = 0,20.

Theo quy tắc De Morgan, A^c∩B^c = (A∪B)^c.
Do đó, P((A∪B)^c) = 0,20.
Xác suất để người đó ăn ít nhất một trong hai loại thịt là P(A∪B) = 1 - P((A∪B)^c) = 1 - 0,20 = 0,80.

Áp dụng công thức cộng xác suất:
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
0,80 = 0,65 + 0,50 - P(A∩B)
0,80 = 1,15 - P(A∩B)
P(A∩B) = 1,15 - 0,80 = 0,35.

Vậy, xác suất để một người được chọn ngẫu nhiên ăn cả thịt đỏ và thịt gia cầm là 0,35.

Giải thích: Gọi A_h là biến cố "máy in A bị hỏng". P(A_h) = 0,1.
Gọi A_t là biến cố "máy in A hoạt động tốt". P(A_t) = 1 - P(A_h) = 1 - 0,1 = 0,9.

Gọi B_h là biến cố "máy in B bị hỏng". P(B_h) = 0,05.
Gọi B_t là biến cố "máy in B hoạt động tốt". P(B_t) = 1 - P(B_h) = 1 - 0,05 = 0,95.

Biến cố "có đúng một máy in bị hỏng" có thể xảy ra theo hai trường hợp:
1. Máy A hỏng và máy B hoạt động tốt (A_h ∩ B_t).
2. Máy A hoạt động tốt và máy B hỏng (A_t ∩ B_h).

Vì hai máy in hoạt động độc lập, ta có:
P(A_h ∩ B_t) = P(A_h) × P(B_t) = 0,1 × 0,95 = 0,095.
P(A_t ∩ B_h) = P(A_t) × P(B_h) = 0,9 × 0,05 = 0,045.

Hai trường hợp này là xung khắc (không thể xảy ra đồng thời), nên xác suất để có đúng một máy in bị hỏng là tổng xác suất của hai trường hợp:
P(đúng một máy hỏng) = P(A_h ∩ B_t) + P(A_t ∩ B_h) = 0,095 + 0,045 = 0,140.

Vậy, xác suất để trong một ngày có đúng một máy in bị hỏng là 0,140.

Giải thích: Gọi Đ1 là biến cố "linh kiện đạt yêu cầu ở công đoạn 1". Ta có P(Đ1) = 0,92.
Gọi KĐ1 là biến cố "linh kiện không đạt yêu cầu ở công đoạn 1". P(KĐ1) = 1 - P(Đ1) = 1 - 0,92 = 0,08.

Gọi Đ2 là biến cố "linh kiện đạt yêu cầu ở công đoạn 2". Ta có P(Đ2) = 0,85.
Gọi KĐ2 là biến cố "linh kiện không đạt yêu cầu ở công đoạn 2". P(KĐ2) = 1 - P(Đ2) = 1 - 0,85 = 0,15.

Biến cố "linh kiện đạt yêu cầu ở ít nhất một trong hai công đoạn kiểm tra" là biến cố đối của biến cố "linh kiện không đạt yêu cầu ở cả hai công đoạn kiểm tra".

Vì hai công đoạn kiểm tra là độc lập, xác suất để linh kiện không đạt yêu cầu ở cả hai công đoạn là:
P(KĐ1 ∩ KĐ2) = P(KĐ1) × P(KĐ2) = 0,08 × 0,15 = 0,012.

Xác suất để linh kiện đạt yêu cầu ở ít nhất một trong hai công đoạn là:
P(ít nhất một đạt) = 1 - P(KĐ1 ∩ KĐ2) = 1 - 0,012 = 0,988.

Vậy, xác suất để một linh kiện đạt yêu cầu ở ít nhất một trong hai công đoạn kiểm tra là 0,988.

Giải thích: Tổng số học sinh trong lớp là 40.
Số học sinh giỏi Văn là 15. Vậy P(A) = 15/40 = 3/8 = 0,375.
Số học sinh giỏi Sử là 10. Vậy P(B) = 10/40 = 1/4 = 0,25.
Số học sinh giỏi cả hai môn Văn và Sử là 5. Vậy P(A∩B) = 5/40 = 1/8 = 0,125.

Xét các phát biểu:
A. P(A∪B) = 0,5?
Áp dụng công thức cộng xác suất: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B).
P(A∪B) = 0,375 + 0,25 - 0,125 = 0,625 - 0,125 = 0,5.
Vậy phát biểu A là đúng.

B. A và B là hai biến cố độc lập?
Để A và B độc lập thì P(A∩B) = P(A) × P(B).
P(A) × P(B) = (3/8) × (1/4) = 3/32.
P(A∩B) = 1/8 = 4/32.
Vì 3/32 ≠ 4/32 nên A và B không độc lập. Phát biểu B sai.

C. P(A∩B) = P(A) + P(B)?
Ta có P(A∩B) = 0,125.
P(A) + P(B) = 0,375 + 0,25 = 0,625.
Vì 0,125 ≠ 0,625 nên phát biểu C sai. (Công thức này là của P(A∪B) khi A, B xung khắc).

D. A và B là hai biến cố xung khắc?
A và B xung khắc khi A∩B = ∅, tức là P(A∩B) = 0.
Tuy nhiên, P(A∩B) = 0,125 ≠ 0 (có 5 học sinh giỏi cả hai môn).
Vậy A và B không xung khắc. Phát biểu D sai.